高维黎曼问题

高维黎曼问题陈恕行（复旦大学）一维黎曼问题研究的意义解的局部结构（具间断初值的柯西问题的入门）解的渐近性态构造整体解的基本元素对数值计算方法有效性的检验计算格式（Godunov）研究方法的特点利用方程与初始条件在伸缩变换下不变的特性可寻求自模解从而减少一个自变量向高维（首先是二维）情形的推广初始值为在两个半平面上分别为常数的情形仍是一维问题初始值在由曲线分割的两个区域上分别为常数的情形，常数与一般可微函数无实质区别（此时不能寻求自模解）初始值在几个角状区域（例如四个象限）中为常数 初始平面上为四个给不同常状态的区域还是三个不同常状态的区域非本质。（各有优点）单个方程的情形D.Wagner,SIAM J.Math.Anal.1983B.Lindquist,SIAM J.Math.Anal.1986T.Zhang and Y.Zheng,Trans.Amer.Soc.1989T.Zhang and L.Xiao,The Riemann problem and interaction of waves in gas dynamics,1989二维Euler方程组 Zhang Tong,Zheng Yuxi Conjecture on the structure of solutions of the Riemann problem for two-dimensional gas dynamical systems.SIAM Jour.Math.Anal.1990,v.21:593-630简化情形：位势流方程在离原点充分远处为双曲型方程在原点附近为椭圆型 混合型、不定边界、间断解以及可能出现的未知奇性、整体解 在双曲区域特征线的分布怎样？在椭圆区域初始近似解如何确定？对一般方程组的讨论将整个方程组分拆成两个方程组Zheng Yuxi:Systems of Conservation LawsTwo-dimensional Riemann Problems压力梯度方程(pressure-gradient equation)零压流方程（输运方程）(zero pressure equation，transport equation)特点：只含一族特征线由零压流方程导出的非严格双曲组Tan Dechun,Zhang Tong,Two-Dimensional Riemann Problem for a Hyperbolic System of Nonlinear Conservation Laws,Jour.Diff.Eqs.v.111(1994)守恒律形式以测度值函数表示的形式Weinan E,Yu.G.Rykov,Ya.G.Sinai,Comm.Math.Phys.V.177,349-380(1996)Feimiin Huang,Zhen Wang,Comm.Math.Phys.V.222,117-146(2001)二维的情形Sheng Wancheng,Zhang Tong,The Riemann Problems for the Transport Equations,Memoirs AMS,(1999),n.654 不出现Delta波情况下对非严格双曲组Riemann 问题的研究（解的整体构造）Shuxing Chen:Solution to M-D Riemann Problems for Quasilinear Hyperbolic System of Proportional Conservation Laws AMS/IP Studies in Advanced MathematicsVol.3(1997)Pressure-gradient system若令 可得Pressure-gradient 方程本质上为非线性波动方程，与位势流方程相似。对非线性波动方程弱奇性传播的分析J.M.Bony,Nonlinear Microlocal Analysis,Ann.Scien.Ec.Norm.Sup.v.14(1981),209-246J.M.Bony,Second order Microlocal Analysis,Goulaouic-Schwartz Sem.Ecole Polytechnique Paris,(1983-84)Shuxing Chen,Analysis of Singularities for Partial Differential Equations,World Scientific,(2011)Chaplygin 方程的情形 特点：1.中心波退化成一条线，相当于跃度为负的激波。2.激波与中心波都是特征。D.Serre,Multidimensional shock interaction for a Chaplygin gas,Arch.Rat.Mech.Anal.2009,vol.191,537-566.对个别典型情形波的干涉进行讨论并得到此时Cauchy问题解的存在性。Shuxing Chen and Aifang Qu,Two-dimensional Riemann problems for the Chaplygin gas,SIAM J.Math.Amal.2012,vol.44,2146-2178.只要在所分割的角状区域中初值充分接近，Cauchy问题的弱解必定存在。二维位势流方程的Riemann问题各种数值计算有启示但本源的问题必须有严格的理论分析二维位势流方程的Riemann问题 由一般情形困难转向一些具体问题的解决 Tai-Ping Liu (ICM2002):Unlike single space case,multi-dimensional Riemann solutions do not represent general scattering data,and are quite difficult to study.It is more feasible to consider flows with shocks and solid boundary.气体向真空的扩散（水坝坍塌问题）空气真空墙Levine L.E.The expansion of a wedge of gas into a vacuum.Proc.Cambridge Philos Soc.,1968,64:1151-1163.Li Jiequan，On the two-dimensional gas expansion for compressible Euler equation,SIAM J.Appl.Math.62(2001/01)831-852.（椭圆区域退缩为一点）激波反射问题状态 I状态 II固壁正则反射马赫反射G.Q.Chen and M.Feldman,Global solution to shock reflection by large wedges for potential flow,Ann.Math.2010,vol.171,1067-1182 S.X.Chen,Mach configuration in pseudo-stationary compressible flow,Jour.AMS 2008,vol.21,63-100激波绕射问题状态 I状态 II固壁后台阶问题后台阶问题状态 II状态 I固壁后台阶问题后台阶问题面临的困难双曲区域：特征分布、解的特性椭圆区域：大扰动导致初始近似解难确定混合型方程：转型线位置、间断线位置、整体解 End