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曲线、曲面积分复习曲线、曲面积分复习曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义性质性质计算公式计算公式两者关系两者关系曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定 义义性性 质质计算公式计算公式两者关系两者关系曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功性质 线性、可加、无方向 可加、有方向计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限联系对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定义定义实质实质分、粗、和、精分、粗、和、精分、粗、和、精分、粗、和、精背景背景曲面块的质量曲面块的质量流向曲面指定侧的流量流向曲面指定侧的流量性质性质线性、可加、与侧无关线性、可加、与侧无关线性、可加、与侧有关线性、可加、与侧有关计算计算一代、二换、三投影一代、二换、三投影一代、二投、三定号一代、二投、三定号联系联系曲面积分曲面积分曲线积分与路径无关的四个等价命题曲线积分与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系曲线积分曲线积分定积分定积分计算计算重积分重积分Green公式计算计算曲面积分曲面积分Guass公式公式计算计算Stokes公式公式1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式关于第二类曲线积分的计算关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用若曲线封闭，首先考虑使用Green公式公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用然后再使用Green公式公式此时应注意两点：此时应注意两点：辅助线上的积分应容易辅助线上的积分应容易计算，计算，辅助线的方向与曲线的方向相容，辅助线的方向与曲线的方向相容，化成第一类曲线积分计算化成第一类曲线积分计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算关于对面积的曲面积分的应用关于对面积的曲面积分的应用曲面面积曲面面积曲面质量曲面质量重心坐标重心坐标二、二、典型例题典型例题例例1 计算计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界所围成的在第三象限的扇形的整个边界解解如图如图L1 L1L2 L2L3L3L=L1+L2+L3解解解解(如下图如下图)其中其中L为为不包围也不通过原点的任意闭曲线不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线解解 若若则由则由Green公式公式例例4 计算计算若若则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1，由，由Green公式公式L在原点不连续，在原点不连续，记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1，由，由Green公式公式以原点为心，作一半径充分小的正向圆周以原点为心，作一半径充分小的正向圆周由于由于 L 所围区域包含原点所围区域包含原点解解令令得得由由使得在不经过使得在不经过的值的值的区域上的区域上与路径无关与路径无关并求当并求当L为从为从A（1，1）到）到B（0，2）时的值。）时的值。例例5 确定参数确定参数 A(1,1)B(0,2)ACB如选路径如选路径C(1,2)则则积分结果不易求出积分结果不易求出DB但如选路径但如选路径A D(0,1)则则例例5 求椭圆柱面求椭圆柱面位于位于xoy 面上方面上方和平面和平面 z=y 下方的那部分的侧面积下方的那部分的侧面积解一解一 易见曲面对称于易见曲面对称于 yoz 面面解二解二对弧长的曲线积分的几何意义：对弧长的曲线积分的几何意义：柱面上的曲边梯形的面积柱面上的曲边梯形的面积侧面积侧面积注注曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例6 计算计算及平面及平面 z=1,z=2 所围立体的表面的外侧所围立体的表面的外侧解一解一由由 Gauss 公式公式解二解二上侧上侧下侧下侧外侧外侧（用极坐标用极坐标）解解由对称性由对称性例例8 计算计算所截下的部分所截下的部分解解积分曲面关于积分曲面关于 yoz 面面、zox 面对称面对称被积函数被积函数|xyz|关于关于 x 和和 y 是偶函数是偶函数由对称性由对称性例例9 计算计算解解由对称性由对称性例例10 计算计算绕绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧轴旋转所成的曲面的下侧解解 补上曲面补上曲面取上侧取上侧则由则由 Gauss 公式公式例例11解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系解解(如下图如下图)例例13 计算计算的外表面的外表面解一解一先计算先计算下侧下侧上侧上侧同理同理p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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