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弹性力学弹性力学 第一节第一节 弹性力学的弹性力学的基本任务基本任务第二节第二节 弹性力学的弹性力学的基本假设基本假设第三节第三节 弹性力学的弹性力学的基本概念基本概念第一章第一章 緖緖 论论板、壳和实体，较精确分析杆。板、壳和实体，较精确分析杆。与材料力学等的关系与材料力学等的关系：相同相同：基本任务基本任务：分析、校核、优化分析、校核、优化区别：区别：第一节第一节 弹性力学的基本任务弹性力学的基本任务1)研究对象：研究对象：材料力学：研究杆状结构；材料力学：研究杆状结构；结构力学：研究杆系结构；结构力学：研究杆系结构；弹性力学：弹性力学：杆杆板壳板壳块体块体2)2)研究方法研究方法：例如，对于高度较大的梁（深梁），材料力学基于平面假设的公式不再成立。弹性力学不引用平面假设，得到较为精确的答。对于带孔的拉伸构件平面假设也不再成立，应力的分布是不均匀的，弹性力学的计算表明，在孔边发生应力集中。弹性力学：较少的假设，得出较精确的结果。弹性力学：较少的假设，得出较精确的结果。材料力学：较多的假设，得出近似的结果。材料力学：较多的假设，得出近似的结果。第二节第二节 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设（1）连续性假设连续性假设：（2）完全弹性假设完全弹性假设：（3）均匀性假设均匀性假设：（4）各向同性假设：各向同性假设：（5）小变形假设：小变形假设：应力、应变 和位移等物 理量可用连续函数表示。假定物体服从胡克定律。材料常数不随位置坐标变化。物体内一点的弹性性质 在各个方向上相同。可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。xyzo第三节第三节 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念1 1）体力：）体力：方向与正轴方向方向与正轴方向一致为正。一致为正。2 2）面力：）面力：方向与正轴方向方向与正轴方向一致为正一致为正。1.1.外力力正面：正面：外法线方向与坐标轴正向一致。外法线方向与坐标轴正向一致。负面：负面：外法线方向与坐标轴正向相反。外法线方向与坐标轴正向相反。yx:第一下标第一下标 y表示作用面，第二下表示作用面，第二下标标 x 表示作用方向。表示作用方向。yyxyz2 2应力符号规定：应力符号规定：y：其下标其下标y表示作用面和作用方向。表示作用面和作用方向。正面上：正面上：应力方向与正轴方向应力方向与正轴方向一致为正。一致为正。负面上：负面上：应力方向与正轴方向应力方向与正轴方向相反为正相反为正。2.2.应力应力yoxz1单元体：单元体：x、y y、z正面上正面上的应力分量表示如图。的应力分量表示如图。凡凡正面上正面上的应的应力沿坐标力沿坐标正向正向为为正正，逆坐标，逆坐标正向为负。正向为负。xyzoxyzo3)93)9个应力分量，独立分量个应力分量，独立分量6 6个。个。4 4已知已知6 6个应力分量，可求得个应力分量，可求得任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力。凡凡负面上负面上的应力沿的应力沿坐标坐标负向负向为为正正，沿，沿坐标坐标正正向为向为负负。注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。弹性力学弹性力学材料力学材料力学1 1正应变正应变：单位长度的伸缩。伸长：单位长度的伸缩。伸长为正为正xyzo3.3.形变形变x方向上的正应变方向上的正应变x 2 2剪剪应变：线段间应变：线段间直角的变化。直角的变化。直角变小直角变小为正为正x与与y方向上的方向上的线段间线段间直角的变化直角的变化xy4.4.位移位移x方向的位移方向的位移:u:uy方向的位移方向的位移:v:vz方向的位移方向的位移:w:w与正轴方向与正轴方向一致为正。一致为正。3 3已知已知6 6个应个应变变分量，可确定该点的分量，可确定该点的应应变状态变状态。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论要点要点 建立平面问题的基本方程建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。述；方程的求解方法等。t一一.平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 （Problems of plane stress and plane strain ）1.平面应力问题平面应力问题(1)几何特征几何特征xyyzba 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。两个方向的尺寸小得多。平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板平行于板面作用面作用，沿，沿 z 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3)简化的应力特征简化的应力特征如图选取坐标系，以板的如图选取坐标系，以板的中面为中面为xy 平面，垂直于中面的平面，垂直于中面的任一直线为任一直线为 z 轴。轴。由于板面上由于板面上不受力，有不受力，有:因板很薄，且外力沿因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。轴方向不变。可认为可认为整个薄板的各整个薄板的各点点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有:结论：结论：(a)平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：(b)应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。xy(c)2.平面应变问题平面应变问题(1)几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多大得多，且，且沿长度方沿长度方向几何形状和尺寸不向几何形状和尺寸不变化变化。近似认为无限长。近似认为无限长。(2)外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横平行于横截面截面作用，且作用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。水坝水坝(3)简化的变形特征简化的变形特征 如图坐标系：以任一横截面为如图坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面则有则有水坝水坝 平面应变问题平面应变问题(c)结论：结论：(a)(b)如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题两类平面问题：两类平面问题：平面应力平面应力 问题问题平面应变平面应变 问题问题几何特征几何特征受力特征受力特征应力应力特征特征几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。基本假定：基本假定：（1）连续性假定；连续性假定；（2）线弹性假定；线弹性假定；（3）均匀性假定；均匀性假定；（4）各向同性假定；各向同性假定；（5）小变形假定。）小变形假定。（注意：注意：剪应力正负号规定剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用掌握这些假定的作用）基本概念：基本概念：xyOt=1.AC：BC:二二.平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程 (Equilibrium equations)(Equilibrium equations)PBACXYCPBACxyOCXYDivided the equation by dx dy：Divided the equation by dx dy：PBACxyOCXYwhen直角坐标下的应力平衡微分方程直角坐标下的应力平衡微分方程说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足。xyOPAdxBdyuvundeformeddeformedAB注：注：这里略去这里略去了二阶以上高了二阶以上高阶无穷小量。阶无穷小量。建立：平面问题中应变与位移的关系建立：平面问题中应变与位移的关系一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：PuvPuv三三.几何方程几何方程 (The geometrical equations)(The geometrical equations)PxyOAdxBdyuvNormal strain of PA:Normal strain of PB:Shear strain of point P：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化:几何方程几何方程 The geometrical equations 建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的力学中的广义虎克（广义虎克（Hooke）定律）定律。其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收缩为侧向收缩系数，又称泊松比。系数，又称泊松比。四四.物理方程物理方程1.平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中 平面应力问题的物平面应力问题的物平面应力问题的物平面应力问题的物理方程理方程理方程理方程注：注：(1)(2)物理方程的另一形式物理方程的另一形式2.平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中 平面应变问题的物平面应变问题的物平面应变问题的物平面应变问题的物理方程理方程理方程理方程注：注：由式由式虎克定律虎克定律第三式，得第三式，得平面应变问题中平面应变问题中，但，但3.两类平面问题物理方程的转换两类平面问题物理方程的转换 平面应变问题的物平面应变问题的物平面应变问题的物平面应变问题的物理方程理方程理方程理方程 平面应力问题的物平面应力问题的物平面应力问题的物平面应力问题的物理方程理方程理方程理方程(1)平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：应变应变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；应变应变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；五五.边界条件（边界条件（Boundary conditionsBoundary conditions）1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2）几何方程：）几何方程：（3）物理方程：）物理方程：未知量数：未知量数：8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。2.边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqP是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量，表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：件可表达为：平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明：说明：称为固定位移边界。称为固定位移边界。xyOqP（2）应力边界条件）应力边界条件给定应力边界面力分量给定应力边界面力分量 由由又：又：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。轴的方向余弦。平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件 在边界上取直角三角形微元体在边界上取直角三角形微元体PAB，其，其斜面斜面AB与边界面重合。与边界面重合。N为其法线。为其法线。得得xyOdxdydsPABN则：则：（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。一为应力边界条件。图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件特殊边界应力边界条件：特殊边界应力边界条件：特殊边界应力边界条件：特殊边界应力边界条件：垂直垂直 x 轴边界：轴边界：垂直垂直 y 轴边界轴边界：例例1如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)平面问题的基本方程平面问题的基本方程1.平衡微分方程平衡微分方程2.几何方程几何方程3.物理方程物理方程（平面应力问题）（平面应力问题）4.边界条件边界条件位移：位移：应力：应力：问题的提出：问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。难。PPP 如图所示，其力的作用点处的应力边界如图所示，其力的作用点处的应力边界条件无法列写。条件无法列写。1).静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，则两个力系为则两个力系为静力等效力系静力等效力系。这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。确，但对变形体而言一般是不等效的。3.圣维南原理圣维南原理 (Saint-Venant Principle)2).圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同但不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPP/2P/2P次要边界次要边界只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主主要边界要边界上不能使用。上不能使用。注意事项：注意事项：必须满足必须满足静力等效静力等效条件条件(1)(2)图图a是一端固支、一端受集中力作用是一端固支、一端受集中力作用的杆件，其厚度为的杆件，其厚度为1 mm，容易计算出，容易计算出杆内的应力为杆内的应力为100MPa。图图b是该杆件的应力分布图，不同的是该杆件的应力分布图，不同的颜色代表不同的应力值。由于上部固定颜色代表不同的应力值。由于上部固定端和下部加力端的影响，明显看出端和下部加力端的影响，明显看出从上从上部固定端向下大约部固定端向下大约20 mm区域内应力并区域内应力并不是均匀分布，在杆的下端，从集中力不是均匀分布，在杆的下端，从集中力作用处向上大约作用处向上大约25 mm的区域内应力也的区域内应力也不是均匀分布的不是均匀分布的。图。图b中，中，只有杆中间只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的，部分横截面上的应力才是均匀分布的，且其大小为且其大小为100 MPa。圣圣维维南南原原理理说说，力力作作用用于于杆杆端端的的分分布布方方式式，只只影影响响杆杆端端局局部部范范围围的的应应力力分分布布，影影响响区区的的轴轴向向范范围围约约离离杆杆端端1-3个个杆的最大横向尺寸。杆的最大横向尺寸。例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。界条件。例例 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左面：左面：代入代入右面右面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有 左右面左右面为主要边界，为主要边界，须精确满足。须精确满足。注意：注意：例例 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。上端面：上端面：上端面上端面为次要边界，为次要边界，可近似满足，由圣维可近似满足，由圣维南原理求解。南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向必须按正向假设！假设！xy上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，六六.按位移求解平面问题按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2）几何方程）几何方程：（3）物理方程：）物理方程：（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与再由几何方程、物理方程求出应力与应变分量。应变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出再由几何方程、物理方程求出应变分量与位移。应变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量 和部分和部分应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量并求出这些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。3.按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：七七.按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解的未知函数：按应力求解的未知函数：平衡微分方程：平衡微分方程：2个方程，个方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程。需寻求补充方程。将几何方程：将几何方程：作如下运算：作如下运算：显然有：显然有：变形协调方程变形协调方程 （或相容方程）（或相容方程）即：即：必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：例：其中：其中：C为常数。为常数。显然，此组位移分量不能满足显然，此组位移分量不能满足形变协调方程形变协调方程，因而不能存在因而不能存在.2.变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：（a）将上述两边相加：将上述两边相加：（b）将将(b)代入代入(a)，得：，得：将将 上式整理得：上式整理得：应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为：，得得（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）注意：注意：当体力当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件：）边界条件：（平面应力情形）（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不）对位移边界问题，不易按应力求解。易按应力求解。（2）对应力边界问题，且）对应力边界问题，且为为单连通问题单连通问题，满足上，满足上述方程的解是唯一正确述方程的解是唯一正确解。解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足，满足上述方程外，还需满足上述方程外，还需满足位移单值条件位移单值条件，才是唯，才是唯一正确解。一正确解。八八.常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 1.常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 X、Y 为常数时，为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即即或或2.常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。讨论：讨论：讨论：讨论：（1）Laplace方程，方程，或称或称调和方程。调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 相同相同 ）不同不同。（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力和边外力和边界条件界条件时，其计算结果相同。时，其计算结果相同。光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平面应变试验平面应变试验模型，为实验模型，为实验应力分析提供理论基础。应力分析提供理论基础。满足：满足：的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。常体力下问题的基本方程：常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。边界条件、位移单值条件。(a)(b)式式(a)为非齐次方程，其解：为非齐次方程，其解：全解全解=齐次方程齐次方程通解通解3.平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式(1)特解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。(1)(2)(3)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(c)(d)的通解。的通解。将式将式(d)第一式改写为第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得，使得(e)(f)同理，将式同理，将式(d)第二式改写为第二式改写为(g)(h)比较式比较式(f)与与(h)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解。的通解。由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数(x,y)，使得，使得(i)(j)将式将式 (i)、(j)代入代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得，得通解：通解：(k)(2)通解通解式式(a)的齐次方程：的齐次方程：(d)的通解：的通解：(k)对应于平衡微分方对应于平衡微分方程的程的齐次方程通解齐次方程通解。(3)全解全解取特解为：取特解为：则其全解为：则其全解为：常体力下平衡方程的全解。常体力下平衡方程的全解。常体力下平衡方程的全解。常体力下平衡方程的全解。由上式看：不管由上式看：不管(x,y)是什么是什么函数，都能满足平衡方程。函数，都能满足平衡方程。(x,y)平面问题的平面问题的应力函数应力函数 Airy 应力函数应力函数4.相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示将右边式代入常体力下的相容方程：将右边式代入常体力下的相容方程：有：有：注意到体力注意到体力 X、Y 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。给出了应力函数满足的条件。应力函数表示的应力函数表示的应力函数表示的应力函数表示的相容方程相容方程相容方程相容方程上式可简记为：上式可简记为：或：或：式中：式中：满足相容方程的函数满足相容方程的函数(x,y)称为称为重调和函数（或双调和重调和函数（或双调和函数）函数）结论：结论：结论：结论：应力函数应力函数应为一应为一重重调和函数调和函数按应力求解平面问题（按应力求解平面问题（X=常量、常量、Y=常量）的归结为：常量）的归结为：（1）（2）然后由然后由 求出应力分量求出应力分量：先由相容方程求出应力函数：先由相容方程求出应力函数：（3）让让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。问题）。（无体力情形）（无体力情形）例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。界条件。例例图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！xy上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，（1）（2）下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。否为可能的应力场与应变场（不计体力）。思考题思考题1.2.试用圣维南原理写出梁固定端的试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。应力边界条件。lhhyx第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点要点 用逆解法、用逆解法、半逆解法半逆解法求解平面弹性求解平面弹性力学问题。力学问题。1.1.多项式解答多项式解答2.2.位移分量的求出位移分量的求出3.3.简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷主主 要要 内内 容容（1）逆解法逆解法（1）假设各种满足相容方程的假设各种满足相容方程的(x,y)的形式；的形式；（2）主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。由应力分量计算式，由应力分量计算式，求出求出 （具有待定系数）；（具有待定系数）；（3）利用应力边界条件式，考察这些应力函数利用应力边界条件式，考察这些应力函数(x,y)对应什对应什么样的边界面力，从而得知所设应力函数么样的边界面力，从而得知所设应力函数(x,y)可以求可以求解什么问题。解什么问题。（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式；（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求出求出(x,y)的形式；的形式；（3）利用利用(x,y)计算计算 ,并让其满足边界条件和位移并让其满足边界条件和位移单值条件。单值条件。一一.求解方法求解方法 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法二二.多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决，能解决什么样的力学问题。什么样的力学问题。逆解法逆解法其中：其中：a、b、c 为系数。为系数。检验检验(x,y)是否满足是否满足相容方程相容方程：显然显然(x,y)满足相容方程，因而可作为应力函数。满足相容方程，因而可作为应力函数。1.一次多项式一次多项式（1）（2）对应的对应的应力分量应力分量：（不计体力：（不计体力：X=Y=0）（3）应力）应力边界条件边界条件得得结论结论1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；无体力、无面力和无应力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。无影响。2.二次多项式二次多项式其中：其中：a、b、c 为系数。为系数。(假定：假定：X=Y =0)相容方程相容方程（1）(可作为应力函数可作为应力函数)（2）应力分量应力分量：xy2c2c2a2a结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。（3）边界条件边界条件(a 0,b 0,c 0)xy试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy3.三次多项式三次多项式a 为系数系数相容方程相容方程（1）(可作为应力函数可作为应力函数)(假定：假定：X=Y =0)（2）应力分量应力分量（3）边界条件边界条件结论结论3：对应于对应于线性应力分布，线性应力分布，矩形截面梁的矩形截面梁的纯弯曲纯弯曲。MMxy（3）边界条件边界条件（确定常数（确定常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系）的关系）三三.矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲（不计体力）（不计体力）1xyllMM相容方程相容方程（1）设应力函数设应力函数 满足满足（2）应力分量应力分量上下边界；上下边界；精确满足精确满足左右边界；左右边界；满足满足满足满足xy1llMM说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须须线性分布线性分布，且中心处为零，且中心处为零，结果才是结果才是精确的精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误误差较大，离端部较远处误差较小。差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差时，误差较小；反之误差较大。较大。可见：可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力 结果是正确的。结果是正确的。四四.位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出应变分量、位移分量？求出应变分量、位移分量？xyl1hMM1.应变分量与位移分量应变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：平面应力情况下的物理方程：（1）应变分量）应变分量(a)将式（将式（a）代入得：）代入得：(b)（2）位移分量）位移分量将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得：(c)（2）位移分量）位移分量(c)将式（将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得：(d)将式将式(d)代入代入(c)中第三式，得：中第三式，得：式中：式中：为待定函数。为待定函数。整理得：整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数）（仅为（仅为 y 的函数）的函数）要使上式成立，须有要使上式成立，须有(e)式中：式中：为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得将上式代入式（将上式代入式（d），得），得(f)（1）(f)讨论：讨论：式中：式中：u0、v0、由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。当当 x=x0=常数常数（2）位移分量）位移分量xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：说明：同一截面上的各铅垂线段同一截面上的各铅垂线段转角相同。转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成立。的假设成立。（2）将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即同。即 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程2.位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支(f)其边界条件：其边界条件：将其代入将其代入(f)式，有式，有将其代回将其代回(f)式，有式，有梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：与材力中结果相同与材力中结果相同按应力求解的按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量（对常体力情形）（对常体力情形）说明：说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。五五.简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用用半逆解法半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定应力函数的确定(1)分析：分析：主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；主要由剪力引起；主要由剪力引起；由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q=常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。推得：推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：积分得：积分得：(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)任意的待定函数任意的待定函数由由 确定：确定：代入相容方程：代入相容方程：2.相容方程相容方程xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：对前两个方程积分：(c)此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：积分得：积分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将将(c)(d)代入代入(b)，有，有(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。(e)3.应力分量的确定应力分量的确定(f)(g)(h)4.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用(f)(g)(h)4.对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：x 的偶函数的偶函数 x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：xyllqlql1yzh/2h/2q（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：由此解得：由此解得：代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N=0；弯矩弯矩 M=0；剪力剪力 Q=ql；(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：三次抛物线三次抛物线4.与材料力学结果比较与材料力学结果比较xyllqlql1yzh/2h/2q(p)5.与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1,截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：弯矩：弯矩：剪力：剪力：将其代入式将其代入式(p)，有，有xyllqlql1yzh/2h/2q比较，得：比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h/l1，该项，该项误差很小，可略；当误差很小，可略；当 h/l较大时，须较大时，须修正。修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。注意：注意：梁的左右边界存在水平面梁的左右边界存在水平面力：力：说明此应力表达式在两端说明此应力表达式在两端不适用。不适用。解题步骤小结：解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计性等），估计某个应力分量某个应力分量（）的变化形式。）的变化形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式的关系式 ，求得应力函数，求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程：确定确定 中的待定函数形式。中的待定函数形式。由由 与应力函数与应力函数 的关系式的关系式 ，求得应力分量，求得应力分量 。由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常数。中的待定常数。用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形长板梁、矩形长板类弹性力学平面问题的类弹性力学平面问题的基本步骤基本步骤：弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论小结小结一、两类平面问题及其特征一、两类平面问题及其特征名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位位 移移应应 变变应应 力力外外 力力几何形状几何形状体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化。向不变化。z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的尺寸于板面内的尺寸（等厚度薄平板）（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面内平面内的尺寸（等截面长柱体）的尺寸（等截面长柱体）二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程）平衡微分方程（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（2）几何方程）几何方程（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（3）物理方程）物理方程（平面应力）（平面应力）（平面（平面应变）应变）（假定：假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：思路：（1）按位移求解）按位移求解以位移以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。求出其余未知量。基本方程：基本方程：位移表示的平衡位移表示的平衡方程方程位移表示的应力位移表示的应力边界条件边界条件位移边界条件位移边界条件（2）按应力求解）按应力求解思路：思路：以应力以应力 为基本未知量，将基本方程用只有为基本未知量，将基本方程用只有 的的3个方程，个方程，从中求出从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。基本方程：基本方程：平衡方程平衡方程相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面应力情形）（平面应力情形）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件边值条件边值条件（3）两类平面问题物理方程的互相转换：）两类平面问题物理方程的互相转换：平面平面应力应力问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应变应变问题问题平面平面应力应力问题问题（4）边界条件）边界条件 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件（5）按应力求解的）按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量（对常体力情形）（对常体力情形）说明：说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）(平面应力情形平面应力情形)(平面应变情形平面应变情形)形变表示的形变表示的相容方程相容方程应力表示的应力表示的相容方程相容方程应力函数表示的应力函数表示的相容方程相容方程(基本形式基本形式)(常体力情形常体力情形)适用情形适用情形：小变形、任意小变形、任意弹塑性弹塑性材料材料。(常体力情形常体力情形)五、边界条件与圣维南原理五、边界条件与圣维南原理位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件圣维南原理的要点：圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；）静力等效；（3）结果影响范围：）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（）面力分布复杂的边界（次要边界次要边界）如：）如：集中力，集中力偶等；集中力，集中力偶等；（2）位移边界（）位移边界（次要边界次要边界）；）；一一.平衡微分方程平衡微分方程周向周向的平衡的平衡第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答径向径向的平衡的平衡 应力分量仍为三个，平衡方程二个应力分量仍为三个，平衡方程二个二二.几何方程几何方程向向线段线段PA，变形后为，变形后为P A 先假定只有径向位移而无环向位移：先假定只有径向位移而无环向位移：PA:方向上的位移为零。方向上的位移为零。dd向线段向线段PB，变形后为，变形后为P B PB:角角APB的变化为的变化为PB的转角：的转角：再假定只有环向位移而无径向位移：再假定只有环向位移而无径向位移：线段线段PA，变形后为，变形后为P A 方向的位移为零，方向的位移为零，ddv二二.几何方程几何方程线段线段PA的转角是的转角是PB正应变为正应变为线段线段PB，变形后为，变形后为PB，B点点方向上的位移为零方向上的位移为零。PB方向线方向线1 1，PB方向线方向线2.2.PB的转角的转角POP：（向角外转为负）：（向角外转为负）12总和上述两个方向的应变，得到：总和上述两个方向的应变，得到：二二.几何方程几何方程三三.物理方程物理方程 极坐标也是正交坐标，因此极坐标也是正交坐标，因此物理方程与直角坐标相同：物理方程与直角坐标相同：基本方程基本方程 极坐标问题的解法和平面问题类似，极坐标问题的解法和平面问题类似，通常采用应力函数法，为此需要将应力通常采用应力函数法，为此需要将应力函数的直角坐标表达式化为极坐标，将函数的直角坐标表达式化为极坐标，将相容方程化为极坐标。相容方程化为极坐标。物理方程物理方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程利用极坐标和直角坐标利用极坐标和直角坐标的关系：的关系：得到得到四四.应力函数和相容方程应力函数和相容方程 代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式 上式是极坐标中的重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式 和直角坐标系中类似，它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。得到极坐标中应力函数应满足的得到极坐标中应力函数应满足的相容方程相容方程 在在=0=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到五五.轴对称问题轴对称问题2.相容方程 简化为:轴对称问题：几何形状和受力对称于通过z轴的任一平面。1.应力函数引入变换变换为常系数的微分方程欧拉方程 展开正应力（正应变）分量仅是半径的函数，与无关，并且切应力（切应变）为零，称为轴对称应力（应变）。（半逆解法）仅是径向坐标的函数:3.应力分量:通解为 注意到t=lnr，则应力轴对称 4.应变分量和位移分量应变轴对称 再代入位移与应变的几何方程将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式:积分后,得到位移的积分形式:轴对称应力的对应位移 A，B，C，H，I，K都是待定常数，取决于 边界条件 位移轴对称位移与坐标j无关;B=H=I=K=0六.受均布压力的圆环由边界条件得到:内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题2.边界条件:1.应力分量:只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程在环向表达式 中，第一项是多值的，在同一处，=0 和=0+2时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有 B=0=0 3.位移单值条件于是:从上两方程可解出A
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