微分方程复习要点课件

1一阶微分方程一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、第七章要点一、第七章要点11一阶微分方程一、第七章要点11一阶微分方程一阶微分方程1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法类型类型2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程类型类型解法解法21一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性3)齐次方程齐次方程此为变量可分离的微分方程此为变量可分离的微分方程类型类型解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为33)齐次方程此为变量可分离的微分方程类型解法 令 4)伯努利方程伯努利方程为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程类型类型解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为44)伯努利方程为一阶线性微分方程类型解法 令 2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程方法方法 作作 次积分次积分新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程1)类型类型2)类型类型方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为52可降阶的二阶微分方程方法 作 次积分新方程新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程3)类型类型 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为6新方程是一个一阶微分方程3)类型 方法 令 3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程而称方程而称方程为方程为方程所对应的齐次线性方程有所对应的齐次线性方程有1)若若 是方程是方程的线性无关解，则方程的线性无关解，则方程有通解有通解73二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方的一个特解的一个特解2)若若 是方程是方程的特解，则方程的特解，则方程有通解有通解3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，则则 为方程为方程8的一个特解2)若 是方程的特解，则方程有通解34二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程设方程设方程相应的特征方程为相应的特征方程为则：则：若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为94二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通解为解为10若方程有两个相同的实根 ，则方程的通2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程设方程为设方程为则方程有特解则方程有特解其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根112)二阶常系数非齐次线性微分方程设方程为则方程有特解其中 设方程设方程则方程有特解则方程有特解其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或012设方程则方程有特解其中 二、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 13二、例 题 选 讲解 此方程为一个可分离变量的微分方程两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解14两边积分，得即得原方程的通解14解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例2 求解方程求解方程 ，作变换作变换 ，则有，则有15解 原方程变形后为齐次方程例2 求解方程 移项，得移项，得两边积分，得两边积分，得将将 代入，有代入，有16移项，得两边积分，得将 代入，有16即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为17即满足初始条件的解为由初始条件 解解 原方程变形为原方程变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得由求解公式得18解 原方程变形为即例3 求微分方程 1919分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 解法解法1 此方程为齐次方程，作代换此方程为齐次方程，作代换 ，则有，则有20分离变量，得两边积分，得例4 求解微分方程 故方程的通解为故方程的通解为即即由于由于21故方程的通解为即由于21解法解法2 方程变形为方程变形为故方程的通解为故方程的通解为代回原变量，得代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ，则有，则有22解法2 方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝例例5 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为1.；2.解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为23例5 求解下列方程即方程的解为1.即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为24即所以，方程的通解为24方程变形为方程变形为即有即有2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则25方程变形为即有2.此方程中不含变量 ，作变换 解得解得即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由26解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由 例例6 求下列方程的通解求下列方程的通解解解 1.特征方程为特征方程为解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解1.；2.；3.27例6 求下列方程的通解解 1.特征方程为解得 则则 2.特征方程为特征方程为 ，因而齐次方程的通解为，因而齐次方程的通解为由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为28则 2.特征方程为 代入方程后，比较系数得代入方程后，比较系数得所以所以因而方程的通解为因而方程的通解为29代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为29代入到原方程，得代入到原方程，得3.特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐次方，所以齐次方程的通解为程的通解为注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可设为设为30代入到原方程，得3.特征方程为 1一阶微分方程一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、第七章要点一、第七章要点311一阶微分方程一、第七章要点311一阶微分方程一阶微分方程1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法类型类型2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程类型类型解法解法321一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性3)齐次方程齐次方程此为变量可分离的微分方程此为变量可分离的微分方程类型类型解法解法 令令 ，则，则 原方程变为原方程变为333)齐次方程此为变量可分离的微分方程类型解法 令 4)伯努利方程伯努利方程为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程类型类型解法解法 令令 ，则原方程变为，则原方程变为344)伯努利方程为一阶线性微分方程类型解法 令 2可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程方法方法 作作 次积分次积分新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程1)类型类型2)类型类型方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为352可降阶的二阶微分方程方法 作 次积分新方程新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程3)类型类型 方法方法 令令 ，则原方程转变为，则原方程转变为36新方程是一个一阶微分方程3)类型 方法 令 3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程而称方程而称方程为方程为方程所对应的齐次线性方程有所对应的齐次线性方程有1)若若 是方程是方程的线性无关解，则方程的线性无关解，则方程有通解有通解373二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方的一个特解的一个特解2)若若 是方程是方程的特解，则方程的特解，则方程有通解有通解3)若若 是方程是方程 的特解，的特解，则则 为方程为方程38的一个特解2)若 是方程的特解，则方程有通解34二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程设方程设方程相应的特征方程为相应的特征方程为则：则：若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为394二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为，则方程的通解为若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 ，则方程的通，则方程的通解为解为40若方程有两个相同的实根 ，则方程的通2)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程设方程为设方程为则方程有特解则方程有特解其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式，而同次的多项式，而若若 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根412)二阶常系数非齐次线性微分方程设方程为则方程有特解其中 设方程设方程则方程有特解则方程有特解其中其中 是是 次的多项式，次的多项式，而，而 按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或042设方程则方程有特解其中 二、例二、例 题题 选选 讲讲解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，因因得得例例1 求解方程求解方程 43二、例 题 选 讲解 此方程为一个可分离变量的微分方程两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解44两边积分，得即得原方程的通解44解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例2 求解方程求解方程 ，作变换作变换 ，则有，则有45解 原方程变形后为齐次方程例2 求解方程 移项，得移项，得两边积分，得两边积分，得将将 代入，有代入，有46移项，得两边积分，得将 代入，有46即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，得，得 ，即原方程的解为，即原方程的解为47即满足初始条件的解为由初始条件 解解 原方程变形为原方程变形为即即例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得由求解公式得48解 原方程变形为即例3 求微分方程 4949分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得例例4 求解微分方程求解微分方程 解法解法1 此方程为齐次方程，作代换此方程为齐次方程，作代换 ，则有，则有50分离变量，得两边积分，得例4 求解微分方程 故方程的通解为故方程的通解为即即由于由于51故方程的通解为即由于51解法解法2 方程变形为方程变形为故方程的通解为故方程的通解为代回原变量，得代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ，则有，则有52解法2 方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝例例5 求解下列方程求解下列方程即即方程的解为方程的解为1.；2.解解 1.此方程不含变量此方程不含变量 ，故令变换，故令变换 ，则方程为，则方程为53例5 求解下列方程即方程的解为1.即即所以，方程的通解为所以，方程的通解为54即所以，方程的通解为54方程变形为方程变形为即有即有2.此方程中不含变量此方程中不含变量 ，作变换，作变换 ，则，则55方程变形为即有2.此方程中不含变量 ，作变换 解得解得即即分离变量后，再两边积分得分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解从而得方程的通解由由 ，得方程的解为，得方程的解为 由由56解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由 例例6 求下列方程的通解求下列方程的通解解解 1.特征方程为特征方程为解得解得 ，由此得到方程的通解，由此得到方程的通解1.；2.；3.57例6 求下列方程的通解解 1.特征方程为解得 则则 2.特征方程为特征方程为 ，因而齐次方程的通解为，因而齐次方程的通解为由于由于 为单根，故可设方程的特解为为单根，故可设方程的特解为58则 2.特征方程为 代入方程后，比较系数得代入方程后，比较系数得所以所以因而方程的通解为因而方程的通解为59代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为59代入到原方程，得代入到原方程，得3.特征方程为特征方程为 ，解得，解得 ，所以齐次方，所以齐次方程的通解为程的通解为注意到注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可不是特征方程的根，故方程的特解可设为设为60代入到原方程，得3.特征方程为