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如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足(3)则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定);否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法.利用定义即(3)式称间接法.不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法.下面介绍直接法.1 如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项，方程(1)近似为(4)(4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的平衡点.关于x0点稳定性有如下结论：若f(x0)0，则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的.2 将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一注:x0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明：记f(x0)=a，则(4)的一般解为x(t)=ceat+x0(5)其中常数c由初始条件确定，显然，a 0,q0，则平衡点稳定;若p0,q0(3)q=detA=kl(4)由稳定性准则(见6.6节(15)式)，当kl(5)时，平衡点(x0,y0)是稳定的;反之，是不稳定的.这就是说，在(5)式的条件下，时间足够长以后双方的军备将分别趋向一个有限值，军备竞赛是稳定的18 于是按照判断平衡点稳定性的方法计算(见6.6 模型的定性解释模型的定性解释根据方程(1)和平衡点稳定性的分析，可以解释几个简单而又重要的现象.1.条件(5)表明，当双方的经济制约程度大于双方的军备刺激程度kl时，军备竞赛才会趋向稳定.反之，x(t),y(t)将趋向无穷，竞赛无限地进行下去，可能导致战争.2.由(2)式，如果g=h=0，则x0=0,y0=0是方程(1)的平衡点，并且在条件(5)下它是稳定的.于是如果在某个时候t0有x(t0)=y(t0)=0，x,y就永远保持为零.这种情况可以解释为双方不存在任何敌视和争端，通过裁军可以达到持久和平两个友好的邻国正是这样.19 模型的定性解释 根据方程(1)和平衡点稳定3.如果g,h0，即使由于某种原因(如裁军协定)在某个时候双方军备大减，不妨设x(t0)=y(t0)=0，那么因为也将使双方重整军备.这说明未经和解的裁军(即不消除敌视或领土争端)是不会持久的.4.如果由于某种原因(如战败或协议)在某个时候一方的军备大减，不妨设x(t0)=0，那么因为 也将使该方重整军备.这说明存在不信任(k0)或固有争端(g0)的单方面裁军也不会持久.20 3.如果g,h 0，即使由于某种原因 模模型型参参数数的的估估计计为了利用(5)式判断军备竞赛是否会趋于稳定，需要知道,k,l的数值.估计这些参数无疑是很困难的，下面是Richardson提出的一种方法1.k,l估计设x(0)=0，当t较小时，忽略g和x的作用，并近似地假定y=y1不变，由方程(1)得(x=ky1t)(6)如果当t=时x=y1,则由(6)式得到k 1=(7)这说明k 1是甲方军备从0到赶上乙方军备y1所需的时间.21 模型参数的估计 为了利用(5)式判断军备竞例如德国从1933年开始重整军备，只用了约3年的时间就赶上了它的邻国.假设它增加军备的固有潜力g被制约效应x所抵消，那么可以认为德国的k 13年，即k0.3.l可以类似地估计，或者合理地假定它与国家的经济实力成正比.这样若乙国的经济实力是德国的2倍，则可以估计l0.6.22 例如德国从1933年开始重整军备，只用了约32.,的估计设g=0,y=0，由方程(1)可得x(t)=x(0)et以t=1代人算出x(1)=x(0)/e这表示 1是在乙方无军备时甲方军备减少到原来的1/e所需的时间Richardson认为这大概是一个国家议会的任期，对于议会任期5年的国家来说，0.2.23 2.,的估计23 对模型和参数的粗略检验对模型和参数的粗略检验考察第一次世界大战前夕欧洲的两个国家同盟法俄同盟和德奥匈同盟的军备竞赛情况.两个同盟的经济实力大致相等，且约为德国的3倍，因为德国的k0.3，所以这两个同盟的k=l0.9.同时假定=0.2，那么由于kl，(5)式不成立，它们的军备竞赛不会趋向稳定24 对模型和参数的粗略检验 考察第一次世界大战事实上，当时两个同盟之间既有军备竞赛也有贸易往来.用x1,y1表示双方的军事预算，x2,y2表示双方的贸易往来，从军事预算中扣除贸易往来作为双方的军备，即x=x1x2,y=y1y2.以k=l,=代人方程(1)，并将两式相加得到(8)或写作25 事实上，当时两个同盟之间既有军备竞赛也有贸易(9)式表明，x1+y1与它的变化率的关系是线性的.为了与实际数据比较，表1列出了两个同盟从1909年到1913年的军事预算，表中第5行(x1+y1)是(x1+y1)的年增加量，最后一行是相应的年平均值.表表l 两个同盟的军事预算两个同盟的军事预算(以百万英镑为单位以百万英镑为单位)19091910191119121913法俄x1115.3119.4127.8145.0166.7德奥匈y183.985.487.193.7122.3x1+y1199.2204.8214.9238.7289.0(x1+y1)5.610.123.850.3202.0209.8226.8263.826 (9)式表明，x1+y1与它的变化率的关比较(9)和(10)式，(10)式的线性关系粗略地说明本节介绍的模型具有一定的合理性.同时得到的k=0.73也与前面给出的估值k0.9,0.2相符，由军事预算体现的军备将继续增加.事实上，两个同盟问的军备竞赛终于引发了第一次世界大战评注用如此简单的模型描述错综复杂的军备竞赛过程也许难以令人信服，但是如果你没有更深入、可靠的知识去建立更满意的模型，那就不妨先做象本节这样的尝试.这种简化模型既是进一步研究的基础，也是建模方法的练习.27 比较(9)和(10)式，(10)式的线性关系
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