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第2课时2 平方根第2课时2 平方根1.1.了解平方根的概念，会用根号表示一个正数的平方根，了解平方根的概念，会用根号表示一个正数的平方根，并进行相关的计算并进行相关的计算.2.2.了解开方和乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某了解开方和乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的平方根些非负数的平方根.1.了解平方根的概念，会用根号表示一个正数的平方根，并进行相设图中的小方格的设图中的小方格的边长为边长为1 1，你能分，你能分别说出两个长方形别说出两个长方形的对角线的对角线ABAB，ABAB的长吗？的长吗？C?B?A?CBA设图中的小方格的边长为1，你能分别说出两个长方形的对角线AB想一想：想一想：如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于9 9，那么这个数是多少？，那么这个数是多少？3 3和和-3-3的平方的平方都等于都等于9 9想一想：填一填：填一填：写出左圈和右圈中的写出左圈和右圈中的“？”表示的数：表示的数：6464-11-1111110.60.60 0没有没有x2x8-84343-？1210.360-4-0.6-0.6 填一填：写出左圈和右圈中的“？”表示的数：64-111 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x x的平方等于的平方等于a a，即，即x x2 2=a=a，那么这，那么这个数个数x x就叫做就叫做a a的平方根（或二次方根）的平方根（或二次方根）.例如，因为例如，因为3 3和和-3-3的平方都等于的平方都等于9 9，我们就说，我们就说3 3和和-3-3是是9 9的平方根的平方根.也可以说也可以说9 9的平方根是的平方根是3.3.平方根的平方根的定义：定义：定义：定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这平方根的表示方法、读法平方根的表示方法、读法根号根号被开方数被开方数（a a是非负数）是非负数）读作：正、负根号读作：正、负根号a a平方根的表示方法、读法根号被开方数（a是非负数）读作：正、负（1 1）一个正数有几个平方根？）一个正数有几个平方根？（2 2）0 0 有几个平方根？有几个平方根？（3 3）负数呢？）负数呢？一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 0只有一个平方根，它是只有一个平方根，它是0 0本身；本身；负数没有平方根负数没有平方根.议一议议一议（1）一个正数有几个平方根？一个正数有两个平方根，它们互为相两种运算有什么不同？两种运算有什么不同？+1-1+2-2+3-3149x xx x2 2149+1-1+2-2+3-3这是什么运算？这是什么运算？平方运算平方运算x x2 2 x x两种运算有什么不同？+11x x21+求一个数求一个数a a的平方根的运算，叫做开平方，的平方根的运算，叫做开平方，a a叫做被叫做被开方数开方数.可以看出可以看出,平方与开平方互为逆运算平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可根据这种关系可以求出一个数的平方根以求出一个数的平方根.平方与开平方有什么关系？平方与开平方有什么关系？开平方的开平方的定义：定义：定义：定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数【例例】求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1 1）25 25 （2 2）0.81 0.81 （3 3）15 15（4 4）（）（-2-2）（5 5）0 0 （6 6）-3-3【例题例题】【例】求下列各数的平方根：【例题】【解析解析】（1 1）因为）因为 ，所以，所以2525的平方根是的平方根是55，即，即（2 2）因为）因为 ，所以，所以0.810.81的平方根是的平方根是0.90.9，即，即（3 3）1515的平方根是的平方根是（4 4）因为）因为 ，所以，所以 的平方根是的平方根是22，即，即（5 5）0 0的平方根是的平方根是0.0.（6 6）-3-3没有平方根没有平方根.【解析】（1）因为 ，所以25的平方根是5，1.1.一个数的平方等于它本身，这个数是一个数的平方等于它本身，这个数是_,_,一个数的平方根等于它本身，这个数是一个数的平方根等于它本身，这个数是_._.2.2.若若3a+13a+1的平方根是的平方根是0 0，那么，那么a a一定是一定是_._.3.3.若若4a+14a+1的平方根是的平方根是55，则，则a=_.a=_.1,01,00 06 6【跟踪训练跟踪训练】1.一个数的平方等于它本身，这个数是_,1.1.（杭州（杭州中考）中考）4 4的平方根是的平方根是 （）A.2 B.A.2 B.2 C.2 C.1616 D.D.1616 【解析解析】选选B.B.4 4的平方根是的平方根是 =2.2.1.（杭州中考）4的平方根是 （）2.2.（黄冈（黄冈中考）中考）2 2的平方根是的平方根是_._.【解析解析】根据平方根的定义得出根据平方根的定义得出2 2的平方根是的平方根是 .答案答案:2.（黄冈中考）2的平方根是_.3.3.一个数一个数x x的平方根等于的平方根等于m+1m+1和和m-3m-3，则，则m=m=，x=x=.【解析解析】根据一个正数的平方根互为相反数得，根据一个正数的平方根互为相反数得，m+1m+1和和m-3m-3互为相反数，即互为相反数，即m+1+m-3=0m+1+m-3=0，解得，解得m=1m=1，则，则m+1=2m+1=2，m-3=-2m-3=-2，所以，所以x=4.x=4.答案答案:1 41 43.一个数x的平方根等于m+1和m-3，则m=，x=4.4.若若|a-9|+|a-9|+（b-4b-4）=0=0，则，则 的平方根是的平方根是_._.【解析解析】因为因为|a-9|a-9|和（和（b-4b-4）都是非负数，且都是非负数，且|a-9|+|a-9|+（b-4b-4）=0=0，所以，所以|a-9|=0|a-9|=0，（，（b-4b-4）=0=0，所以，所以a=9,b=4a=9,b=4，,其平方根为其平方根为答案答案:4.若|a-9|+（b-4）=0，则 的平方根是_5.5.求下列各式中的求下列各式中的x:x:(1)x=16 (2)x=(1)x=16 (2)x=(3)x=15 (4)4x=81(3)x=15 (4)4x=81【解析解析】5.求下列各式中的x:【解析】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1.1.平方根的定义：平方根的定义：一般地，如果一个数一般地，如果一个数x x的平方等于的平方等于a a，即，即x x2 2=a=a，那么这个数那么这个数x x就叫做就叫做a a的平方根（或二次方根）的平方根（或二次方根）.2.2.开平方的定义：开平方的定义：求一个数求一个数a a的平方根的运算，叫做开平方的平方根的运算，叫做开平方.通过本课时的学习，需要我们掌握：读一本好书，如同交了一个益友读一本好书，如同交了一个益友.读一本好书，如同交了一个益友.7 7 二次根式二次根式第第4 4课时课时7 二次根式1.1.会把二次根式化为被开方数相同的二次根式会把二次根式化为被开方数相同的二次根式.2.2.理解和掌握二次根式简单的加减法理解和掌握二次根式简单的加减法.1.会把二次根式化为被开方数相同的二次根式.1.1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求？二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1 1）被开方数不含分母；分母不含根号）被开方数不含分母；分母不含根号.（2 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方2.2.化简下列各根式化简下列各根式(1)(1)(2)(3)(4)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(5)(6)(7)(8)2.化简下列各根式下列下列3 3组根式各有什么特征组根式各有什么特征?(1)(1)(2)(2)(3)(3)每一组的几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同每一组的几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同下列3组根式各有什么特征?(1)(2)(3)每一组的几个二次【例例1 1】下列各式中哪些的被开方数相同下列各式中哪些的被开方数相同?【例题例题】【例1】下列各式中哪些的被开方数相同?【例题】【解析解析】因为因为，.【解析】因为，.所以所以 的被开方数相同的被开方数相同.的被开方数相同的被开方数相同.的被开方数相同的被开方数相同.所以 的被开方数相同.【例例2 2】计算计算【解析解析】【例题例题】.【例2】计算【解析】【例题】.与合并同类项类似与合并同类项类似,把被开方数相同的二次根式的把被开方数相同的二次根式的系数相加减系数相加减,做为结果的系数做为结果的系数,根号及根号内部都不变根号及根号内部都不变.二次根式加减运算的步骤：二次根式加减运算的步骤：（1 1）将每个二次根式化为最简二次根式）将每个二次根式化为最简二次根式.（2 2）找出其中被开方数相同的二次根式）找出其中被开方数相同的二次根式.（3 3）合并被开方数相同的二次根式）合并被开方数相同的二次根式.一化一化二找二找三合并三合并结论：结论：与合并同类项类似,把被开方数相同的二次根式的系数相加在下列各组根式中，被开方数相同的是（在下列各组根式中，被开方数相同的是（）A.B.A.B.C.C.D.D.【解析解析】选选B.B.在选项在选项B B中，中，与与 被开方被开方数相同数相同.【跟踪训练跟踪训练】在下列各组根式中，被开方数相同的是（）【解析】选强调：强调：先化简，再合并先化简，再合并.【例例3 3】计算：计算：【解析解析】【例题例题】强调：先化简，再合并.【例3】计算：【解析】【例题】【解析解析】计算：计算：【跟踪训练跟踪训练】【解析】计算：【跟踪训练】1.1.下列计算正确的是（下列计算正确的是（）A.B.A.B.C.D.C.D.2.2.计算计算B1.下列计算正确的是（）2.计算B3.3.（安徽（安徽中考）计算中考）计算 .【解析解析】原式原式 答案：答案：4.4.（昆明（昆明中考）计算：中考）计算：【解析解析】原式原式 4.（昆明中考）计算：1.1.二次根式加减运算的步骤二次根式加减运算的步骤.2.2.会进行被开方数相同的二次根式的运算会进行被开方数相同的二次根式的运算.通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1.二次根式加减运算的步骤.通过本课时的学习，需要我们掌握 因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情.欧拉欧拉 因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因
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