第03章-多维随机变量及其分布课件

一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 第一节第一节 二维随机变量二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二图示图示一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 1.定义定义图示一、二维随机变量及其分布函数 1.定义实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置(X,Y)就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量.二维随机变量二维随机变量(X,Y )的性质不仅与的性质不仅与 X、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前区学前儿童的发育情况儿童的发育情况,则儿童的则儿童的身高身高 H 和体重和体重 W 就构成二就构成二维随机变量维随机变量(H,W).说明说明 实例1 炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 2.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 第03章-多维随机变量及其分布课件的概率，的概率，的概率，(2)分布函数的性质分布函数的性质且有且有(2)分布函数的性质且有第03章-多维随机变量及其分布课件 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有所取的可能值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称(X,Y)为二维离散型为二维离散型随机变量随机变量.二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 1.定义定义 若二维随机变量(X,Y)所取的可2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 2.二维离散型随机变量的分布律 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为问题：如何求（问题：如何求（X，Y）的分布律？）的分布律？（1）分别确定）分别确定X，Y的可能取值；的可能取值；（2）求每个）求每个方法一：利用概率的乘法公式计算方法一：利用概率的乘法公式计算方法二：直接利用古典概率计算方法二：直接利用古典概率计算问题：如何求（X，Y）的分布律？（1）分别确定X，Y的可能取解解且由且由乘法公式乘法公式得得例例1解且由乘法公式得例1第03章-多维随机变量及其分布课件X，Y=0，1，2，且，且X+Y2,则则(X,Y)的可能取值的可能取值解解抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色支绿色圆珠笔的盒子里圆珠笔的盒子里,随机抽取两支随机抽取两支,若若 X、Y 分别分别表示抽出的蓝笔数和红笔数表示抽出的蓝笔数和红笔数,求求(X,Y)的分布律的分布律.X，Y=0，1，2，且X+Y2,则(X,Y)的可能取第03章-多维随机变量及其分布课件故所求分布律为故所求分布律为故所求分布律为说明说明离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为1.定义定义 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量1.定义 三、二维连续型随机变量2.性质性质2.性质推广推广 n 维随机变量的概念维随机变量的概念定义定义 推广 n 维随机变量的概念定义 二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数 第二节第二节 边缘分布边缘分布二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分一、边缘分布函数一、边缘分布函数同理同理一、边缘分布函数同理二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 二、离散型随机变量的边缘分布律 第03章-多维随机变量及其分布课件补例补例1 1 已知下列联合分布律求其边缘分布律已知下列联合分布律求其边缘分布律.补例1 已知下列联合分布律求其边缘分布律.解解解把两封信随机地投入已经编好号的把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内个邮筒内,设设 可由对称性求得可由对称性求得再由古典概率计算得再由古典概率计算得：补例补例2解解把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设 可由对称性求得所有计算结果列表如下：(X,Y)关于Y的边缘分布律(X,Y)关于X的边缘分布律所有计算结果列表如下：(X,Y)关于Y的边缘分布律(将只红球和只白球随机地投入已经编好号的将只红球和只白球随机地投入已经编好号的3 3补例补例3解解类似地计算出其他结果类似地计算出其他结果：123将只红球和只白球随机地投入已经编好号的3补例3解类比较发现，补例比较发现，补例2 2与补例与补例3 3两者有完全相同的边缘分布，两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的而联合分布却是不相同的注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布比较发现，补例2与补例3两者有完全相同的边缘分布，而联合分布解解例例1样本点样本点解例1样本点第03章-多维随机变量及其分布课件三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.同理可得 Y 的边缘分布函数Y 的边缘概率密度.解解例例2 2解例2第03章-多维随机变量及其分布课件第03章-多维随机变量及其分布课件例例3例3解解由于由于于是于是解由于于是则有则有即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,则有即同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布第三节第三节 条件分布条件分布一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布第三问题问题一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 问题一、离散型随机变量的条件分布 定义定义条件分布律实际上就是由条件概率得到的。条件分布律实际上就是由条件概率得到的。定义条件分布律实际上就是由条件概率得到的。例例1例1解解由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得解由上述分布律的表格可得第03章-多维随机变量及其分布课件例例2 一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止.设以设以X 表示首次击中目表示首次击中目标所进行的射击次数标所进行的射击次数,以以Y 表示总共进行的的射击表示总共进行的的射击次数次数.试求试求 X 和和 Y 的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律.解解例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),现在求条件分布律现在求条件分布律由于由于现在求条件分布律由于第03章-多维随机变量及其分布课件定义定义二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布定义二、连续型随机变量的条件分布类似的定义类似的定义类似的定义解解例例3解例3又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为解解例例4解例4第03章-多维随机变量及其分布课件作业作业 第三章第三章 习题习题 第84页开始第2,3,5题作业 第三章 习题 第84页开始一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广第四节 相互一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性1.定义定义 这里是利用两个事件相互独立的概念这里是利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。引出两个随机变量相互独立的概念。一、随机变量的相互独立性1.定义 这里是利用两2.说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为2.说明 (1)若离散型随机变量(X,Y)的联合随机变量相互独立随机变量相互独立联合分布等于边缘分布的乘积联合分布等于边缘分布的乘积注注随机变量相互独立联合分布等于边缘分布的乘积注问题问题（1）如何判断两个随机变量是否相互独立？）如何判断两个随机变量是否相互独立？见书见书P73（2）如何由相互独立的随机变量的边缘分布）如何由相互独立的随机变量的边缘分布求它们的联合分布？求它们的联合分布？注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布独立性独立性+问题（1）如何判断两个随机变量是否相互独立？见书P73（2）因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,解解所以所以求随机变量求随机变量(X,Y)的分布律的分布律.补例补例1 1 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为因为 X 与 Y 相互独立,解所以求随机变量(X,Y注意注意联合分布律联合分布律求行和、列和求行和、列和边缘分布律边缘分布律独立性独立性+注意联合分布律求行和、列和边缘分布律独立性+解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,补例补例2解由于X 与Y 相互独立,补例2第03章-多维随机变量及其分布课件解解补例补例3解补例3(1)由分布律的性质知由分布律的性质知(1)由分布律的性质知特别有特别有又又(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以有所以有特别有又(2)因为 X 与 Y 相互独立,所以有二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广1.分布函数分布函数二、二维随机变量的推广1.分布函数2.概率密度函数概率密度函数2.概率密度函数 其它依次类推其它依次类推.3.边缘分布函数边缘分布函数 其它依次类推.3.边缘分布函数4.边缘概率密度函数边缘概率密度函数4.边缘概率密度函数5.相互独立性相互独立性5.相互独立性设设 相互独立相互独立，若均为离散型若均为离散型r.v.，则它们的联合分布律为，则它们的联合分布律为若均为连续型若均为连续型r.v.，则它们的联合概率密度函数为，则它们的联合概率密度函数为设 相互独立，若6.重要结论重要结论6.重要结论二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布一、问题的引入一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布二、离散型随机变量函数的分布一、问题的引入第五节两个随机变为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入为了解决类似的问题下面一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 例例1二、离散型随机变量函数的分布 例1概率概率解解等价于等价于概率解等价于概率概率概率第03章-多维随机变量及其分布课件结论结论结论例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.得得因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为求可得可得所以所以可得所以例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为于是于是解解例3 设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一于是解第03章-多维随机变量及其分布课件一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布习习 题题 课课一、重点与难点二、主要内容三、典型例题第三章多维随机变量及一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布（联合分布律、边缘分布律、条件分布律）（联合分布律、边缘分布律、条件分布律）随机变量的独立性随机变量的独立性2.难点难点二维随机变量的分布之间的关系二维随机变量的分布之间的关系二维离散型随机变量的函数的分布律二维离散型随机变量的函数的分布律一、重点与难点1.重点二维离散型随机变量的分布随机变量的独立定定 义义联联 合合 分分 布布 函函 数数 联联 合合 分分 布布 律律 联联 合合 概概 率率 密密 度度边边 缘缘 分分 布布条条 件件 分分 布布两两 个个 随随 机机 变变 量量 的的 函函 数数 的的 分分 布布随随 机机 变变 量量 的的 相相 互互 独独 立立 性性定定义义性性质质二二维维随随机机变变量量推推 广广二、主要内容二、主要内容定 义联 合 分 布 函 数 联 合 分 布 律 联 合 概二维随机变量二维随机变量二维随机变量(1)定义定义 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数(1)定义 二维随机变量的分布函数且有且有(2)性质性质 且有(2)性质 第03章-多维随机变量及其分布课件(3)n 维随机变量的概念维随机变量的概念(3)n 维随机变量的概念二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:二维离散型离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为离散型随机变量(X,Y)的分布函数为二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度(1)定义定义 二维连续型随机变量的概率密度(1)定义 (2)性质性质 (2)性质 表示介于表示介于 f(x,y)和和 xoy 平面之间的空间区域的全平面之间的空间区域的全部体积等于部体积等于1.(3)说明说明 表示介于 f(x,y)和 xoy 平面之间的空间区域的全(4)两个常用的分布两个常用的分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布.(4)两个常用的分布设 D 是平面上的有界区域,其面若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度二维正态分布的两边缘分布函数边缘分布函数 为随机变量为随机变量(X,Y)关于关于 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.边缘分布函数 为随机变量(X,Y)关于 Y 离散型随机变量的边缘分布离散型随机变量的边缘分布 离散型随机变量的边缘分布 随机变量关于随机变量关于X 和和 Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为联合分布联合分布边缘分布边缘分布随机变量关于X 和 Y 的边缘分布函数分别为联合分布边缘分连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布同理得同理得 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度连续型随机变量的边缘分布同理得 Y 的边缘概率密度(1)离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布随机变量的条件分布(1)离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布同理可定义同理可定义同理可定义(2)连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布(2)连续型随机变量的条件分布联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布联合分布、边缘分布、条件分布的关系联合分布边缘分布条件分布联随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性说明说明 (1)若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为说明 (1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布二维随机变量的推广二维随机变量的推广二维随机变量的推广其它依次类推其它依次类推.其它依次类推.第03章-多维随机变量及其分布课件(5)随机变量相互独立的定义的推广随机变量相互独立的定义的推广(5)随机变量相互独立的定义的推广第03章-多维随机变量及其分布课件随机变量函数的分布随机变量函数的分布 (1)离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布随机变量函数的分布 (1)离散型随机变量函数的分布当当 X,Y 独立时独立时,(2)连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布当 X,Y 独立时,(2)连续型随机变量函数的分布当当 X,Y 独立时独立时,当 X,Y 独立时,则有则有则有推广推广推广三、典型例题三、典型例题例例1三、典型例题例1解解解第03章-多维随机变量及其分布课件第03章-多维随机变量及其分布课件第03章-多维随机变量及其分布课件第03章-多维随机变量及其分布课件例例2思路思路例2思路解解解第03章-多维随机变量及其分布课件