弯曲的概念和力学模型的简化课件

1第8章 弯曲应力和强度计算1 8.1 弯曲的概念和力学模型的简化弯曲的概念和力学模型的简化起重机大梁起重机大梁1.1.工程实例工程实例ABF2弯曲应力和强度计算 8.1 弯曲的概念和力学模型的简化车削工件车削工件3车削工件弯曲应力和强度计算3火车轮轴火车轮轴4火车轮轴弯曲应力和强度计算45弯曲应力和强度计算52 2、弯曲的概念、弯曲的概念受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴线）作用。偶（其矢量垂直于杆轴线）作用。以弯曲为主要变形的杆件通称为以弯曲为主要变形的杆件通称为梁梁。梁梁变形特点：变形特点：1 1、直杆的轴线在变形后变为曲线；、直杆的轴线在变形后变为曲线；2 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。62、弯曲的概念受力特点：以弯曲为主要变形的杆件通称为梁。常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面3 3、平面弯曲的概念、平面弯曲的概念7常见弯曲构件截面3、平面弯曲的概念弯曲应力和强度计算7对称弯曲对称弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线8对称弯曲具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。对称弯曲对称弯曲 平面弯曲的特例。平面弯曲的特例。纵向对称面纵向对称面MP1P2q9平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 对称弯曲 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。10 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶3.支座简化支座简化11固定铰支座活动铰支座固定端集中载荷分布载荷集中力偶3.4.梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁M 集中力偶集中力偶q(x)分布力分布力悬臂梁 集中力集中力Pq 均布力均布力外伸梁124.梁的三种基本形式简支梁M集中力偶q(x)分布8.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解：求外力138.2 剪力和弯矩 一、弯曲内力：举例已知：如ABPYAXARBmmx求内力截面法AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC14ABPYAXARBmmx求内力截面法AYAQMRBPM2.剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定:剪力Q:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()152.剪力：Q3.内力的正负规定:剪力Q:绕研究对象顺剪力：左上右下为正剪力：左上右下为正弯矩：左顺右逆为正弯矩：左顺右逆为正16剪力：左上右下为正弯矩：左顺右逆为正弯曲应力和强度计算16 例例1：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。xy解：解：截面法求内力。1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。图（a）二、例题二、例题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x117例1：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。x2-2截面处截取的分离体如图（c）xy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）182-2截面处截取的分离体如图（c）xy图（a）qqLab1例例2 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA19例2 求图示外伸梁在截面11、22、33和44横截截面截面11截面截面22M1FS1F C111FAM2FS2F C222 xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA20截面11截面22M1FS1F C111FAM2FS2F 截面截面33截面截面44 xyAF Baa2a11224433Me=3FaFBFA33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB421截面33截面44 xyAF Baa2a11224433M内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1 1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。剪力值剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和形心的力矩代数和 xAF B11224433Me=3FaFA=3FFB=-2F22内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-F1.内力方程：内力与截面位置坐标 x 间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xQQ=剪力方程)(xMM=弯矩方程)(xQQ=剪力图的图线表示)(xMM=弯矩图的图线表示三、剪力方程和弯矩方程三、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图231.内力方程：内力与截面位置坐标 x 间的函数关系式。2.例例 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：求支反力写出内力方程PYOL根据方程画内力图M(x)xQ(x)Q(x)xPMO24例 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：求支反解：写出内力方程根据方程画内力图LqM(x)xQ(x)Q(x)x qL25解：写出内力方程根据方程画内力图LqM(x)xQ(x)QBAlFAYFBY图图示示简简支支梁梁C C点点受受集集中中力力作作用用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力F FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab例例26BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯BAlF FAYAYF FBYBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAyM/l FBy-M/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.3.依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。CMab例例27BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和BAlF FAYAYq qF FBYBY简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用 试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx例例28BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程四、四、剪力、弯矩与分布载荷间的关系剪力、弯矩与分布载荷间的关系29四、剪力、弯矩与分布载荷间的关系弯曲应力和强度计算29载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：1.1.q q0 0，F Fs s=常数，常数，剪力图为直线；剪力图为直线；2.2.M M(x)(x)为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s(x x)为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x)(x)为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向下（分布载荷向下（q q 0 0q0QQ0q0Q图特梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲8.3 8.3 纯纯弯曲时的正应力弯曲时的正应力42梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲梁段AC和BD上，既从三方面考虑：从三方面考虑：一、变形几何关系一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验作纯弯曲试验:变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系43从三方面考虑：一、变形几何关系变形几何关系物理关系静力学关系444445弯曲应力45梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。一个角度。46弯曲应力梁在纯弯曲时的平面假设：4647弯曲应力中中性轴47横截面上只有正应力。平面假设平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。两两 个个 推推 论论两两 个个 概概 念念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。48横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只CL8TU3-249弯曲应力CL8TU3-249二、物理关系二、物理关系 再作单向受力假设再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。：假设各纵向纤维之间互不挤压。50弯曲应力二、物理关系 再作单向受力假设：假设各纵向纤维之三、静力学关系三、静力学关系51弯曲应力三、静力学关系5152弯曲应力52中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心中性轴过截面形心53弯曲应力中性层的曲率公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心5横截面上的应力分布图：横截面上的应力分布图：54弯曲应力横截面上的应力分布图：54横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：55弯曲应力横截面上的最大正应力：当中性轴是横截面的对称轴时：556弯曲应力568.4 8.4 横力横力弯曲时的正应力和强度计算弯曲时的正应力和强度计算上式是在上式是在平面假设平面假设和和单向受力假设单向受力假设的基础上推的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。面。57弯曲应力8.4 横力弯曲时的正应力和强度计算上式是在平面假二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷58弯曲应力二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy解：画M图求截面弯矩3059例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：弯曲应力q=60q=60kN/mAB1m2m1112120zy求应力1803060弯曲应力q=60kN/mAB1m2m1112120zy求应求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11121201803061求曲率半径弯曲应力q=60kN/mAB1m2m111212 例例2：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。62弯曲应力 例2：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全63弯曲应力解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全63分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。（2 2）例例364弯曲应力分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算 ，（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（3 3）根据）根据计算计算 （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢65弯曲应力（4）选择工字钢型号（3）根据计算 （1）计作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置例4 466弯曲应力作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：非对称截（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：67弯曲应力（2）求截面对中性轴z的惯性矩 （1）求截面形心（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图68弯曲应力（4）B截面校核（3）作弯矩图68（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图69弯曲应力（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以以作为梁设计的主要依据。因此应使作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可尽可能地小，使能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。70 提高弯曲强度的措施弯曲应力控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正一一.降低降低 M Mmaxmax 合理布置支座合理布置支座FFF71弯曲应力一.降低 Mmax 合理布置支座FFF71合理布置支座合理布置支座72弯曲应力合理布置支座72合理布置载荷合理布置载荷F73弯曲应力合理布置载荷F73二二.增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面74弯曲应力二.增大 WZ 合理设计截面74合理设计截面合理设计截面75弯曲应力合理设计截面75合理放置截面合理放置截面76弯曲应力合理放置截面76三、等强度梁三、等强度梁 77弯曲应力三、等强度梁 7778弯曲应力78