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21.2.2一元二次方程的解法一元二次方程的解法对于方程对于方程（2）方程两边同除以）方程两边同除以a，得，得.（1 1）将常数项移到方程的左边，得）将常数项移到方程的左边，得.（3 3）方程两边同时加上）方程两边同时加上_，得，得 左边写成完全平方式，右边通分，得左边写成完全平方式，右边通分，得（4 4）开平方）开平方用配方法解用配方法解对于方程（对于方程（2）方程两边同除以）方程两边同除以a，得，得.（a0,4a20,当当b24ac0时，时，特别提醒特别提醒推导时必须推导时必须写写a0,4a20,当当b24ac0时，时，公式的公式的一元二次方程一元二次方程解的情况由解的情况由决定决定:(1)当当时，时，方程有两个方程有两个不相等不相等的实数根；的实数根；(2)当当时，时，方程有两个方程有两个相等相等的实数根；的实数根；(3)当当时，时，方程方程没有没有实数根实数根.根的判别式根的判别式一元二次方程解的情况由决定一元二次方程解的情况由决定:(1)当时，方程有两个当时，方程有两个不相等的不相等的一元二次方程一元二次方程的根由方程的系数的根由方程的系数a，b，c确定确定 将将a，b，c代入式子代入式子当当解一元二次方程时解一元二次方程时,可以可以先先将方程将方程化化为一般形式为一般形式 由求根公式可知由求根公式可知,一元二次方程最多有一元二次方程最多有两两个实数根个实数根一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式利用它解一元二次方程的方法叫做利用它解一元二次方程的方法叫做公式法公式法，时，时，一元二次方程的根由方程的系数一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定确定 将将a，b，c例例1.用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=0解解:a=2,b=5,c=-3,b2-4ac=52-42(-3)=491、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。x=即即 x1=-3,用公式法解一元二次方用公式法解一元二次方程的一般步骤：程的一般步骤：求根公式求根公式:X=4、写出方程的解：、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入、代入求根公式求根公式:X=(a0,b2-4ac0)(a0,b2-4ac0)x2=例例1.用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=01、把方程化成一般形、把方程化成一般形填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a=a=，b=b=，c=c=.b b2 2-4ac=-4ac=.x=x=.=.即 x x1 1=,x,x2 2=.3 35 5-2-25 52 2-43(-2)-43(-2)4949-2-2求根公式求根公式:X=1.1.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(1)x(1)x2 2+2x=5+2x=5(a0,b2-4ac0)做一做填空：用公式法解方程解：填空：用公式法解方程解：a=，b=，c=.3例2 用公式法解方程：x x2 2 x-=0 x-=0解：方程两边同乘以3 3,得 2 x2 x2 2-3x-2=0 -3x-2=0 x=x=即 x1=2,x2=-例3 用公式法解方程：x x2 2+3=2 x+3=2 x 解：移项，得x2 2-2 x+3=0-2 x+3=0a=1a=1，b=-2 b=-2 ，c=3c=3b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 )2 2-413=0-413=0 x=x=x x1 1=x=x2 2=当当 时，一时，一元二次方程有两个相等元二次方程有两个相等的实数根。的实数根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.b2-4ac=(-3)2-42(-2)=25.例例2 用公式法解方程：解：方程两边同乘以用公式法解方程：解：方程两边同乘以3,x=即即2.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(4)(4)4x4x2 2-3x+2=0-3x+2=0随堂随堂练习练习当当 时，一元时，一元二次方程没有实数根。二次方程没有实数根。b2-4ac02.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(4)4x2-3x+2=0 随堂练习当随堂练习当解：去括号，化简为一般式：解：去括号，化简为一般式：例例4 解方程：解方程：这里这里 方程没有实数解。方程没有实数解。解：去括号，化简为一般式：例解：去括号，化简为一般式：例4 解方程：这里解方程：这里 方程没有实方程没有实用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式、代入求根公式:2、求出、求出 的值，的值，1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值。的值。4、写出方程的解：、写出方程的解：特别注意特别注意:当当 时时,方程无实数解方程无实数解;用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式、代入求根公式:2、求、求3、练习、练习:用公式法解方程用公式法解方程:x2 2-2 x+2=0.1、方程、方程3 x x2 2+1=2 x+1=2 x中，中，b2-4ac=.2、若关于、若关于x的方程的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则n=.动手试一试吧！动手试一试吧！0-1或或43、练习、练习:用公式法解方程用公式法解方程:x2-2 x+21、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解有两个相等的实数解 思考题思考题1、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 思考题思考题2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)。当当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？思考题思考题2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+b课堂心得课堂心得课堂心得课堂心得本节课我有哪些收获？本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？我认为本节课的重点是什么？想一想想一想 记一记记一记 问一问问一问我还有哪些疑点？我还有哪些疑点？课课下下可可要要多多交交流流呦呦！解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出 a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2-4 a c的值.课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想我们把我们把b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式的根的判别式,通常用通常用表示表示.总结提高判别式定理判别式定理当当b2-4ac0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根当当b2-4ac=0时时,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根当当b2-4ac0时时,方程没有实数根方程没有实数根当当b2-4ac0时时,方程有两个实数根方程有两个实数根我们把我们把b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a若方程有两个若方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0 总结提高判别式逆定理判别式逆定理若方程有两个若方程有两个 相等的实数根相等的实数根,则则b2-4ac=0若方程没有实数根若方程没有实数根,则则b2-4ac0若方程有两个若方程有两个 实数根实数根,则则b2-4ac0若方程有两个若方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0 总结总结即一元二次方程：即一元二次方程：当当 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当当 时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。反过来，有反过来，有当方程有两个不相等的实数根时，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根，当方程有两个相等的实数根，；当方程没有实数根，当方程没有实数根，。记住了，记住了，别忘了别忘了!即一元二次方程：当即一元二次方程：当 时，方程有两个时，方程有两个 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个不相等实根两个相等实根两个相等实根无实数根无实数根（1）（2）（3）0=00（4）00两个实数根两个实数根两个不相等实根两个不相等实根两个相等实根两个相等实根无实数根无实数根（1）（2）（3）（4）一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个相等实根无实数根（一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个相等实根无实数根（要点、考点要点、考点1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根.(4)(4)当当00时，方程有两个实数根时，方程有两个实数根2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识主要用来求字母取值范围等问题的知识主要用来求字母取值范围等问题.1.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0.0.要点、考点要点、考点1.一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的根的应用应用1.不解方程判断方程根的情况：不解方程判断方程根的情况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数为常数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数为常数)=4(k2-4k+4)=4(k-2)2解：解：=4 k2-16k+16 0方程有两个不等实根方程有两个不等实根解：解：=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4 0方程有实根方程有实根含有字母系数时，将含有字母系数时，将配方后判断配方后判断 应用应用1.不解方程判断方程根的情况：不解方程判断方程根的情况：(1)x2-21 1、不解方程，判断根的情况、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4x-5=0;(2)x2-(m+1)x+m=0.=56 0方程有两个不相等的实数根；当当m-1=0时时，0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当当m-10时时，解：解：根的判别式问题根的判别式问题1、不解方程，判断根的情况、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4(1)、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有有两个实数根，则两个实数根，则m的取值范围是的取值范围是（）A、m 0 B、m 0 C、m 0 且且m1 D m 0且且m1解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选DD应用应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围：根据方程根的情况判断某一字母取值范围解：由题意，得解：由题意，得D应用应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围：根据方程根的情况判断某一字母取值范围(3)m为何值时为何值时,关于关于x的一元二次方程的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？有两个不等实根？解：解：=(2m+1)2-4m2=4m+1若方程有两个不等实根，则若方程有两个不等实根，则 04m+1 0m m-1/4-1/4对吗？m m-1/4 -1/4 且且m0m0注意二次注意二次项系数项系数(3)m为何值时为何值时,关于关于x的一元二次方程的一元二次方程m2x2+(2m+12 2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.解：一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.k0，又=4-12k 4-12k 0，解得 当当方程有实数根.且且 k0 时时，2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例例:k取取问题三问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：=-（m+7）2-49（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式问题三证明：问题三证明：=-（m+7）2-49（m-3）=（m3 3、证明字母系数方程有实数根或无实数根、证明字母系数方程有实数根或无实数根 例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.把判别式配方解：0方程有两个不相等的实数根；3、证明字母系数方程有实数根或无实数根、证明字母系数方程有实数根或无实数根 例例:求证方程求证方程2x2-问题问题四四：解含有字母系数的方程。：解含有字母系数的方程。解：当当a=0时，时，-5x+1=0 x=1.当当a0时，方程为一元二次方程时，方程为一元二次方程.问题四：解含有字母系数的方程。解：当问题四：解含有字母系数的方程。解：当a=0时，时，-5x+1=0(2008年北京市年北京市)已知已知 :关于关于的一元二次方程的一元二次方程(1)(1)求证求证:方程有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；相信自己一定行！相信自己一定行！(2008年北京市年北京市)已知已知:关于的一元二次方关于的一元二次方【例【例5】已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有两个等根，试判断有两个等根，试判断ABC的形状的形状.解：利用解：利用 0，得出，得出a=b=c.ABC为等边三角形为等边三角形.典型例题解析典型例题解析【例【例5】已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 解：利解：利例例6.一元二次方程一元二次方程有有两个两个实数根实数根,则则m的取值范围是的取值范围是_变例例6.一元二次方程变一元二次方程变2、选择题、选择题（请用最快的速度，把请用最快的速度，把“有两个实数根有两个实数根”的方的方程和程和“没有实数根没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）的方程的序号选入相应的括号内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）有两个实数根有两个实数根的方程的序号是（的方程的序号是（）没有实数根没有实数根的方程的序号是（的方程的序号是（）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任何一个一元二次方程或者有任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根两个实数根或者没有实数根a、c异号，异号，一元二次方程一元二次方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根抢答：抢答：2、选择题（请用最快的速度，把、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根有两个实数根”的方程和的方程和求根公式求根公式:X=一、由配方法解一般的一元二一、由配方法解一般的一元二次方程次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0)若若 b b2 2-4ac0-4ac0得得这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果求根公式求根公式:X=一、由配方法解一般的一元二次方程一、由配方法解一般的一元二次方程 ax这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果二、用公式法解一元二次方二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。并写并写出出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。3、代入、代入求根公式求根公式:X=(a0,b2-4ac0)4、写出方程的解、写出方程的解:x1=?,x2=?这是收获的二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：这是收获的二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化、把方程化这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果四、计算一定要四、计算一定要细心细心，尤其是，尤其是计算计算b b2 2-4ac-4ac的值和代入公式时，的值和代入公式时，符号符号不要弄错。不要弄错。三三、当、当 b b2 2-4ac=0-4ac=0时，一元二次时，一元二次方程有方程有两个相等两个相等的实数根。的实数根。当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时，一元二次时，一元二次方程有方程有两个不相等两个不相等的实数根。的实数根。当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时，一元二次时，一元二次方程方程没有没有实数根。实数根。这是收获的四、计算一定要细心，尤其是计算这是收获的四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代的值和代1、一元二次方程的一般形式是什么？、一元二次方程的一般形式是什么？2、解一元二次方程有哪四种方法？、解一元二次方程有哪四种方法？公式法公式法是由是由配方法配方法推推导而得到导而得到 公式法公式法是是解一元二次方解一元二次方程的程的通法通法.凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0,ac0)或或 a(x+p)2+q=0 (a0,aq0)的一元二次方程都可用直接开平方法解的一元二次方程都可用直接开平方法解.配方法、公式法配方法、公式法适用于适用于所有所有一元二次方程一元二次方程;先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解开平方法来求出它的解.公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法.1、一元二次方程的一般形式是什么？、一元二次方程的一般形式是什么？知识回顾知识回顾 公式法公式法解一元二次方程的方法有哪几种？根解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流解法的，并与同学交流.公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法.配方法、公式法配方法、公式法适用于适用于所有所有一元二次方程一元二次方程;因式分解法因式分解法适用于适用于某些某些一元二次方程一元二次方程 开平方法开平方法适用于适用于缺项缺项的的一元二次方程一元二次方程;解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常课时训练课时训练1.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况是是 ()A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根D2.方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是()A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是下列一元一次方程中，有实数根的是 ()A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 课时训练课时训练1.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况D2.方方4.关关于于x的的方方程程k2x2+(2k-1)x+1=0有有实实数数根根，则则下下列列结结论论正确的是正确的是 ()A.当当k=1/2时，方程两根互为相反数时，方程两根互为相反数 B.当当k=0时，方程的根是时，方程的根是x=-1 C.当当k=1时，方程两根互为倒数时，方程两根互为倒数 D.当当k1/4时，方程有实数根时，方程有实数根D课时训练课时训练5.若若关关于于x的的一一元元二二次次方方程程mx2-2x+1=0有有实实数数根根，则则m的取值范围是的取值范围是 ()A.m1 B.m1且且m0 C.m1 1 D.m1且且m0D4.关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则有实数根，则7.若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k=.28.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的值及该方程的根。的值及该方程的根。解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12，m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1.6.已已知知关关于于x的的一一元元二二次次方方程程x2+2x+k=0有有实实数数根根，则则k的取值范围是的取值范围是 ()A.k1 B.k1 C.k 1A7.若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=028
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