常-微-分-方-程-模-型-选-讲教学课件

36、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得到。-拿破仑。37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。常 微 分 方 程 模 型 选 讲基础概念基础概念-变化率变化率n设自变量t有微小改变量t时，因变量W的增量W，W对t的变化率有单位n相对变化率相对数6实践中的变化率实践中的变化率n“速度”、“增长率”、“速率”、“衰变率”、“边际”、“弹性”、“利率”、“出生率”等7本次讲座内容本次讲座内容n传染病模型传染病模型n鱼雷击舰问题鱼雷击舰问题n人口问题和生态问题人口问题和生态问题n常微分方程建模步骤常微分方程建模步骤8例一、传染病模型例一、传染病模型n按照传染病传播规律建立模型按照传染病传播规律建立模型n描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程n分析病人数的变化规律分析病人数的变化规律n预报传染病传播高潮到来的时刻预报传染病传播高潮到来的时刻n研究用隔离、治疗、打预防针等研究用隔离、治疗、打预防针等方法后对传染病蔓延的影响方法后对传染病蔓延的影响问题问题9传染病模型传染病模型 I I：指数增长模型：指数增长模型n假设：单位时间新增病人数与现有病人数成正比，比假设：单位时间新增病人数与现有病人数成正比，比例系数为例系数为 (日传染率：平均一个病人一天传染给几个日传染率：平均一个病人一天传染给几个健康人得病健康人得病)n记号：记号：t 时刻的病人数为时刻的病人数为 i(t)-函数函数建模建模10问题问题1 1：模型中的：模型中的l l如何确定如何确定？11如何利用实际数据确定l？n按上述公式选择适当的t*采用部分数据确定l 采用全部数据按统计方法确定ln先确定解的形式，再用函数拟合方法求出其中参数n选取 l 的效果常用模型计算解(理论值)和实际数据值之间的误差予以检验12?必须区分病人和健康人必须区分病人和健康人问题2：问题问题 人口总数有限；传染病通过病人与健康人的接人口总数有限；传染病通过病人与健康人的接触使病人数增加、健康人减少触使病人数增加、健康人减少13传染病模型传染病模型 II：Logistic 模型模型 假设：假设：总人口数总人口数 N 不变，病人不变，病人i,健康人：健康人：N-i新增病人数与现有病人数成正比，其比例系数记新增病人数与现有病人数成正比，其比例系数记为为k：k 与与健康人占总人口比例成正比健康人占总人口比例成正比,即即 k=ll(N-i)/NOR 新增病人数与两种人数的乘积成正比新增病人数与两种人数的乘积成正比建模建模14数学模型简化数学模型简化15解模16解的图像Logistic 模型ii010t17利用Matlab求积分n int(1/k/x/(1-x)n1/k*log(x)-1/k*log(-1+x)nsolve(t=1/k*log(x)-1/k*log(-1+x)n1/(-1+exp(t*k)*exp(t*k)n solve(t=1/k*log(x)-1/k*log(-1+x)-(1/k*log(a)-1/k*log(-1+a)na*exp(t*k)/(1-+a*exp(t*k)18选择参数利用Matlab画图nezplot(1/(1-exp(-0.2*t)*(-1+0.1)/0.1),0,40)19利用Matlab直接求微分方程解ndsolve(Du=k*u*(1-u),t)n1/(1+exp(-k*t)*C1)n dsolve(Du=k*u*(1-u),u(0)=a)n1/(1-exp(-k*t)*(-1+a)/a)20病人数何时增加得最快？1/2tmii010t当当 i=1/2(i=1/2(即病人数为总人口一半即病人数为总人口一半)时时,传染病爆发达到高潮传染病爆发达到高潮di/dt 增速达到增速达到最大最大tm的计算？的计算？病人始终增加病人始终增加211/2tmii010t设当设当 t=tm 时对应时对应 i=1/2i=1/2,即即tm时传染病爆发达到高潮时传染病爆发达到高潮tm=？22问题 3未考虑病人可以治愈未考虑病人可以治愈?ii010t23传染病模型传染病模型III：考虑治疗机制：考虑治疗机制n传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为健康人，病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染健康人可再次被感染n增加假设：单位时间病人治愈的比例为增加假设：单位时间病人治愈的比例为 (一一天平均有多少比例的病人可以治愈天平均有多少比例的病人可以治愈)建模建模24参数解释：参数解释：日传染率日传染率：平平均一个病人一天传均一个病人一天传染给几个健康人得染给几个健康人得病病1/感染期感染期 感染期内每天平均感染期内每天平均每个病人传染的人每个病人传染的人数，称为数，称为传染数传染数。(一天平均有多少一天平均有多少比例的病人可以治愈比例的病人可以治愈)25方程求解26解的研究：情况1(传染数传染数s1)27i0i00ti 11-1/解的研究：情况1(传染数传染数s1)28用matlab计算例子n l=0.4n s=1.21n 1-1/s=0.1667n i0=0.2(上图);0.1(下图)n ezplot(1/(6-exp(-1/15*t),0,100)(上图)nezplot(1/(6+4*exp(-1/15*t),0,100)(下图)29i0i0t 1di/dt 0解的研究：情况2(传染数传染数s1)30i0i0t 1di/dt 0发展趋势31用matlab计算例子n l=0.4n s=0.8ezplot(1/(-4+9*exp(1/10*t),0,100)(上图)nezplot(1/(6+4*exp(-1/15*t),0,100)(下图)32模型的意义模型的意义:传染病机制解释传染病机制解释传染病终趋消失的条件传染病终趋消失的条件 1:感染因素强于治疗因素33传染病模型传染病模型IVIV：传染病有免疫性传染病有免疫性n前面模型隐含病人治愈后会再被感染前面模型隐含病人治愈后会再被感染健康人健康人病人病人健康人健康人病人病人n增加假设增加假设:病人治愈后不会再被感染病人治愈后不会再被感染l三种人：健康人、病人和病愈者三种人：健康人、病人和病愈者l总人数总人数 N 不变，记病人、健康人和病愈者的比例分别为不变，记病人、健康人和病愈者的比例分别为n记病人的日传染记病人的日传染 ,日日治愈率治愈率,传染数传染数 =/n需建立需建立 的两个方程的两个方程34建模 =/35解模无法求出无法求出 的解析解的解析解在相平面在相平面 上上研究解的性质研究解的性质(s(t),i(t)可以看做(s,i)平面上的曲线(相轨线相轨线)的参数式36研究模型：相轨线方程3711si0D在在D内作相轨线内作相轨线(s(t),i(t)可以看做(s,i)平面上的曲线(相轨线相轨线)的参数式相轨线38相轨线走势相轨线走势39最大病人数条件40相轨线分析相轨线分析si101Ds(t)单调减单调减相轨线向左变化相轨线向左变化P1s0imP3P4P2S0相轨线起点在斜线附近相轨线起点在斜线附近41相轨线分析结论相轨线分析结论si101D传染病不蔓延传染病不蔓延P1s0imP2:s01/i(t)先升后先升后降至降至 01/阈值阈值P3P4P2S043模型的意义模型的意义:预防传染病蔓延预防传染病蔓延 (日传染率日传染率)隔离隔离 (日日治愈率治愈率)提高医疗水平提高医疗水平传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0 dsolve(D2u=sqrt(1+(Du)*(Du)/2/(1-t),u(0)=0,Du(0)=0)nans=1/3*i*(2+t)*(-1+t)(1/2)+2/3n-1/3*(2+t)*(1-t)(1/2)+2/3533.建立计算机模拟模型建立计算机模拟模型p鱼雷的鱼雷的初始位置初始位置(0,0);ptk时刻鱼雷的位置为时刻鱼雷的位置为(xk,yk),运动方向的方向运动方向的方向角角a a;ptk时刻敌舰的位置为时刻敌舰的位置为(1,v0tk),初始位置初始位置(1,0)54计算机模拟计算机模拟55计算机模拟敌舰计算机模拟敌舰:第第 k 秒秒 x y210.0140410.0280610.0420810.05601010.07001210.08401410.09801610.11201810.12602010.14002210.15402410.1680第第 k 秒秒 x y7210.50407410.51807610.53207810.54608010.56008210.57408410.58808610.60208810.61609010.63009210.64409410.658056计算机模拟鱼雷计算机模拟鱼雷:第第 k 秒秒 x y20.02800.000440.05600.001260.08400.002480.11190.0040100.13980.0061120.16770.0086140.19560.0116160.22330.0151180.25110.0190200.27870.0235220.30630.0285240.33370.0340第第 k 秒秒 x y720.89940.3670740.91500.3903760.92940.4143780.94260.4390800.95460.4643820.96530.4903840.97470.5166860.98260.5434880.98910.5707900.99420.5982920.99770.6260940.99970.653957类似问题类似问题问题问题:如如图图所所示示,一一条条猎猎犬犬发发现现它它的的正正西西方方1里里处处有有一一只只野野兔兔正正朝朝北北边边1里里处处的的兔兔巢巢逃逃奔奔,猎猎犬犬随随即即朝朝兔兔子子奔奔走走方方向向追追赶赶.已已知知兔兔子子奔奔跑跑速速度度为为0.42里里/分分钟钟,猎猎犬犬速速度度为为兔兔子子速速度度的的2倍倍,试试问问猎猎犬犬能能否否在在野野兔兔逃逃回回兔兔巢前追上野兔巢前追上野兔?58类似问题类似问题问题问题(1988AMCM_A)确定毒品走私位置：确定毒品走私位置：走私船走向随机走私船走向随机发现范围是一个区域发现范围是一个区域寻找最大可能发现毒品船对策略寻找最大可能发现毒品船对策略59例三：人口问题和生态问题例三：人口问题和生态问题n马尔萨斯人口模型n有资源限制的人口模型n勒斯里模型60前两种模型61勒斯里模型n人口与年龄、时间有关：两个自变量n归结为含偏导数的微分方程-偏微分方程(参考文献)n离散化后得到差分方程-勒斯里模型简化了的勒斯里模型假设：n三种鱼:一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼n只有二龄鱼能生育62简化了的勒斯里模型N1的说明对t积分离散化，按1年周期计算6364 生态模型与 ode45的用法 x0=1;1x0=1 1 t,x=ode45(aa,0,6,x0);plot(t,x)function rw=aa(t,x)rw=(3-2*x(2)*x(1);(-2.5+x(1)*x(2);65相轨线66历届数模竞赛中历届数模竞赛中与微分方程有关的问题与微分方程有关的问题n注意：不一定纯粹为微分方程问题，和注意：不一定纯粹为微分方程问题，和统计、计算方法等知识结合起来统计、计算方法等知识结合起来n1996A 最优捕鱼策略最优捕鱼策略n2003A SARS的传播的传播n2006B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测 n2007A 中国人口增长预测中国人口增长预测 67 31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。黑格尔32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。普列姆昌德33、希望是人生的乳母。科策布34、形成天才的决定因素应该是勤奋。郭沫若35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。洛克