工程电磁场导论第一章课件

第第 一一 章章静静 电电 场场第一章 静电场Steady Electric Field基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、惟一性问题镜像法和电轴法电容和部分电容静电能量与力静电场的应用环路定律、高斯定律电场强度和电位序下 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.0序 静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。Introduction下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法 分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D 的散度基本物理量 E、D基本实验定律（库仑定律）静电场知识结构E 的旋度下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.1库仑定律(Coulombs Low)Electric Field Intensity and Electric PotentialN(牛顿)适用条件：库仑定律1.1电场强度和电位图1.1.1两点电荷间的作用力点电荷之间的作用力靠什么来传递？思考两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数F/m下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.1电场强度和电位基本概念：1、试体：电场用另一电荷的受力来描述其特性，另一电荷就称为试体。试体应是一个电量很小的点电荷（电荷与体积都尽可能小）2、两类点：均用坐标及矢量表示源点：引起电场的点场点：电场中需要确定场量的点3、距离向量：原点到源点的距离向量原点到场点的距离向量源点到场点的距离向量 点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，总电量不变的带电小球体。第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.1库仑定律(Coulombs Low)N(牛顿)适用条件：库仑定律图1.1.1两点电荷间的作用力两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数F/m第第 一一 章章静静 电电 场场推论：多个点电荷对q0的作用力：连续分布电荷对q0的作用力，dq看作点电荷：库仑定律说明：在电荷的周围存在电场。第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.2电场强度(Electric Intensity)V/m(N/C)定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F（a）单个点电荷产生的电场强度V/m图1.1.2点电荷的电场一般表达式为下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场（b)n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加原理)（c)连续分布电荷产生的电场强度（根据物质结构理论，电荷的分布实际上是不连续的，但当考察电的宏观现象时，可以把电荷的离散分布近似的用它的连续分布代替而得到令人满意的结果）图1.1.3矢量叠加原理第第 一一 章章静静 电电 场场图1.1.4体电荷的电场元电荷产生的电场，体电荷体电荷，面电荷面电荷，线电荷线电荷第第 一一 章章静静 电电 场场线电荷分布体电荷分布面电荷分布下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场解:轴对称场，圆柱坐标系。例1.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷线密度为 ,试求P 点的电场。下 页上 页返 回图1.1.5带电长直导线的电场x x第第 一一 章章静静 电电 场场无限长直导线产生的电场平行平面场。0下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 例1-1 真空中有无限长均匀带电直导线，电荷线密度为 ,试求P 点的电场。例1-2 求电荷面密度为 ，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。带电长直导线的电场第第 一一 章章静静 电电 场场矢量恒等式故静电场是无旋场1.静电场的旋度1.1.3旋度和环路定律(Curl and Circuital Law)点电荷电场取旋度0下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.静电场的环路定律电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。由Stokes定理，静电场在任一闭合环路的环量说明即下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.4电位（无限大真空）（无限大真空）一、电压的定义：P，Q两点之间电压为从从P点到点到Q点点移动单位正电荷电场力正电荷电场力所作的功。（注意：起点与终点的方起点与终点的方向顺序向顺序，也即：为积分顺序为积分顺序。）1、的计算：（由电场力作功公式推出），电压单位为：伏特（V）第第 一一 章章静静 电电 场场即：P.Q两点间的电压只与P，Q两点的位置有关，与路径无关。推论：,可见功与能量守恒，即：静电场为静电场为守恒场守恒场。2、电压与路径的关系：以点电荷q为例，而任意分布的电荷可看成点电荷dq的叠加，因而结果具有普遍性。二、电位：在整个电场选定唯一且固定的一个点Q作为参考点，空间任一点P与参考点之间的电压定义为P点的电位。1、参考点选择：理论上：无穷远处为参考点，未注明以后参考点均指无穷远。实际工程中：大地为为参考点。第第 一一 章章静静 电电 场场2、电位计算：单个点电荷q：q 放在坐标原点：q 放在任意位置：多个点电荷：先求点电荷的电位再求和求和。第第 一一 章章静静 电电 场场连续分布：dqdq为点电荷，先求点电荷的电位再积分（也积分（也可看作求和）可看作求和）。第第 一一 章章静静 电电 场场 负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中1.E 与 的微分关系矢量恒等式由根据E与 的微分关系，试问静电场中的某一点()()?所以二、电位与电场强度的关系第第 一一 章章静静 电电 场场2.已知电荷求电位点电荷群连续分布电荷以点电荷为例式中相应的积分原域下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场3.与E的积分关系图1.1.6E 与的积分关系线积分式中设P0为电位参考点，即 ，则P点电位为所以下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场4.电位参考点例如：点电荷产生的电位：点电荷所在处不能作为参考点场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点，为什么？见参考书电磁学专题研究P591P597下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场5)电力线与等位线（面）E线微分方程直角坐标系当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线(面)。等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。电位相等的点连成的曲面称为等位面。1.1.7电力线方程下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场解：在球坐标系中所以用二项式展开，又有rd，得例1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线(rd)。图1.1.8电偶极子下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力线方程(球坐标系)：等位线方程(球坐标系)：将 和 代入 E 线方程 表示电偶极矩（dipole moment)，方向由-q 指向+q。图1.1.9电偶极子的等位线和电力线下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力线与等位线（面）的性质：图1.1.10点电荷与接地导体的电场图1.1.11点电荷与不接地导体的电场E 线不能相交,等线不能相交；E 线起始于正电荷，终止于负电荷;E 线愈密处，场强愈大;E 线与等位线（面）正交；下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场图1.1.12介质球在均匀电场中图1.1.13导体球在均匀电场中图1.1.14点电荷位于无限大介质上方图1.1.15点电荷位于无限大导板上方下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场，体电荷体电荷，面电荷面电荷，线电荷线电荷第第 一一 章章静静 电电 场场例1-3真空中xy平面上一半径为a的圆形线电荷（线电荷密度为）。试确定轴线上离圆心z处的P点的电位及场强。例1-4求面电荷密度为，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电位和电场强度。例1-5正六边椎体底面六个定点各有点电荷q，底边的边长为a，棱长与底面正六边形的对角线相等，求椎体顶点的电场强度。第第 一一 章章静静 电电 场场作散度运算1.2.1真空中的高斯定律(Gausss Theorem in Vacuum)高斯定律的微分形式1.E 的散度 说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。1.2高斯定律Gausss Theorem下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.E 的通量图1.2.1闭合曲面的电通量图1.2.2闭合面外的电荷对场的影响散度定理S 面上的 E 是由系统中全部电荷产生的。E 的通量等于闭合面 S 包围的净电荷。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 1.2 高斯通量定理高斯通量定理前面讨论了E 的环路线积分:静电场为守恒场本节讨论的闭合面积分:高斯通量定理第第 一一 章章静静 电电 场场1.2.1真空中的高斯通量定理：1、点电荷：任意闭合面结果相同2、多个点电荷：（q为闭合面S内所有电荷)3、连续分布：第第 一一 章章静静 电电 场场1.2.2.电介质中的高斯定律(Gausss Theorem in Dielectric)1.静电场中导体的性质导体内电场强度 E 为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面，接地导体都不带电。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（）下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场无极性分子有极性分子图1.2.3电介质的极化2.静电场中的电介质电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷(polarized charge)；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。下 页上 页返 回E E第第 一一 章章静静 电电 场场极化强度P(polarization intensity)表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 电介质的极化率 各向同性媒质媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质；线性媒质媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；均匀媒质媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位体积 V 内电偶极子产生的电位3.极化强度与极化电荷的关系图1.2.4电偶极子产生的电位下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场矢量恒等式：下 页上 页返 回图1.2.5体积V 内电偶极矩产生的电位第第 一一 章章静静 电电 场场令极化电荷体密度极化电荷面密度下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电介质的强度（或：击穿场强）：某种材料能承受最大能承受最大场强而不至于击穿场强而不至于击穿的这个场强为其电介质的强度，电力产品的性能处决于其绝缘材料的电介质强度。常见绝缘材料的电介质强度。材料空气云母橡胶玻璃电介质强度（伏/米）第第 一一 章章静静 电电 场场思考根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零电介质均匀极化时，极化电荷体密度 有电介质时，场量为下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场4.电介质中的高斯定律定义 电位移矢量（displacement vector）所以高斯定律的微分形式取体积分有高斯定律的积分形式下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场在各向同性介质中介电常数 F/m其中 相对介电常数，无量纲量。构成方程下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.2.1平板电容器中有一块介质,画出D、E 和 P 线分布。图1.2.6D、E 与P 三者之间的关系D线E线P线思考D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E 线由正电荷出发，终止于负电荷；P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。电介质内部的电场强度是否减少了？下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.2.2 若点电荷q 分别置于金属球壳内外，问（1)穿过闭合面（金属球壳）的 D 通量是多少？（2)闭合面上的 D 与 q 有关吗？（3)若在金属球壳外放置电介质，重问 1)，闭合 面上 的 D 与电介质有关吗？下 页上 页返 回图1.2.7点电荷q 分别置于金属球壳的内外第第 一一 章章静静 电电 场场 在静电场中（不问在真空还是介质中，也不在静电场中（不问在真空还是介质中，也不问介质均匀与否），由任意闭合面穿出的问介质均匀与否），由任意闭合面穿出的D D通量的面通量的面积分等于该面内积分等于该面内自由电荷自由电荷的代数和。这就是高斯通的代数和。这就是高斯通量定理的内容。量定理的内容。五.高斯定律的文字表述第第 一一 章章静静 电电 场场高斯定律的微分形式高斯定律的积分形式第第 一一 章章静静 电电 场场计算技巧：a）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律 求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。六.高斯定律的应用下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.2.3 试求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解:分析场分布,取圆柱坐标系由得下 页上 页返 回图1.2.8无限长均匀带电体第第 一一 章章静静 电电 场场球壳内的电场球壳外的电场例1.2.4 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下 页上 页返 回图1.2.10q分别在金属球内外图1.2.9q在金属球壳内第第 一一 章章静静 电电 场场例1-8 真空中有两个金属球，外球壳带电 内球壳带电 ，求1）内球壳外表面，外球壳内、外表面的带电量；2）场中各处的电场强度及电位。比较场强叠加原理和高斯定律两种解法，用高斯定律比较简单，因此，能用高斯定律时，尽量不用其他方法。用高斯定律求场强分布，关键是对称性分析。它只是在电场的对称性已做出分析的基础上可以求出场强的大小，而E的方向是在分析场分布的空间对称时就已经得出的。第第 一一 章章静静 电电 场场试求半径为a，电荷面密度为的均匀带电球面的电场。试求半径为a，电荷体密度为的均匀带电球体的电场。第第 一一 章章静静 电电 场场例1-9 一长直圆柱电容器，其长度L远大于截面半径。已知内外导体的半径为 ,中间介质的介电常数为 ，求 介质中的电场强度与两导体电压之间的关系。第第 一一 章章静静 电电 场场例1-10 三个半径分别为 ,带电量分别为 ，求 1）各球壳的电位2）当外球壳接地，其他球壳不接地时，其他球壳的电位3）当内球壳接地，其他球壳不接地时，其他球壳的电位第第 一一 章章静静 电电 场场1.3基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1基本方程(Basic Equation)静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition静电场的基本方程为微分形式积分形式构成方程下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场矢量 A可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?例1.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场包围点 P 作高斯面()。1.3.2分界面上的衔接条件（Boundary Condition)1.D 的衔接条件则有根据图1.3.1介质分界面D 的法向分量不连续当 时，D 的法向分量连续。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.E 的衔接条件围绕点P 作一矩形回路()。E 的切向分量连续。根据则有3.折射定理当交界面上 时，折射定律下 页上 页返 回图1.3.2介质分界面第第 一一 章章静静 电电 场场4、的衔接条件设P1与P2位于分界面两侧，因此电位连续得电位的法向导数不连续由 ，其中图1.3.3电位的衔接条件下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场用表示边界条件：电位连续，电位的法向分量约束。分界面电位连续：（能量连续）电位法向分量约束。金属与介质分界面：即：导体（第一种介质）与电介质（第二种介质）分界面的边界条件：第第 一一 章章静静 电电 场场小结：分界面的边界条件：（没有特别说明情况下，认为介质分界面无面电荷 ）1、边界条件：由积分形式基本方程推导出，切线分量：，法线分量：折射定律：折射定律适应于无自由电荷分布的两种电介质分界面。第第 一一 章章静静 电电 场场说明（1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；图1.3.4导体与电介质分界面例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。解:分界面衔接条件导体中E0，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的D等于该点的。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场解：忽略边缘效应图(a)图(b)例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。下 页上 页返 回图1.3.5平行板电容器第第 一一 章章静静 电电 场场1.4边值问题、惟一性定理1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程(Poissons Equation and Laplaces Equation)泊松方程拉普拉斯算子Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem拉普拉斯方程当r=0时下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.4.2边值问题（Boundary Problem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件(待讲）分界面衔接条件强制边界条件有限值自然边界条件有限值泊松方程拉普拉斯方程下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线)下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法边值问题下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2、泊松方程与拉普拉斯方程的应用条件：各向同性、线性、均匀介质。3、泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题：第一类边值问题，又名：第里赫列问题已知导体电位，求电场中电位的分布；第二类边值问题，又名：聂以曼问题已知导体表面电荷分布密度 ，求导体电位 及场中电位 的分布；混合边值问题：已知一些导体的电位 和另一些导体的表面电荷分布密度 ，求整个电场分布。二、唯一性定理：只要满足给定的边值，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的（证明从略）有兴趣的同学自己看，参考矢量分析与场论。第第 一一 章章静静 电电 场场例1.4.2试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题（阴影区域）下 页上 页返 回图1.4.1缆心为正方形的同轴电缆第第 一一 章章静静 电电 场场通解例1.4.3试求体电荷产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域建立方程边界条件参考电位图1.4.2体电荷分布的球体第第 一一 章章静静 电电 场场电场强度（球坐标梯度公式）：得到图1.4.3随r变化曲线下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.4.3惟一性定理（Uniqueness Theorem)也即：只要满足给定的边值，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的（证明从略）有兴趣的同学自己看，参考矢量分析与场论。惟一性定理惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。分方程的解是惟一的。第第 一一 章章静静 电电 场场答案:（C）例1.4.4图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图1.4.4平板电容器外加电源U0第第 一一 章章静静 电电 场场1.7镜像法与电轴法镜像法和电轴法的理论依据都是静电场的唯一性定理。镜像法和电轴法的理论依据都是静电场的唯一性定理。因此熟练地确定点电荷与接地导体（电介质）平面问题因此熟练地确定点电荷与接地导体（电介质）平面问题的镜像电荷的大小和位置、点电荷与接地导体球问题的的镜像电荷的大小和位置、点电荷与接地导体球问题的镜像电荷的大小和位置，两平行圆柱导体问题的电轴的镜像电荷的大小和位置，两平行圆柱导体问题的电轴的位置和电量的大小都是本章的重点。掌握镜像电荷的求位置和电量的大小都是本章的重点。掌握镜像电荷的求法及镜像法的有效区域是本节的难点。法及镜像法的有效区域是本节的难点。第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法处理问题的特点在于不直接去求解电位所满足的镜像法处理问题的特点在于不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提下，用假象的简单电荷分布（镜像电荷）来等效的前提下，用假象的简单电荷分布（镜像电荷）来等效地取代导体面（或电介质分界面）上复杂的感应（极化）地取代导体面（或电介质分界面）上复杂的感应（极化）电荷对电位的贡献电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。，从而使问题的求解过程大为简化。1.7.1镜像法镜象法镜象法分区均匀媒质看作均匀媒质分区均匀媒质看作均匀媒质用简单的虚设电用简单的虚设电荷代替实际复杂的边界分布电荷荷代替实际复杂的边界分布电荷,只要边界条件相同，就只要边界条件相同，就可用虚拟电荷计算待研究区域的电场。可用虚拟电荷计算待研究区域的电场。第第 一一 章章静静 电电 场场1.无限大导电平板的镜象法：（第一类边值问题）图1.7.1平面导体的镜像 方程相同，边界条件相同，解惟一。空气中除点电荷外，a上半场域除点电荷外b平板撤去，+q的镜象位置放一个-q的点电荷，整个空间充满的介质，上半空间也可满足上述方程和上述边界条件。第第 一一 章章静静 电电 场场地面上感应电荷的总量为（方向指向地面）例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。解：设点电荷 q 镜像后图1.7.2地面电荷分布下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外的边值问题（除q点外的空间)设镜像电荷 如图，球面电位 下 页上 页返 回图1.7.3点电荷对接地导体球的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场将 r1,r2代入方程 ，得联立求解得到镜像电荷位置镜像电荷大小下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场球外任一点 P 的电位与电场为图1.7.5球外的电场分布镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。图1.7.4球外的电场计算下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。则任一点场强解：边值问题（除q点外的空间)通量为零（大小相等）球面等位（位于球心）思路图1.7.6不接地金属球的镜像下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个数，大小与位置。图1.7.7点电荷位于不接地导体球附近的场图任一点电位球面电位思考下 页上 页返 回图1.7.8点电荷对导体球面的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场（一般了解）推广：改为60的夹角，如下图：则有：个镜象电荷。思考题：（n为整数），镜象电荷的个数为多少个？答案为：2n-1个。q-qq-qq-q第第 一一 章章静静 电电 场场3、两种介质中的镜象法：1、方程：介质中（除点电荷所在点外）介质中2、边界条件：3、处理方法：中的电场计算：空间充满的介质，利用及计算；中的电场计算：空间充满的介质，利用计算。第第 一一 章章静静 电电 场场代入边界条件则有：4、推广：第第 一一 章章静静 电电 场场图1.7.10电场分布图试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。思考题：中的电场由 q 与 q共同产生，q等效替代极化电荷的影响。中的电场由 q”决定，q”等效替代自由电荷与极化电荷的作用。图1.7.11点电荷q1与q2分别置于与区域中思考下 页上 页返 回提示第第 一一 章章静静 电电 场场例1-11参阅附图，求（1）点电荷所受之力（2）区域2中，镜像电荷所在处的电场强度及电位（3）点电荷与边界距离一半处的电位第第 一一 章章静静 电电 场场例1-12两种理想介质的交界面为极大的平面，介质1中有点电荷+q，试求介质2中P(0,-h,0)点的电位。第第 一一 章章静静 电电 场场例1-14如图所示，放入介质中，求所受力的作用。第第 一一 章章静静 电电 场场例1-15一个半径为R的导体球上带有电量为Q的电荷，在距球心d（）处有一点电荷，求（1）空间电位分布（2）导体球对点电荷q的力。第第 一一 章章静静 电电 场场如何求解，很长的平行带电圆柱导体的电场。1.7.2电轴法（Electric Axis Method）电轴法是用两根假想的带等量异号电荷的无限长直线（电轴）来代替两个带电柱形导体，这样就把求解电荷分布不均匀的带电圆柱产生的电场问题，变成了求解两电轴在所考虑区域内产生的电场问题。如果代替以后，仍然保持圆柱体上的边界条件不变，根据唯一性定理，用线电荷算出的周围空间的电位就是两圆柱体周围空间的电位。这个方法的关键是寻找两根线电荷（即电轴）的位置。第第 一一 章章静静 电电 场场(导线以外的空间)能否用高斯定律求解？思考边值问题下 页上 页返 回1.7.12长直平行双传输线第第 一一 章章静静 电电 场场1.两根细导线产生的电位以 y 轴为参考电位，C=0，则 令：C，等位线方程图1.7.13两根带电细导线下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场K 取不同值时，得到一族偏心圆。a、h、b满足关系整理后，等位线方程圆心坐标圆半径图1.7.14两根细导线的等位线下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 根据 ，得到 Ex 和 Ey 分量图1.7.15两细导线的场图E线方程思考 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.电轴法(以y 轴为参考电位)例1.7.3试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。b)圆柱导线间的电场与电位解：a)取圆柱坐标系电轴位置下 页上 页返 回图1.7.16平行传输线电场的计算第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.4试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。图1.7.17不同半径传输线的电轴位置解：下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1）参考电位的位置；2）有效区域。解：确定例1.7.5试确定图示偏心电缆的电轴位置。注意：图1.7.18偏心电缆电轴位置下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.6已知平行传输线之间电压为U0,试求电位分布。解：确定电轴的位置所以设电轴线电荷，任一点电位下 页上 页返 回图1.7.19电压为U0的传输线 第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的理论基础是：镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的关键是：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.8电容定义：单位：电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容的计算思路：设Capacitance and Distributed Capacitance1.8电容及部分电容第第 一一 章章静静 电电 场场一、单个导体的电容：孤立导体与无限远处另一导体间一、单个导体的电容：孤立导体与无限远处另一导体间的电容的电容例例1：半径为：半径为R的球形导体的电容计算。的球形导体的电容计算。二、两导体之间的电容：二、两导体之间的电容：例例2：两无限长，半径为：两无限长，半径为a的圆柱形导线，单位长度的电的圆柱形导线，单位长度的电容的计算。容的计算。0yx第第 一一 章章静静 电电 场场解：设内导体的电荷为q，则同心球壳间的电压球形电容器的电容当 时（孤立导体球的电容）例1.8.1试求同心球壳电容器的电容。图1.8.1同心球壳电容器第第 一一 章章静静 电电 场场（1）电位分布（2）单位长度上导线之间的电容例1.8.2半径为a1,a2的两平行导体圆柱的轴间距离为d，设它们单位长度上所带的电量分别为，求第第 一一 章章静静 电电 场场掌握：1利用电场强度和电位的定义计算电场2利用电场强度和电位的关系计算电场3根据泊松方程和拉普拉斯方程计算电场4根据高斯通量定理计算对称的电场5利用唯一性定理及其方法电轴法、镜像法计算电场6静电场的基本方程，两种媒质的分界条件7静电场中的导体与电介质的特点8电容的计算难点：1、电位参考点的选择2、镜象法3、电轴法第第 一一 章章静静 电电 场场1.8.2部分（分布）电容（Distributed Capacitance)1.已知导体的电荷，求电位和电位系数图1.8.2三导体静电独立系统多导体系统静电独立系统部分电容基本概念下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场导体的电位与电荷的关系为下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场导体i 电位的贡献；aii自有电位系数，表明导体 i 上电荷对 a 电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；aij互有电位系数，表明导体 j 上的电荷对导体i 电位的贡献；下 页上 页返 回矩阵形式第第 一一 章章静静 电电 场场2.已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 b 静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；bii 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献；bij 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。矩阵形式：下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容矩阵形式部分电容的性质静电独立系统中n1个导体有个部分电容Ci j均为正值，下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；部分电容可将场的概念与电路结合起来。下 页上 页返 回图1.8.3部分电容与电容网络第第 一一 章章静静 电电 场场 例1.8.2试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知da,且ah。解：部分电容个数由对称性，得(1)图1.8.4两线输电线及其电容网络下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电容与带电量无关，故则利用镜像法，两导体的电位代入式（2），得(2)下 页上 页返 回图1.8.5两线输电线对大地的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场联立解得两线间的等效电容：下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场所以静电屏蔽在工程上有广泛应用。图1.8.6静电屏蔽 三导体系统的方程为：4.静电屏蔽当 时，说明1号与2号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.9静电能量与力1.9.1静电能量(Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force1.用场源表示静电能量q3从移到c点，所需能量q2从 移到 b 点，需克服 q1的电场力做功，q1从 移到 a 点不受力，所需能量 W1=0，下 页上 页返 回图1.9.1点电荷的能量第第 一一 章章静静 电电 场场总能量推广1：若有n 个点电荷的系统，静电能量为单位：J（焦耳）推广2：若是连续分布的电荷，下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.用场量表示静电能量矢量恒等式能量密度因 当 时，面积分为零，故能量下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.9.1试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电能量。解法一由场量求静电能量下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场解法二由场源求静电能量球内任一点的电位代入式（1）(1)下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场 例1.9.2 原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负电荷云-q包围，试求原子结合能。解：例1.9.1中当 时下 页上 页返 回图1.9.2原子结构模型第第 一一 章章静静 电电 场场1.9.2静电力(Electrostatic Force)1.虚位移法(Virtual Displacement Method)功=广义力广义坐标 广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 单 位 NN/mN/m2Nm 广义力 f：企图改变广义坐标的力。广义坐标 g：距离、面积、体积、角度。下 页上 页返 回力的方向：f 的正方向为g 增加的方向。第第 一一 章章静静 电电 场场（1）常电荷系统（K断开）表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现。在多导体系统中，导体p发生位移dg后,其功能关系为外源提供能量=静电能量增量+电场力所作功即图1.9.3多导体系统(K 断开)下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场外源提供能量的增量 说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。（2）常电位系统（K 闭合）广义力是代数量，根据 f 的“”号判断力的方向。图1.9.4多导体系统(K 闭合)下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场解法一：常电位系统例1.9.3 试求图示平行板电容器极板的电场力。图1.9.5平行板电容器取 d 为广义坐标（相对位置坐标）负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场解法二：常电荷系统负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场例1.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为a，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。解：取体积为广义坐标f 的方向是广义坐标V增加的方向，表现为膨胀力。N/m2下 页上 页返 回图1.9.6球形薄膜第第 一一 章章静静 电电 场场2.法拉第观点（Farades review）法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为图1.9.9根椐场图判断带电体受力下 页上 页返 回图1.9.7电位移管受力情况图1.9.8物体受力情况第第 一一 章章静静 电电 场场例1.9.5 计算平板电容器中介质分界面上的压强。图(a)若 ，则 力由 指向 。结论:分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。下 页上 页返 回图1.9.10平行板电容器(a)(b)第第 一一 章章静静 电电 场场图(b)结论:分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。若 ，则 力由 指向 。(b)下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场静态场的应用图1.9.11静电分离Steady Field Applications图1.9.12静电喷涂上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场对场点坐标作散度运算矢量恒等式推导电场强度的散度公式下 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场即场点与源点不重合时所以返 回第第 一一 章章静静 电电 场场对称场源高斯面的选取球、轴、面对称场源的高斯面 球对称分布：如均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。轴对称分布：如无限长均匀带电的细线，圆柱体，圆柱壳等。无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平板有厚度的带电平板等。返 回第第 一一 章章静静 电电 场场惟一性定理的证明（1）（2）对式（2）两端求体积分证明（反证法）即(3)下 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.若为第二类边值问题，在边界上1.若为第一类边值问题，在边界上有限，且故面积分为零，要满足式（3），必有，即 此式也必须满足边界，所以c0，有 ，电位是惟一的。同上原因，或 ，即 电场强度是惟一的。当电位参考点确定后，电位是惟一的.返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力电容下 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力电容下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场冲击电压发生器下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力电容下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场变压器（6kV:250kV）调压器（06kV）水电阻可产生1800kV冲击电压放电铜球放电线路六氟化硫SF6气体绝缘设备上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力电缆下 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场220kVXLPE交链聚乙烯高压电力电缆下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场6kV三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力电缆上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场屏蔽室门下 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场屏蔽室门（双层铜皮）下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场测量局部放电上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场，体电荷体电荷，面电荷面电荷，线电荷线电荷求解电场：直接法和间接法第第 一一 章章静静 电电 场场高斯定律的微分形式高斯定律的积分形式构成方程或辅助方程或场量的关系方程第第 一一 章章静静 电电 场场静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。静电场的基本方程为微分形式积分形式构成方程第第 一一 章章静静 电电 场场惟一性定理惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。位微分方程的解是惟一的。泊松方程拉普拉斯算子拉普拉斯方程当r=0时间接法：间接法：第第 一一 章章静静 电电 场场分界面的边界条件：（没有特别说明情况下，认为介质分界面无面电荷 ）1、边界条件：由积分形式基本方程推导出，切线分量：，法线分量：折射定律：折射定律适应于无自由电荷分布的两种电介质分界面。第第 一一 章章静静 电电 场场用表示边界条件：电位连续，电位的法向分量约束。分界面电位连续：（能量连续）电位法向分量约束。金属与介质分界面：即：导体（第一种介质）与电介质（第二种介质）分界面的边界条件：第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法（电轴法）镜像法（电轴法）的理论基础是：镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的关键是：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：第第 一一 章章静静 电电 场场设电容的计算：