数学分析第二十一章重积分第二次课课件

定义定义1的函数的函数,J是一个确定的数，是一个确定的数，在在上可积上可积,在在上的上的三重积分三重积分,记作记作积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式体积元素体积元素是定义在三维空间可求体积的有界闭区域是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上上定义1的函数,J是一个确定的数，在上可积,在上的三重1三重积分的可积性条件和性质与二重积分相似。性质性质:例如，3)3)中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在使得使得V V 为为 的的体积体积,三重积分的可积性条件和性质与二重积分相似。性质:例如，32二、利用直角坐标系计算三重积分二、利用直角坐标系计算三重积分二、利用直角坐标系计算三重积分3方法方法1.截面法(“先二后一”)方法方法2.投影法(“先一后二”)方法方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算可用于一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:三种计算方法三种计算方法方法1.截面法(“先二后一”)方法2.投影法(“先4方法方法1.截面法截面法(“先二后一先二后一”)方法1.截面法(“先二后一”)5因此为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作因此为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度6方法方法2.投影法投影法(“先一后二先一后二”)如图，如图，注意注意方法2.投影法(“先一后二”)如图，注意7因此该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作因此该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作8方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成9方法方法1.截面法截面法“先二后一先二后一”方法方法2.投影法投影法“先一后二先一后二”方法方法3.“三次积分三次积分”方法1.截面法“先二后一”方法2.投影法“先一后二”10数学分析第二十一章重积分第二次课课件11数学分析第二十一章重积分第二次课课件12解解解13解解如图，如图，解如图，14 将用三次积分表示,其中由所提示提示:练习练习1六个平面围成,将用三次积分表示,其中由所提示:练习1六个平面围成,15数学分析第二十一章重积分第二次课课件16其中V 为三个坐标计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面练习练习2其中V 为三个坐标计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面17例例6.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”例6.计算三重积分解:用“先二后一”18练习练习3作业作业：P251,1(1)(3),2(1).练习3作业：P251,1(1)(3),2(1).19三、三重积分换元法三、三重积分换元法三、三重积分换元法201.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面1.利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐21数学分析第二十一章重积分第二次课课件22其中为由练习练习4.计算三重积分所围成解解:在柱面坐标系下及平面柱面半圆柱体.其中为由练习4.计算三重积分所围成解:在柱面坐标系下232.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面锥面半平面2.利用球坐标计算三重积分 直角坐标与球面坐标的关系坐标24数学分析第二十一章重积分第二次课课件25例例8.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面例8.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中 与26例例9 9.解解.例9.解.27例例1010.计算三重积分计算三重积分解解.例10.计算三重积分解.28练习练习5.设由锥面和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 练习5.设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性29内容小结内容小结三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式.被积函数被积函数形式简洁形式简洁.坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系投影投影,切片切片,三次积分三次积分.积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面围成围成;作业作业：P251,3,4(1),7(1).内容小结三重积分也有类似二重积分的换元积分公式.被积函数形式306 6 重积分的应用重积分的应用一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 6 重积分的应用一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的311.问题的特点问题的特点:所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 2.解决问题的解决问题的方法方法:用微元法用微元法(元素法元素法)，化为重积分，化为重积分 3.解题解题要点要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 1.问题的特点:所求量是 对区域具有可加性分布在有界闭域上32一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有33例例1 1.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为例1.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立34二、曲面的面积二、曲面的面积二、曲面的面积35故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 则有故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 则有36例例2.计算双曲抛物面被柱面所截解解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 S.练习练习.计算半径为 a 的球的表面积.例2.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在 xoy 面37三、物体的质心三、物体的质心设物体占有空间域设物体占有空间域,有连续密度函数有连续密度函数则采用则采用“分割分割,近似代替近似代替,求和求和,取极限取极限”可导出其质心公式。可导出其质心公式。将将 分成分成 n n 小块小块,在第在第 k k 块上任取一点块上任取一点例如例如,令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径即得即得此质点系的质心坐标就近似该物体的质心坐标此质点系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.三、物体的质心设物体占有空间域,有连续密度函数则采用“分割38同理同理则得则得形心坐标形心坐标：同理则得形心坐标：39若物体为占有若物体为占有xoy xoy 面上区域面上区域 D D 的平面薄片的平面薄片,其面密度其面密度(A A 为为 D D 的面积的面积)得得D D 的的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标为则它的质心坐标为 对对 x x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y y 轴的轴的 静矩静矩若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,其面密度(A40例例3.求位于两圆和的质心.解解:利用对称性可知而之间均匀薄片练习练习.计算密度均匀的上半椭球体的重心.(教材256例3)例3.求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间均匀41四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密42类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转43如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.44例例4.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.例4.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系45解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例5.5.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例5.求46 G 为引力常数为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,物体对位于物体对位于，利用元素法，利用元素法,在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为原点的单位质量质点的引力原点的单位质量质点的引力 G 为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对47对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引48例例6.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。作业作业：P259,1,3(1),5(1),6(1)*.例6.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由49例例7*.求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量点例7*.求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解50“第第2121章章 重积分重积分”的习题课的习题课（2）一、内容要求一、内容要求1、了解二重积分的概念和性质2、掌握利用直角坐标系、极坐标系计算二重积分的方法，会利用坐标变换计算二重积分3、掌握格林公式及应用，会曲线积分与路线无关的条件及应用4、了解三重积分的概念和性质、了解三重积分的概念和性质5、掌握利用直角坐标系、柱面坐标系和球坐标系计算三重积、掌握利用直角坐标系、柱面坐标系和球坐标系计算三重积分的方法，会利用坐标变换计算三重积分分的方法，会利用坐标变换计算三重积分6、会重积分在几何、物理上的简单应用、会重积分在几何、物理上的简单应用“第21章 重积分”的习题课（2）一、内容要求1、了解二重51二、练习二、练习.把积分把积分化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面答答:积分域为积分域为及平面及平面所围成的闭区域所围成的闭区域.原式原式二、练习.把积分化为三次积分,其中由曲面答:积分域52.试计算椭球体试计算椭球体的体积的体积 V.利用利用“先二后一先二后一”计算计算.解法解法1解法解法2利用三重积分换元法利用三重积分换元法.令令则则注意：只计算上半椭球体体积呢？注意：只计算上半椭球体体积呢？.试计算椭球体的体积 V.利用“先二后一”计算.解法1解53计算积分其中是两个球(R 0)的公共部分.解解:可以用柱坐标。但由于被积函数缺 x,y,利用“先二后一先二后一”计算方便.原式=.P251 3(1).计算积分其中是两个球(R 0)的公共部分.解:54.计算三重积分计算三重积分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式=另：原式另：原式.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中555.计算其中解解:利用对称性5.计算其中解:利用对称性566.计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线x=5所围成的闭区域.解解:利用柱坐标原式绕 x 轴旋转而成的曲面与平面6.计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线x=5所围成577.求曲面所围立体体积.解解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 7.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xo588.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示提示:建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,8.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边59(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研考研)提高题提高题1(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单60提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)61由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的62提高题提高题2.解解:在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 提高题2.解:在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中63提高题提高题3.设函数 f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论 F(t)在区间(0,+)内的单调性;(2)证明 t 0 时,(03考研)提高题3.设函数 f(x)连续且恒大于零,其中(1)64解解:(1)因为 两边对 t 求导,得解:(1)因为 两边对 t 求导,得65(2)问题转化为证 即证 故有因此 t 0 时,因(2)问题转化为证 即证 故有因此 t 0 时,因66