人教版九年级数学上第二十一章《一元二次方程》课件

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新1学习目标1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.（重、难点）3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）学习目标1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数2情景引入雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？导入新课导入新课情景引入雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无3设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2m，下部BC=xm，请列出方程.ACB解：列方程得解：列方程得整理得整理得x 2+2x-4=0 x2=2(2-x)，导入新课导入新课想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？xm(2-x)m等量关系：AC：BC=BC：AB即BC2=2AC设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以4问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cmx3600cm2一元二次方程的概念一讲授新课讲授新课解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(1002x)cm，宽为(502x)cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得化简，得该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？问题1有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角5问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：根据题意，列方程：化简，得：该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，6观察与思考 方程、都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:都是整式方程;都只含一个未知数;未知数的最高次数都是2.x2-75x350=0 x2+2x-4=0 x2-x-56=0 观察与思考方程、都不是一元一次方程.那么这三7等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a0)ax2 称为二次项，a 称为二次项系数.bx 称为一次项，b称为一次项系数.c 称为常数项.u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未8想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当 a=0 时bxc=0 当 a 0，b=0时，ax2c=0 当 a 0，c=0时，ax2bx=0 当 a 0，b=c=0时，ax2=0 总结：只要满足a 0，b，c 可以为任意实数.想一想为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b9典例精析例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0化简整理成12x+10=0提示 判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.典例精析例1下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）10 判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0(1)x2+x=36注意：未限定注意：未限定a0判断下列方程是否为一元二次方程？(2)x3+x2=11例2a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x=2x2；(2)(a1)x|a|+12x7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a2)x2x=0，所以当a20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|+1=2，且a10知，当a=1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值例2a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x12变式：方程(2a4)x22bx+a=0,（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解：（1）当2a40，即a2时，是一元二次方程；（2）当a=2且b0时，是一元一次方程方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.变式：方程(2a4)x22bx+a=0,解：（1）当13例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意例3将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一14一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？与联系？ax=b (a0)ax2+bx+c=0 (a0)整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点思考：一元一次方程15一元二次方程的根二u一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.试一试：下面哪些数是方程 x2 x 6=0 的解?-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4x-4-3-2-101234x2 x 61460-4-6-6-406一元二次方程的根二一元二次方程的根使一元二次方程等16例4已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值.例4已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是17变式：已知a是方程x2+2x2=0 的一个实数根，求2a2+4a+2018的值.解：由题意得：方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值变式：已知a是方程x2+2x2=0的一个实数根，求218问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220 x建立一元二次方程模型三问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等191.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是_m2，纵向小路的面积是m2,两者重叠的面积是m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得思考：220 x3220(32x220 x)2x2=5702x2x2-36x35=03220 x1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是_m2，20想一想：还有其他的方法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220想一想：还有其他的方法吗？试说明原因.(20-x)(32-221审建立一元二次方程模型的一般步骤建立一元二次方程模型的一般步骤设找列审题，弄清已知量与未知量之间的关系设未知数找出等量关系根据等量关系列方程审建立一元二次方程模型的一般步骤设找列审题，弄清已知量与未知22当堂练习当堂练习1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1当堂练习1.下列哪些是一元二次方程？3x+2232.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项01313-540-53-22.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项01313-243.关于x的方程(k21)x22(k1)x2k20，当k时，是一元二次方程当k时，是一元一次方程113.关于x的方程(k21)x22(k1)x2k254.（1）已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_;（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程得m2-4=0，解得m=2.m+2 0，m-2，综上所述：m=2.4.（1）已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则m的值265.(1)如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）；解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2 cm2.整理，得根据题意，得200cm150cm5.(1)如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm27(2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，整理，得根据题意，得(2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万28课堂小结课堂小结一 元 二次 方 程概 念是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0 (a 0)其中(a0)是一元二次方程的必要条件；根使方程左右两边相等的未知数的值.建立一元二次方程模型审设找列课堂小结一元二次方程概念是整式方程；一般形式ax2+bx+c2921.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时直接开平方法九年级数学上（RJ）教学课件21.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课30学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p0)的方程.(重点）学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.31导入新课导入新课情景引入 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”。思考：将军是怎么知道敌方营地长的？导入新课情景引入古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎321.如果 x2=a，则x叫做a的 .导入新课导入新课复习引入平方根2.如果 x2=a(a 0)，则x=.3.如果 x2=64，则x=.84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.1.如果x2=a，则x叫做a的.导入新课33讲授新课讲授新课直接开平方法解形如x2=p(p0)的方程一问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设一个盒子的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，讲授新课直接开平方法解形如x2=p(p0)的方程一问题：一34试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=-2.解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.解：移项，得x2=-1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.试一试：(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+35(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0;(3)当p0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根36 例1 利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)x2900=0.解：(1)x2=6，直接开平方，得(2)移项，得 x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30，x2=30.典例精析方法点拨：通过移项把方程化为x2=p的形式，然后直接开平方即可求解例1利用直接开平方法解下列方程：(1)x2=6；(37在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到：(x+3)2=5，得对照上面的方法，你认为可以怎样解方程(x+3)2=5？探究交流于是，方程(x+3)2=5的两个根为直接开平方法解形如(x+n)2=p(p0)的方程二在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到：38 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二39例2 解下列方程：（1）(x1)2=2；解析：第1小题中只要将(x1)看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，x+1=典例精析例2解下列方程：解析：第1小题中只要将(x1)看成是一个40解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.（2）(x1)24=0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得(x-1)2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.41 x1=，x2=（3）12(32x)23=0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再将等式两边同时除以12，再同第1小题一样地去解.解：（3）移项，得12(3-2x)2=3，两边都除以12，得(3-2x)2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5，3-2x=-0.5x1=，x2=（3）12(32x)242解：解：方程的两根为方程的两根为解：解：方程的两根为方程的两根为例3 解下列方程：解：方程的两根为解：方程的两根为例3解下列方程：431.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或(xn)2=p(p0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果44当堂练习当堂练习 C.4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)=3，x1=，x2=D.(2x+3)2=25，解方程，得解方程，得2x+3=5，x1=1，x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2，解方程，得x=B.(x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .x1=0.5，x2=-0.5x13，x2-3x12，x212.2.填空填空:当堂练习C.4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)453.解下列方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)2=4.解：x19，x29；解：x15，x25；解：x11，x23.3.解下列方程：解：x19，x29；解：x15，46课堂小结课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的4721.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时配方法九年级数学上（RJ）教学课件21.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课48学习目标1.理解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）学习目标1.理解配方法的概念.49导入新课导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程.2.你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b解：解：导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-503.3.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗?(1)x2+6x+9=5；(2)x2+4x+1=0.转化成(x+2)2=9的形式，再利用开平方3.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1)x2+6x+951讲授新课讲授新课用配方法解方程一探究交流解：方程变形为(x+3)2=5，试一试试一试 解方程：解方程：x2+6x+9=5.开平方，得解得将方程左边因式分解，配成完全平方式用开平方法解方程如何配方呢？讲授新课用配方法解方程一探究交流解：方程变形为(x+3)2=52 填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？222323424填一填填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+53二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结填一填：x2+px+()2=(x+)2配方的方法二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方54想一想怎样解方程:x2+4x+1=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？解：x2+4x+1=0 x2+4x=-1移项 x2+4x+4=-1+4两边都加上4为什么在方程x2+4x=-1的两边加上4？加其他的数，行吗？(x+2)2=3左边写成完全平方形式想一想怎样解方程:x2+4x+1=0(1)55要点归纳 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路 把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解要点归纳像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次56例1 解下列方程：分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.典例精析例1解下列方程：分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用57解：移项，得x28x=1，配方，得x28x+42=1+42，(x4)2=15由此可得即解：移项，得x28x=1，配方，得x28x+42=158配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得 2x23x=1，即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x23x59配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即即配方，得因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时60练一练 解下列方程：(1)x2+8x+4=0；(2)4x2+8x=-4；(3)-2x2+6x-8=0.解：移项，得x2+8x=4.配方，得(x+4)2=12.开平方，得解得解：整理得x2+2x+1=0.配方，得(x+1)2=0.开平方，得x+1=0.解得x1=x2=1.解：整理得x23x=4.配方，得所以原方程无实数根.练一练解下列方程：(1)x2+8x+4=0；(2)4x2+61一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时，则时，则 ，方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时，则时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相开平方得方程有两个相等的实数根等的实数根 x1=x2=-n.当当p0时，62思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；降次；降次；解一次方程解一次方程.思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要思考2：用配方法解63例2试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k24k5 的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=(k2)21因为(k2)20，所以(k2)211.所以k24k5的值必定大于零.配方法的应用二典例精析例2试用配方法说明：不论k取何实数，多项式解：k24k64应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+6x-7的最大值.练一练解：原式=2(x-1)2+3 当x=1时，有最小值3.解：原式=-3(x-1)2-4 当x=1时，有最大值-4.含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)2+n的形式来解决.归纳应用配方法求最值.练一练解：原式=2(x-1)2+65例3若a，b，c为ABC的三边长，且试判断ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，ABC为直角三角形.例3若a，b，c为ABC的三边长，且66归纳总结配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略2.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值恒的值恒为为正正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.1.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数和的形式和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0，则a2(b2)2=0，即a=0，b=2.归纳总结配方法的应用类别671.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6，x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3，x2=1.当堂练习当堂练习1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(682.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.解：根据题意得x2+1=2x+4整理得x22x3=0，配方得(x1)2=4，解得x1=1，x2=3.2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值693.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.解：x2x1=(x2+x+)+1所以x2x1的值总是负数.当 时，x2x1有最大值3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总704.若，求(xy)z 的值.解：对原式配方，得由代数式的性质可知4.若71课堂小结课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一 元 二 次 方 程 的 方 法.步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.7221.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.2公式法九年级数学上（RJ）教学课件21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授73学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）74导入新课导入新课复习引入1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?解：方程整理得配方得开平方得解得导入新课复习引入1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?75想一想想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a0)能否也用配方法得出它的解呢？想一想任何一个一元二次方程都可以写成一般形式76讲授新课讲授新课求根公式的推导一合作探究用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).二次项系数化为1，得 解：移项，得配方，得即 问题：对于方程接下来能用直接开平方解吗？讲授新课求根公式的推导一合作探究用配方法解一般形式的一元二77a 0，4a20.式子b2-4ac 的值有一下三种情况的值有一下三种情况：（1）b2-4ac 0，这时 0，由得 方程有两个不等的实数根 a0，4a20.式子b2-4ac的值有一下三种情78（2）b2-4ac=0这时 =0，由可知，方程有两个相等的实数根 x1=x2=-.-.（3）b2-4ac 0这时 0，由可知 0，而x取任何实数都不能使0，因此方程无实数根.（2）b2-4ac=0这时=0，由可知，方79两个不相等的实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根两个相等的实数根没有实数根没有实数根两个实数根两个实数根 判别式的情况 根的情况根的情况 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，即=b2-4ac.0 =0 0b2-4ac=0b2-4ac 0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根（3）7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y284例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A.q4B.q4C.q16C解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac0，即.解得q16，故选C.典例精析例3若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的85【变式题】二次项系数含字母若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k-1B.k-1且k0C.k1D.k-1且k0【变式题】二次项系数含字母B当一元二次86【变式题】删除限制条件“二次”若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k-1B.k-1且k0C.k1D.k1且k0分析：分类讨论k=0k0原方程变形为-2x-1=0，有实数根b2-4ac0k-1A【变式题】删除限制条件“二次”分析：分类讨论k=0k0原方87由上可知，当0时，方程ax2+bx+c=0 (a0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 的的求根公式求根公式.注意运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2-4ac 0时，才可以用求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解方程三由上可知，当0时，方程ax2+b88 例4 用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-7=0;方程有两个不相等的实数根.解：a=1，b=-4，c=-7b24ac=(4)241(7)=440.即例4用公式法解下列方程：典例精析（1）x2-4x-89方程有两个相等的实数根x1=x2 方程有两个相等的实数根x1=x290（3）5x23x=x+1;方程有两个不相等的实数根=即a=5，b=4，c=1b24ac=(4)245(1)=360.解：方程化为5x24x1=0（3）5x23x=x+1;方程有两个不相等的实数根=即a91（4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=8，c=17b24ac=(8)24117=40.解：方程化为x28x+17=0（4）x2+17=8x.方程无实数根.a=1，b=8，c92要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；3.计算：b2-4ac的值；4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出；若b2-4ac0，则方程没有实数根.要点归纳公式法解方程的步骤1.变形：化已知方程为一般形式；931.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0；解：（1）2x2+3x-4=0，a=2，b=3，c=-4，b2-4ac=32-42(-4)=410.方程有两个不相等的实数根 （2）x2-x+=0，a=1，b=-1，c=.b2-4ac=(-1)2-41=0.方程有两个相等的实数根当堂练习当堂练习1.不解方程，判断下列方程的根的情况解：（1）2x2+3x94（3）x2-x+1=0，a=1，b=-1，c=1.b2-4ac=(-1)2-411=-30，即x1=-9，x2=2.当堂练习当堂练习2.解方程：x2+7x18=0.解：这里a=963.解方程：(x-2)(1-3x)=6.解：去括号，得x-2-3x2+6x=6，化为一般式3x2-7x+8=0，这里a=3，b=-7，c=8.b2-4ac=(-7)2438=4996=-470,4.解方程：2x2-x+3=0.解985.(1)关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是.（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根求m的取值范围.解：化为一般式（m-1）x2-2mx+m-2=04m24(m1)(m2)0，且m-10解得且m1.5.(1)关于x的一元二次方程996.不解方程，判断关于x的方程的根的情况.解：所以方程有两个实数根6.不解方程，判断关于x的方程解：所以方程有两个实数根100课堂小结课堂小结公式法求 根公 式步 骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；根的判别式b2-10121.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.2.3因式分解法九年级数学上（RJ）教学课件21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授102学习目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）学习目标1.理解用因式分解法解方程的依据.103情境引入 我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！导入新课导入新课情境引入我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士104讲授新课讲授新课因式分解法解一元二次方程一引例：引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10 x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即10 x-4.9x2=0 讲授新课因式分解法解一元二次方程一引例：根据物理学规律，如果105解：解：a=4.9,b=-10,c=0.b24ac=(10)244.90=100.公式法解方程10 x-4.9x2=0.配方法解方程10 x-4.9x2=0.方程可化为4.9x2-10 x=0.解：解：a=4.9,b=-10,c=0.b24106因式分解如果a b=0，那么 a=0或 b=0.两个因式乘积为 0，说明什么？或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？10 x-4.9x2=0 x(10-4.9x)=0 x=010-4.9x=0因式分解如果ab=0，两个因式乘积为0，说明什么107 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一移-方程的右边=0;二分-方程的左边因式分解;三化-方程化为两个一元一次方程;四解-写出方程两个解;简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一108试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；(1)x1=0，x2=2；(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2，y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2，x2=2；(4)x2=x.(4)x1=0，x2=1.试一试：下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0109例1 解下列方程：解：(1)因式分解，得于是得x20或x1=0,x1=2，x2=1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得 (2x1)(2x1)=0.于是得2x1=0或2x1=0,(x2)(x1)=0.典例精析例1解下列方程：解：(1)因式分解，得于是得x20或110练一练 解下列方程：(1)(x+1)2=5x+5；x1=4，x2=-1(2)x2-6x+9=(5-2x)2解：(x+1)2=5(x+1)，(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，x+1=0，或x-4=0，解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则(x-3)+(5-2x)(x-3)-(5-2x)=0，-x+2=0，或3x-8=0，x1=2，x2=.练一练解下列方程：(1)(x+1)2=5x+5；x1=111十字相乘法拓展提升 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab两个一次二项式相乘的两个一次二项式相乘的积积一个一个二次三项式二次三项式整式的乘法反过来，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个一个二次三项式二次三项式两个一次二项式相乘的两个一次二项式相乘的积积因式分解如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.十字相乘法拓展提升(x+a)(x+b)=x2+(a112步骤：步骤：竖分竖分竖分竖分二次项与常数项二次项与常数项二次项与常数项二次项与常数项交叉交叉交叉交叉相乘，积相加相乘，积相加相乘，积相加相乘，积相加检验确定，检验确定，检验确定，检验确定，横写横写横写横写因式因式因式因式简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.试一试 解方程：x2+6x-7=0.解：因式分解得(x x+7)(+7)(x x-1)=0.-1)=0.x x+7=0,+7=0,或或x x-1=0.-1=0.x x1 1=-=-7,7,x x2 2=1.=1.步骤：竖分二次项与常数项交叉相乘，积相加检验确定，横写113练一练解下列方程：(1)x2-5x+6=0；解：分解因式，得(x-2)(x-3)=0，(3)(x+3)(x-1)=5；解：整理得x2+2x-8=0，(4)2x2-7x+3=0.(2)x2+4x-5=0；解：分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解：分解因式，得(2x-1)(x-3)=0，解得x1=2，x2=3.解得x1=-5，x2=1解得x1=-4，x2=2.分解因式，得(x+4)(x-2)=0，解得x1=，x2=3.练一练解下列方程：(1)x2-5x+6=0；解：分解因式114灵活选用方法解方程二例2用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2 =1；即3x -5=0 或x+5=0.x 1=0,x2=分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.解：化简(3x-5)(x+5)=0.分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.解：开平方,得 5x+1=1.灵活选用方法解方程二例2用适当的方法解方程：即3x115(3)x2 -12x=4;(4)3x2=4x+1.开平方，得解得 x1=，x2=解：化为一般形式 3x2-4x-1=0.=b2-4ac=280,分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快.解：配方，得 x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.(3)x2-12x=4;1161.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0117填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0(p2-4q 0)(x+m)2n(n 0)ax2+bx+c=0(a0，b2-4ac0)(x+m)(x+n)0填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.一元二次方程的解法118 x2-3x+1=0 ；3x2-1=0 ；-3t2+t=0 ；x2-4x=2；2x2-x=0；5(m+2)2=8；3y2-y-1=0；2x2+4x-1=0；(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法；适合运用因式分解法；适合运用公式法；适合运用配方法.当堂练习当堂练习1.填空 注意：每个题都有注意：每个题都有多种解法，选择更多种解法，选择更合适的方法，可以合适的方法，可以简化解题过程！简化解题过程！当堂练习1.填空1192.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=,x2=.x2+x-2=0-212.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为1203.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18.解：原方程化为：(x-5)(x+2)=36 .由x-5=3，得x=8；由x+2=6，得x=4；所以原方程的解为x1=8或x2=4.解:原方程化为：x2 3x 28=0，(x7)(x+4)=0，x1=7，x2=4.3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解121解：化为一般式为因式分解，得x22x+1=0.(x1)2=0.有 x 1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x 11)=0.有 2x+11=0 或 2x 11=0，4.解方程：解：化为一般式为因式分解，得x22x+1=0.(x122(4)x2+4x-2=2x+3；(3)2x2-5x+1=0；解：a=2，b=-5，c=1，=(-5)2-421=17解：整理，得x2+2x=5，x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，(4)x2+4x-2=2x+3；(3)2x2-5x+1=0；123(5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0解法一：解：方程整理得9m2-9m=0.分解因式，得9m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1解法二：解：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=1将(3m+2)当一个整体，进行因式分解(5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0解法一：解：1245.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径解：设小圆形场地的半径为r，根据题意(r+5)2=2r2.因式分解，得于是得答：小圆形场地的半径为5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到125课堂小结课堂小结因式分解法概 念步 骤简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解如果a b=0，那么，那么a=0或或b=0.原 理当右边=0时时，将方程左边因式分解.因式分解常见的方法有因式分解常见的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c)；a22ab+b2=(ab)2；a2-b2=(a+b)(a-b).课堂小结因式分解法概念步骤简记歌诀：如果ab=0，那么a12621.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系九年级数学上（RJ）教学课件21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程导入新课讲授127学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）128导入新课导入新课韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.情景引入导入新课韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号129复习引入 算一算 解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两 根关 系x1x2x2+3x-4=0 x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=6想一想 方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？复习引入算一算解下列方程并完成填空：一元二次方程两根关130讲授新课讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一猜一猜猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？u重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=-p，x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1 x2=q.讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一猜一猜（1）若一元131猜一猜猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？你能证明这个猜测吗？猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c132证一证：证一证：133人教版九年级数学上第二十一章一元二次方程课件134一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.归纳总结一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果ax2135一元二次方程的根与系数的关系的应用二例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 6x 15=0；解：这里a=1,b=6,c=15.=b2 -4ac=(6)2 4 1(15)=96 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=(6)=6，x1 x2=15.一元二次方程的根与系数的关系的应用二例1利用根与系数的关136（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-，x1 x2=解：这里a=3,b=7,c=-9.=b2 -4ac=72 4 3(-9)=157 0，方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-137（3）5x 1=4x2.解：方程可化为4x2 5x+1=0，这里a=4，b=5，c=1.=b2 -4ac=(5)2 4 4 1=9 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=，x1 x2=.在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.归纳（3）5x1=4x2.解：方程可化为4x138例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以 x1 x2=2x2=即 x2=由于x1+x2=2+=得 k=7.答：方程的另一个根是 ，k=7.例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个139变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以 x1+x2=1+x2=6，即 x2=5.由于x1x2=15=得 m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一140例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒141 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：(1)x1+x2=，(2)x1x2=，(3)，(4).411412练一练求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.归纳设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：4114142u总结常见的求值:总结常见的求值:143例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4，解得k1=0，k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.所以k=0.例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+144根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足0.归纳根据一元二次方程两实数根满足的条件，求145当堂练习当堂练习1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则p=，q=.1-22.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.-3当堂练习1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-1463.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中 3-19+m=0.解得m=16，设另一个根为x1，则：1 x1=x1=3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它1474.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；(1)求k的值；(2)求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得 k=-7.(2)因为k=-7,所以 则：4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根1485.设x1，x2是方程3x2+4x 3=0的两