重积分的计算及应用

习题课习题课一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外:面、线、点面、线、点)3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法例例1.1.计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以例例2.解解 D 是是 X型。型。解解:例例3.在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域 D 可表示为可表示为例例 4.计算计算所围成所围成.其中其中 由由分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”,则有则有计算较繁计算较繁!采用采用“三次积分三次积分”较好较好.所围所围,故可故可 思考思考:若被积函数为若被积函数为 f(y)时时,如何计算简便如何计算简便?表为表为 解解:2(3).计算二重积分计算二重积分其中其中D 为圆周为圆周所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用极坐标利用极坐标原式原式P182练习练习P182 2(3);7;8(1),(3)7.把积分把积分化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面提示提示:积分域为积分域为原式原式及平面及平面所围成的闭区域所围成的闭区域.P1838(1).计算积分计算积分其中其中 是是两个球两个球(R 0)的公共部分的公共部分.提示提示:由于被积函数缺由于被积函数缺 x,y,原式原式=利用利用“先二后一先二后一”计算方便计算方便.P1838(3).计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面P183二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号例例5.5.改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：解解(1)(1)积分区域为积分区域为将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。积分区域为积分区域为将将 D 向向 x 轴投影轴投影,例例6.如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:解解:解解练习练习:解解(1)D 是是 Y型。型。将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。求交点：求交点：于是，于是，D 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。得得在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为在极坐标系中，在极坐标系中，D 可表示为可表示为设函数设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有重积分中对称性的应用重积分中对称性的应用例例8.计算二重积分计算二重积分其中其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1)利用对称性利用对称性.围成围成.(2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得例例9.计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.解解:(1)两部分两部分,则则其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成作辅助线作辅助线(2)提示提示:两部分两部分 说明说明:若不用对称性若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线作辅助线将将D 分成分成例例10.证明证明:其中其中D 为为解解:利用题中利用题中 x,y 位置的对称性位置的对称性,有有又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.例例11.计算计算其中其中解解:利用对称性利用对称性例例12 设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成,计算计算提示提示:利用对称性利用对称性用球坐标用球坐标 例例13.计算二重积分计算二重积分其中其中D 是由曲是由曲所围成的平面域所围成的平面域.解解:其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域线线质心坐标质心坐标证明证明:提示提示:左端积分区域如图左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得交换积分顺序即可证得.P182 4.练习题练习题 P182 1;P182 4,1111.在均匀的半径为在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上的圆形薄片的直径上,要接上一要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个使整个的另一边长度应为多少的另一边长度应为多少?提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.由对称性知由对称性知由此解得由此解得问接上去的均匀矩形薄片问接上去的均匀矩形薄片即有即有薄片的重心恰好落在圆心上薄片的重心恰好落在圆心上,三、重积分的应用三、重积分的应用1.几何方面几何方面面积面积(平面域或曲面域平面域或曲面域),体积体积,形心形心质量质量,转动惯量转动惯量,质心质心,引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2.物理方面物理方面3.其它方面其它方面例例4.4.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为利用利用“先二后一先二后一”计计算算.例例15.试计算椭球体试计算椭球体的体积的体积 V.解解解解 求交线：求交线：将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或即即过过(,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得例例17.17.证明证明证证:左端左端=右端右端例例18.解解:在球坐标系下在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义利用洛必达法则与导数定义,得得其中其中 例例1919.设函数设函数 f(x)连续且恒大于零连续且恒大于零,其中其中(1)讨论讨论 F(t)在区间在区间(0,+)内的单调性内的单调性;(2)证明证明 t 0 时时,(03考研考研)解解:(1)因为因为 两边对两边对 t 求导求导,得得(2)问题转化为证问题转化为证 即证即证 故有故有因此因此 t 0 时时,因因