九简谐振动课件

第九章第九章振振 动动 和和 波波第九章 振动和波广义的振动物理量随时间作周期性变化称为振动。（2）周期性在 T时间内状态能完全重复。振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。特点：（1）有平衡点，且具有重复性。Vibration and wave机械振动物体在某一位置附近作往复运动。机械振动分类按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。叠加。称作谐振动的微分方程。弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator在水平方向上：由牛顿第二定律，有：令：则有：9-1 简谐振动 一、简谐振动的微分方程和运动方程（负号表示力与位移方向相反）幻灯片 51、简谐振动的微分方程2、运动学方程：由：可解得：或：一般写成：本课程采用余弦形式因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动振动曲线简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用表示，质点的运动称为谐振动。描述简谐振动的物理量A、，称特征量。otx(2)角频率：angular frequency 振动的快慢周期T:Period频率：(3)初相位：Phase 描述运动状态的量为初相位，Initial Phase(1)振幅A:amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）4、谐振动的三个特征量5、位移、速度和加速度的相位关系以上结果表明：(1)v,a与x的相同(2)(3)a与x方向相反，且成正比振幅x、v、a相位依次差/2。写成二、初始条件确定振幅和初相位初始条件：写为：得：即：有两个值，需（1）或（2）进行筛选。也可直接由（1）或由（2）求出。三、坐标原点的选取对于振动方程的影响(以竖直弹簧振子为例)自由端,平衡位置以为坐标原点:以为坐标原点:在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。例题1 单摆 Simple Pendulum解：单摆受力如图所示对悬挂点的力矩：由：若很小，则有：即：其中：动画例题2半径为R的圆环静止于刀口O点上,令其在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为谐振,并计算其振动周期.证明:设圆环偏离角度为因此所作振动为谐振四、谐振动的其它表示法1、振动曲线法（1）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅.（2）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期T。（3）由初状态v0、x0可得出初相位。（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。Rotating vector method1.参考圆法 沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取在x轴）的投影的运动为简谐振动。半径R振幅A角速度角频率 t时刻A矢量在x轴上的投影初始矢径与x轴的交角初相位动画2.旋转矢量用旋转矢量法处理问题更直观、更方便，必须掌握。表示出三个特征量2、旋转矢量表示法例题3一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s，当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正向运动。求：(1)此振动的表达式 (2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间 解:(1)取平衡位置为坐标原点设其中A亦为已知，只需求由t=0s时，x0=0.06m，可得：在-到之间取值：取哪一个值要看初始条件，由于：所以：由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v00因此，应取：于是，此简谐振动的表达式：利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得到：(2)将 t=T/4=0.5s 代入上两式，以及位移表达式，可求得：此时旋转矢量位置如图：(3)通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：由此可得：第一次通过，取k=1，又由于=/s，所以：从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：故：有旋转矢量图可知：例题4 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。解：设该简谐振动的运动方程为根据已知条件求出各量代入上式即可由图可知，A=2cm，当t=0时因为：v00,画出矢量图：又知 t=1s 时，位移达到正的最大值，即：故：因而有：简谐振动的势能：五、简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例 简谐振动的动能：简谐振动的总能量：弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。势能的时间平均值:动能的时间平均值:这些结论同样适用于任何简谐振动。这些结论同样适用于任何简谐振动。总能的时间平均值:*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比*弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半。结论：023.用余弦函数描述一些振子的振动，若速度-时间函数关系如图，则振动的初相位为/6；/3；/2；5/604.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 所决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由 决定。振动系统本身的性质初始条件1.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量E变为 A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4E本章作业：9-3，9-5，9-10，9-11代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位9-2 简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成合振幅Composition of two SHM仍然是同频率 的简谐振动由分别两边平方求和后整理得：YX几何方法：上面得到：讨论一：合振幅最大。当 两分振动同步时合振动的振幅等于两分振动振幅之和讨论二：当 时，讨论三：一般情况：两分振动反相位时合振动的振幅等于两分振动振幅之差例1。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为-1=/6,若第一个简谐振动的振幅为则第二个谐振动的振幅为 cm,第一、二两个谐振动的相位差2-1=。解：由矢量合成法则：20二、同方向、不同频率的简谐振动的合成 为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：Same directionDifferent Frequency合成振动表达式：利用三角函数关系式：当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，合成振动是以 为角频率的谐振动。其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动，这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。一般情况下，合振动无明显的周期性单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动 的频率的两倍。即拍频为：应用：可用于校准钢琴XY12用旋转矢量说明拍频的频率为，的频率为每单位时间振动1追赶振动2 次每追赶一次重合一次，振幅达到最大一次。拍频为：音叉演示三、方向垂直、同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即上式是个椭圆方程，说明质点的运动轨迹是椭圆，具体形状由相位差 决定。讨论1 所以是在 直线上的运动。讨论2所以是在 直线上的振动。讨论3所以是在X轴半轴长为 ，Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。xy质点的轨道是圆。X和Y方向的相位差决定旋转方向。讨论5讨论4所以是在X轴半轴长为 ，Y轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。xy讨论6则为任一椭圆方程。综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在椭圆上进行（圆和直线是退化了的椭圆）。四、垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论1。视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。当 时是顺时针转；时是逆时针转。2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形,称为李萨如图形。在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。9-3 阻尼振动和受迫振动 共振一、阻尼振动振幅随时间减少的振动。1。阻尼的分类a.摩擦阻尼：机械能转化为热能b.辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）2。阻尼振动的方程振动系统受介质的粘滞阻力：Damped oscillations Forced oscillations Resonance阻尼振动的动力学方程：令：称 为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数。（1）阻尼较小时:欠阻尼此方程的解：这种情况称为欠阻尼，阻力使周期增大。由初始条件决定A和初相位 ,设即有：欠阻尼a.周期T：一个位移极大到另一个极大出现的时间间隔。称准周期运动。b.T比无阻尼时稍长。（2）阻尼较大时，方程的解：其中 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。无振动发生。过阻尼临界阻尼称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。是由初始条件决定的积分常数。（3）如果 方程的解：是从有周期性因子 到无周期性的临界点。1。谐振子的受迫振动：用周期性力驱动的振动。二、谐振子的受迫振动 设强迫力阻尼力：是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理论：非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。2。振动的特点：减幅振动和简谐振动的叠加，t 很大时，作=策的简谐振动。其解为：经过足够长的时间，称为定态解：该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅受迫振动的初相位：讨论：较小若 很小，很大。求振幅 对频率的极值，得出共振的角频率。共振的振幅。振幅有极大值三、共振1。位移共振：A达到最大值的振动状态（受迫振动）当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（resonance)。发生位移共振时,因振幅最大,所以振动系统能量最大,系统形变最厉害.2。速度共振(1)时,速度振幅达到极大值,叫做速度共振.此时系统动能也达到最大值,也叫能量共振.(2)速度振幅随阻尼的减小而增大,但共振频率皆为阻尼为零3.共振的危害及应用.利：乐器利用之可提高音效、选择节目、器官成像（核磁共振）害：桥梁、建筑物等易受破坏。作业：9-6 9-8 9-12 9-13弹 性 波声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，光波是一种电磁波。机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为例介绍波的一些物理概念。但它们都有类似的波动方程。Elastic Wave2.弹性波产生的条件:(1)要有振源(波源)(2)要有传播振动的弹性媒质3.横波和纵波(Transversal Wave and Longitudinal Wave)(1)横波:传播方向与振动方向垂直(绳上波)(2)纵波:传播方向与振动方向平行(空气中声波)任一波例如，水面波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。由弹性力组合的连续介质一.基本概念1.弹性波:机械振动在弹性媒质中的传播Elastic Wave Generation and Propagation9-4 弹性波的产生与传播(1)波面:t时刻相位相同的点组成的面(波阵面)波线波面波面波线(2)波前:某时刻在最前面的波面(3)波射线:沿波的传播方向作的射线（也称波线）在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.4.波的几何描述波面、波线、波前 Wave Surface，Line（normal），Front 二.平面简谐波 Plane Harmonic Wave1.简谐波:(简谐振动在空间的传播)特点:(1)波传到的区域中，每个质元在平衡位置附近作简谐振动,而振动以一定的速度由近及远传播.(2)后振动的质点比先振动的质点的状态落后一段时间.2.描述简谐波的物理量(1)波速u:单位时间内某一振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速 ，也称之相速。取决于媒质(与频率无关)B.固体中横波:纵波:其中:G切变弹性模量Y杨氏弹性模量A.液体、气体中(仅有纵波)B液体或气体的容变弹性模量媒质的密度在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。(2)波长（Wave Length):波传播过程中,同一波线上两个相邻的、相位差为2的两质元间的距离。反映了波的空间周期性。(4)频率单位时间内质点振动的次数,或单位时间内波动前进 的距离中所包含的完整波长的数目。(5)关系式(3)波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过 波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。与振源的振动周期相同.反映了波的时间周期性.2.若媒质无吸收，各点的振幅相同，设为A。波线波面波线上各点的振动可以代表媒质中各质点的振动。结论：波线上各点的振动表达式即为平面简谐波的波函数。平面简谐波的特点：1、波线上一点的振动状态与过该点的波面上各点的振动状态相同。已知：1、原点o的振动表达式2、波速为，方向沿 轴正方向求任意点p在t的振动表达式。任意点p的振动表达式为：任意点p振动的状态是原点o在 时间前振动过的状态。9-5 平面简谐波的波函数一、波函数：能够定量表达空间中任意点振动的数学表达式称为波函数二、平面简谐波的波函数(3)波函数的几种不同的形式：三、波函数的物理意义:(1)当x给定时,设x=x0,则有:其中:表示x0处质点的振动情况(振动方程)(2)当t给定,设t=t0,则有:即y=y(x),表示t=t0时刻的波形图注意:波动曲线与振动曲线的区别波动曲线表示波线上各点的位移分布。(3).当x,t均变化,y=y(x,t)表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移。波函数描述了波形(相位)的传播,速度为u.在t时间内,整个波形以速度u向前推进了x=ut，u也称为相速度。(4).由波函数可求得各质元的振动速度、位移、加速度由此可知，波函数描述波动状态注意：v 和 u 的不同左行波的波函数：所以 p点的运动方程，也就是左行波的波动方程：p点的振动状态传到 O 点需用时间：（5）沿x轴负向传播的情况:已知:p点的相位超前于O点相位：例题13082如图,一平面波在介质中以速度u=20m/s沿x轴负方向传播,已知A点振动方程为:y=3cos4t(SI)求：(1)以A点为坐标原点写出波动方程(波函数)(2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波动方程.解:(1)若以A为原点,则有:x处t时刻的振动,与A处t+x/u时刻的振动相同,因而x处的振动为:xX处质元的振动为：要点:抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后的特点。x(2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波动方程.B点的振动方程为：例题2一平面余弦波,波线上各质元的振幅和角频率分别为A和,波沿x轴正向传播,波速为u,设某一瞬时的波形如图所示,并取图示瞬时为计时起点(1)分别以O和P为坐标原点,写出该波的波函数.(2)确定在t=0时刻,距点O分别为x=/8和x=3/8两处质元振动速度的大小和方向.解:(1)取O点为坐标原点,设O点振动方程为:其中:为已知,现求,由图知,t=0时,故:于是可得:波函数为:若取P点为坐标原点,点P作简谐振动的运动方程为:由波形图可知,t=0时刻:因此则有:（后来的位移向负方向增大）因而有:(2)求质元的振动速度:X处:沿y轴负向沿y轴正向步骤:1.建立坐标系,选取计时起点2.求原点的振动方程3.由右行波或左行的规律,求x点的振动方程.例题3 已知A点振动方程为:求下列情况下的波函数.作业：9-14 9-15 9-17 9-19一、波函数的几种不同的形式（右行波）：复 习左行波在 x 出现的地方加一负号步骤:1.建立坐标系,选取计时起点2.根据传播方向以及波的传播规律,求p点的振动方程（p点在x处）。建立波函数的条件：1、某点的振动表达式2、波速（大小和方向u）补充内容：惠更斯原理一、惠更斯原理表述：媒质中任一波阵面上的各点，都是发射子波的新波源 ，其后 任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。Huygens principle波传播时遇到障碍物或进入另一种媒质时，如何传播？可用于解释波的传播、反射、折射、衍射等现象。荷兰物理学家，1678年提出惠更斯原理一.波的叠加原理（独立性原理）9-6 波的叠加原理 波的干涉 若有几列波同时在介质中传播，则:1.它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；2.在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。称波的叠加原理。能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。波叠加二.波的干涉(波相遇时的一种特殊现象)1.干涉现象:两波相遇,在媒质中某些位置的点振幅始终最大，某些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强 弱介乎二者之间,保持不变。称这种振动的稳定分布为干涉现象。2.相干条件：满足相干条件的波源称为相干波源。（3）具有恒定的相位差（2）振动方向相同两相干波的振幅相近或相等时干涉现象明显。（1）两波源具有相同的频率波的干涉之模拟演示图3.定量公式:设有两个频率相同的波源 和其振动表达式为：传播到 P 点引起的振动为：在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。下面讨论干涉现象中的强度分布在 P 点的合成振动为：其中：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉相长的条件：干涉相消的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：称 为波程差相长干涉相消干涉例题一(例1)如图所示,在同一媒质中相距为20m的两平面简谐波源S1和S2作同方向,同频率(=100Hz)的谐振动,振幅均为A,且A=0.05m,点S1为波峰时,点S2恰为波谷,波速u=200m/s,求两波源连线上因干涉而静止的各点位置.解:选S1处为坐标原点O,向右为x轴正方向,设点S1的振动初相位为零,由已知条件可得波源S1和S2作简谐振动的运动方程分别为:S1发出的向右传播的波的波函数为:S2发出的向左传播的波的波函数为:因干涉而静止的点的条件为:化简上式,得:将=u/=2m代入,可得:所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:驻波是干涉的特例。当频率与绳长调整适当，绳上分段振动，某些点振幅特大，某些点不动，称为驻波。驻波的特点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。1.驻波:分别沿X轴正、负方向传播的同振幅、同频率的两列相干波，其合成波就是典型的驻波。三.驻波2.特征:(1)无波形的跑动(与行波不同)(2)振幅 A=A(x)(3)有些点不动(波节),有些点振动最强(波腹)(4)两相邻的分段相位相反,同一分段相位相同动画设有两列相干波，分别沿X轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：3.驻波的形成:其合成波称为驻波表达式：实物演示利用三角函数关系求出驻波的表达式：振动因子它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。振幅因子此式为振动表达式。无波形的跑动现象（即非行波）振幅最大的点称为波腹，对应于的各点；因此：波腹的位置为：波节的位置为：讨论:(1)驻波的振幅驻波的特点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动振幅为零的点称为波节，对应于的各点。即:即:从上式得相邻波腹间的距离为：可得相邻波节间的距离也为相邻波腹与波节间的距离为 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。应用(2)驻波的相位时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。内，在范围内，在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向 最大或同时达到反向最小。速度方向相反。是波节，在范围如考查波节两边的振幅，结论：*两个相邻波节之间的点其振动相位相同。同时达到 最大或同时达到最小。速度方向相同。例题2一列沿x轴方向传播的入射波的波函数为在x=0处反射,反射点为一节点求:(1)反射波的波函数.(2)合成波的波函数 (3)波腹,波节的位置坐标.解:(1)由于有相位突变,故反射波的波函数为:(2)根据波的叠加原理,合成波的波函数为:(3)形成波腹的各点,振幅最大,即:亦即:故波腹坐标为:形成波节各点,振幅最小,即:(x,x 只取负值及零)当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。四.半波损失：入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。折射率较大的媒质称为波密媒质；折射率较小的媒质称为波疏媒质.有半波损失某一时刻无半波损失3.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量E变为 A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4E2。已知：A,T,求：从B到C所需的最短时间6.A、B两弹簧的倔强系数分别为kA,kB,其质量均可忽略不计，今将二弹簧连接起来并竖直悬挂，当系统静止时，弹簧的弹性势能EpA与EpB之比7.在t=0时，周期为T振幅为A的单摆分别处于图a、b、c三种状态，若选单摆的平衡位置为x轴的原点，x轴指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦表示）分别为8.一简谐波沿x轴正向传播，=4m,T=4s,x=0处振动曲线如图：（1）写出x=0处质点振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出t=1s时的波形。解：（1）t=0时：（2）（3）9.两余弦波沿OX轴传播，波动方程为：试确定OX轴上的合振幅为0.06m的那些点的位置。解：作业：9-20 9-21 9-22一、波函数的几种不同的形式（右行波）：复 习左行波在 x 出现的地方加一负号步骤:1.建立坐标系,选取计时起点2.根据传播方向以及波的传播规律,求p点的振动方程（p点在x处）。建立波函数的条件：1、某点的振动表达式2、波速（大小和方向u）9-7 波的能量 声波波的传播过程:（1）振动状态的传播(相位)（2）能量的传播1.行波的能量以弦上横波为例,其波函数为:取AB段为研究对象为弦的质量线密度(1)AB段的动能:一、波的能量(2)AB段的势能:弹性势能应为张力T在线元伸长的过程中所作的功,即:代入上式,得:x很小利用了(3)总机械能:(4)能量密度:单位体积中的能量。(5)平均能量密度(对t求平均)为质量密度(6)特点:A.相位、大小均相同(注意与振动能量相区别)极大 能量极小 能量极小B.若x一定,总机械能并非常量与弹簧振子能量不同。C.若t一定,上图中D.能量以速度 u 传播(由 w 的公式可看出)2.波的能流密度与波的强度(1)能流（Energy Flow）单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。为截面所在位置的能量密度所以，能流为：显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值设波速为 u，在 时间内通过垂直于波速截面 的能量:(2)平均能流:在一个周期内能流的平均值称为平均能流(3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。平均能流能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波，在行进方向上振幅不变。讨论:平面波和球面波的振幅证明：因为在一个周期内通过和面的能量应该相等所以,平面波振幅相等：所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源1个单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为球面波由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：(4)波的吸收实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。为吸收系数,取决于媒质和波的频率。二、声波 声波是机械纵波频率高于20000赫兹的叫做超声波。*声的产生、传播和接收。为听觉服务，如声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面的应用，噪声的避免等。声波测井。20到20000赫兹之间能引起听觉的称为可闻声波，简称声波。频率低于20赫兹的叫做次声波；*利用声的传播特性研究媒质的微观结构；利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。研究的分类：声的概念不再局限于听觉范围，几乎是振动和机械波的同义词。声波20000Hz20Hz超声波次声波设在弹性媒质中有一平面余弦纵波，为密度,为声速媒质中有声波传播时的压力(压强)与无声波传播时的静压力之差称为声压。声压由体弹性模量的定义：应变为：稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。由于疏密的周期性，声压也是周期变化。所以声压 为：声压的振幅为：声强、声强级*声强就是声波的平均能流密度。即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。式中加速度的振幅：由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成正比。这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度 g大十多万倍的正负加速度和几百个大气压，可见它的威力。因此，有重要的应用。声强超声波的频率高 ，而波长在毫米数量级。压强振幅约 大气压。加速度 已达重力加速度的上百万倍；引起人的听觉的声波，还有一定的声强范围。大约为1012瓦/米2 1瓦/米2。声强太小听不见，太大会引起痛觉。定义声强级L为：单位为贝耳(Bel)1Bel=10dB 单位为分贝(dB)*声强级由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。声音的响度是人对声音的主观感觉。规定声强 I0=10-12瓦/米2作为测定声强的标准有的地方规定户外声音不得大于100分贝。如炮声声强 1瓦/米2，声强级120分贝。超声波、次声波*超声波：频率高，波长短，定向传播性好；穿透性好，在液体、固体中传播时，衰 减很小，能量高等。定位、测距、探伤、显象，随着激光全息的发展声全息也日益发展，它在地质、医学等领域有重要的意义；近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。由于能量大而集中可用来切削、焊接，钻孔，清洗机件还可用来处理种子和催化。特点用途超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成分、温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接测量其他有关物理量。这种非声量的声测法具有测量精密度高、速度快的优点；频率在10420赫芝之间的机械波，人耳听不到。*次声波因为大气湍流、火山爆发、地震、陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自然活动中，都有次声波产生，因此，它是研究地球、海洋、大气等大规模运动的有力的工具。特点一用途由于它具有衰减极小的特点，具有远距离传播的突出特点。已形成现代声学的一个新的分支次声学。特点二表示波源相对于媒质的运动速度。表示观察者相对于媒质的运动速度。波源的频率 是单位时间内波源振动的次数或 发出的完整波的个数；一.多普勒效应:(C.J.Doppler)观察者接受到的频率赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。9-8 多普勒效应 Doppler Effect例如鸣笛的火车约定二.三种不同情况下频率的变化选媒质为参考系观察者接受到的频率 是观察者在单位时间内接受到 振动数或完整的波数；波的频率 是媒质质元在单位时间内振动的次数或单位时间内 通过媒质中某点完整波的个数。波速 ：单位时间内相位传播的速度。若观察者以速度 离开波源运动，同理可得观察者接受到的频率：频率降低。频率升高因为此时波源的频率就是波的频率1.相对于媒质，波源不动，观察者以速度 向着波源运动。因为波源所发出的相邻的两个同相振动状态是在不同地点发出的，这两个地点相隔的距离为 2.相对于媒质观察者不动，波源以速度 向着观察者运动式中 为波源的周期。如果波源是向着观察者运动的，这后一地点到前方最近的同相点之间的距离是现在媒质中的波长若波源静止时媒质中的波长为波源运动，在媒质中的波长：此时波的频率为：由于观察者静止，所以他接受到的频率就是波的频率：频率升高波长被压缩当波源以速度 远离观察者运动时，可得观察者接受到的频率：频率降低3.相对于媒质波源和观察者同时运动综上所述，当波源和观察者相互靠近时，观察者接受到的频率为：当波源和观察者彼此离开时，观察者接受到的频率为：综合起来：观察者靠近波源运动分子中为正，离开为负。波源靠近观察者运动分母中为负，离开为正。当波源的速度超过波的速度时，波源前方不可能有任何波动产生。需注意防范。利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速，振动体的振动和潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声心动、多普勒血流仪，等。马赫锥例题1一时速为80km/h的列车向车站驶来,(1)列车上汽笛频率为1000Hz,站立在站台上的旅客听到的汽笛的频率是多少?(2)若同样频率的汽笛在车站上鸣叫,列车内旅客听到的汽笛的频率为多少?(声速340m/s)解:(1)因而车站上旅客接收到的笛声的频率为:(2)列车内的旅客接收到的频率为:例2 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度.一固定波源发出 频率为100kHz的超声波.当汽车迎着波源驶来时.与波源 安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的 频率为110KHz。已知空气中声速为 330 m/s。求：汽车行驶的速率.解:波 源：固定波源；静止观察者：汽车；向着波源运动。速度为V 。第一步:汽车接收到的频率为：由此解得汽车行驶的速度为：观察者：接受器；静止。第二步:波 源：汽车；向着观察者运动。汽车发出的波的频率即是它接收到的频率10.某质点作简谐振动，T=2s,A=0.06m,t=0时，处于负向最大位移处，求：(1)振动方程(2)u=2m/s沿x轴正向，求y=?(3)波长解：（1）t=0时：（2）（3）作业：9-23