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附录附录A：平面图形的几何性质：平面图形的几何性质 附录A：平面图形的几何性质 1A.1 静矩和形心AyXyXdAO当截面由若干简单图形组成当截面由若干简单图形组成A.1 静矩和形心AyXyXdAO当截面由若干简单图形组成2v2、截面对形心轴的静矩为零v3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴v1、截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，固静矩与坐标轴有关2、截面对形心轴的静矩为零3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴3 如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。例题例题例题例题I.1I.1设：A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2证毕 如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面4 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。例题例题例题例题I.2I.2解：解：图形对底边的静矩图形对底边的静矩形心位置形心位置abhxyOC1xC2x 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。例520201001001001002020A A1 1A A2 2y yc1c1y yc2c2x xy yo o例题求图示图形的形心4040C C80802010010020A1A2yc1yc2xyo例题求图示图形6例题例题求图示图形的形心求图示图形的形心202020020020020010101010A A1 1A A3 3A A2 2y yc1c1y yc3c3y yc2c2x xy y6565155155C C例题求图示图形的形心202002001010A1A3A2yc7yxyxdAOA.2 极惯性矩、惯性矩和惯性积yxyxdAOA.2 极惯性矩、惯性矩和惯性积8性 质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。而极惯矩，是对点定义的。2、惯性矩和极惯矩永远为正，惯性矩和极惯矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。惯性积可能为正、为负、为零。3、任何平面图形对于通过其形任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。的惯性积为零。4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。分布的越远，其惯性矩越大。yy5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积性 质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩9惯性半径：dAxyOxy 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为惯性半径的特征：1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。2.惯性半径的单位为m。3.惯性半径的数值恒取正值。惯性半径：dAxyOxy 任意形状的截面图形的面积为A10A.3 平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积xcycyxOadA在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小A.3 平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积xcycyxO11例题例题例题例题I.3I.3 试求图示三角形：（1）对x轴静矩；（2）对x轴的惯性矩；（3）对x1轴的惯性矩。xb/2b/2h/2h/2Oyx1ydyxc例题I.3 试求图示三角形：（1）对x轴静12例：圆形（实心、空心）例：圆形（实心、空心）yxrdrR例：圆形（实心、空心）yxrdrR13 图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴x的惯性矩.例题例题例题例题I.4I.4O1O2O3xcO O2 2、O O3 3到到x xc c轴的距离轴的距离O O1 1到到x xc c轴的距离轴的距离 图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴x的惯性矩14 静矩和形心AyXyXdAO当截面由若干简单图形组成当截面由若干简单图形组成 静矩和形心AyXyXdAO当截面由若干简单图形组成15yxyxdAO极惯性矩、惯性矩和惯性积yxyxdAO极惯性矩、惯性矩和惯性积16惯性半径：dAxyOxy 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为惯性半径的特征：1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。2.惯性半径的单位为m。3.惯性半径的数值恒取正值。惯性半径：dAxyOxy 任意形状的截面图形的面积为A17平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积xcycyxOadA在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小平行移轴公式、组合图形的惯性矩和惯性积xcycyxOadA在18求图示图形对其形心轴求图示图形对其形心轴X XC C轴轴的惯性矩的惯性矩解解：20201001001001002020A A1 1A A2 2y yc1c1y yc2c2x xy yo o4040C C8080XC求图示图形对其形心轴XC轴的惯性矩解：2010010020A19A.4 惯性矩和惯性积的转轴公式、主轴和主矩XyOx1y1 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量标轴的两个轴惯性矩之和为常量,等于图形对原点的等于图形对原点的极惯性矩极惯性矩A.4 惯性矩和惯性积的转轴公式、主轴和主矩XyOx1y1 20主惯性轴:图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴主惯性矩:图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩形心主轴:过形心的主轴称为主形心轴形心主矩:图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩主惯性轴:图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的21已知：图形尺寸如图所示。已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩。求：图形的形心主矩。5027030300zyC I Iz z0 0=I Iz z0 0()+()+I Iz z0 0()()2.2.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 解：解：1 1、确定形心位置、确定形心位置 22已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩。502703022试求形心主轴的位置及形心主矩。试求形心主轴的位置及形心主矩。解：1.确定形心位置2.在形心位置处建立Cxy坐标,先分别求出三个矩形对于x、y轴的惯性矩和惯性积,得整个图形对于x,y 轴的惯性矩和惯性积。3.根据上述结果确定主轴位置及形心主矩xyxcycc404020020040040040401801802020试求形心主轴的位置及形心主矩。解：1.确定形心位置2.在23xycxcyc404020020040040040401801802020 xycxcyc40200400401802024根据公式根据公式,图形的形心主矩为：图形的形心主矩为：xycxcyc根据公式,图形的形心主矩为：xycxcyc25课堂练课堂练课堂练课堂练习习习习 I.I.在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D课堂练习 I.在下列关于平面图形的结论中，（26课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成和两部分，在以下各式中，（）一定成立。ZCC课堂练习 I.图示任意形状截面，它的一个27课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（）。C课堂练习 I.图a、b所示的矩形截面和正28图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.xyD图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。课堂练习 29 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（）。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.B 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1 轴和30 设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（）。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.B 设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix31 图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（）不是一对主轴。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.C 图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则32A.形心轴；B.主轴 C.主形心轴 D.对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（）时，y-z轴始终保持为一对主轴。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（）。BA.y轴不动，x轴平移；D.y、x同时平移。B.x轴不动，y轴平移；C.x轴不动，y轴任意移动；BA.形心轴；B.主轴 C.主形心轴 33本章作业A1，A3(c)，A6，A9，A16，A19本章作业A1，A3(c)，A6，A9，A16，A34
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