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首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 4.2 洛必达法则一、未定式五、其他类型未定式的极限二、“”型未定式的极限三、“”型未定式的极限四、洛必达法则失效的情况4.2 洛必达法则一、未定式五、其他类型未定式的极限二、首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 一、未定式例如 下列极限都是未定式 如果在某一过程中 函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是 无穷大一、未定式例如 下列极限都是未定式 如果首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 对于对于 型极限有没有更简单、更一般的求解方法？型极限有没有更简单、更一般的求解方法？?因式分解复杂二、“”型未定式的极限对于 型极限有没有更简单、更一般的求解方法？?因式分解复杂首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 定理41(洛必达法则I)说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效(LHospital，1661-1704，法国数学家，法国数学家)设函数f(x)与g(x)满足条件 定理41(洛必达法则I)说明(LHospital，1首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 令f(a)g(a)0 于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有 简要证明 定理41(洛必达法则I)如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0 令f(首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 原式 解 例2.解 原式 解 例2.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 验型 解 例3.例4.例5.解 验型 解 例3.例4.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解：原式=存在非零因子存在非零因子化简化简例7.解：原式=存在非零因子化简例7.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例8.例8.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 因ex1x(x0)故有exsin x1xsin x(x0)因arcsin xx(x0)故有arcsin x3x3(x0)例9.因ex1x(x0)故有exsi首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 注：1.洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,但是要结合各种方法，以求最捷方式.1）等价无穷小替换法2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.3）过程中注意化简.2.只要满足条件，可多次使用洛必达法则.但每次使用前都必须检验极限类型是否为 型.注：洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,1）等价无穷首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 定理42(洛必达法则II)设函数f(x)与g(x)满足 说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效 三、“”型未定式的极限定理42(洛必达法则II)说明 三、“”型未定首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 例10.解 例10.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例11.例12.结论：都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：例11.例12.结论：都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 极限不存在出现循环四、洛必达法则失效的情况 注：使用洛必达法则时,若 不存在，也不为，这不能说明原极限不存在，此时洛必达法则“失效”，应改用其它方法计算.极限不存在出现循环四、洛必达法则失效的情况 注：首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 五、其他类型未定式的极限 对于未定式0、00、1、0 都可以转化为 例13.五、其他类型未定式的极限 对于未定式0、首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 例14.解 例14.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 因为 例15.解 因为 例15.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 因为 例16.解 因为 例16.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例17.例17.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 洛必达法则通分有理化小 结洛必达法则通分有理化小 结首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例18.例18.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 练 习练 习
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