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微专题七解直角三角形的实际应用的基本类型 主干必备主干必备 解直角三角形的实际应用的基本类型解直角三角形的实际应用的基本类型应用应用类型类型图示图示测量方式测量方式解答要点解答要点仰角仰角俯角俯角问题问题 (1)(1)运用仰角测距离运用仰角测距离.(2)(2)运用俯角测距离运用俯角测距离.(3)(3)综合运用仰角俯角综合运用仰角俯角测距离测距离.水平线与竖直水平线与竖直线的夹角是线的夹角是90,90,据此构据此构造直角三角形造直角三角形.应用应用类型类型图示图示测量方式测量方式解答要点解答要点坡度坡度(坡坡比比)、坡角坡角问题问题 (1)(1)运用坡度运用坡度(坡比坡比)测距离测距离.(2)(2)运用坡角测运用坡角测距离距离.坡面与其铅直坡面与其铅直高度和水平宽高度和水平宽度构成直角三度构成直角三角形角形.应用应用类型类型图示图示测量方式测量方式解答要点解答要点方位方位角问角问题题 一般根据两一般根据两个方位角测个方位角测距离距离.通过向南北通过向南北(东西东西)方向方向作垂线作垂线,或向或向航线作垂线航线作垂线,构造直角三构造直角三角形角形.微点警示微点警示 除以上三种比较典型的问题外除以上三种比较典型的问题外,解直角三角形的实际应解直角三角形的实际应用还有多种形式用还有多种形式,体现在生产、生活的方方面面体现在生产、生活的方方面面,它们它们共同的特点就是利用直角三角形测距离共同的特点就是利用直角三角形测距离.核心突破核心突破 类型一类型一 仰角俯角问题仰角俯角问题例例120191 如图如图,海面上一艘海面上一艘船由西向东航行船由西向东航行,在在A A处测得正东方向上处测得正东方向上一座灯塔的最高点一座灯塔的最高点C C的仰角为的仰角为31,31,再向东继续航行再向东继续航行30 m30 m到达到达B B处处,测得该灯塔的最高点测得该灯塔的最高点C C的仰角为的仰角为45,45,根据测根据测得的数据得的数据,计算这座灯塔的高度计算这座灯塔的高度CDCD.参考数据参考数据:sin 310.52,cos 310.86,:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60.tan 310.60.思路点拨思路点拨 根据正切的定义用根据正切的定义用CDCD表示出表示出AD,AD,根据题意列根据题意列出方程出方程,解方程得到答案解方程得到答案.自主解答自主解答 在在RtCADRtCAD中中,tanCAD=,tanCAD=,则则AD=,AD=,在在RtCBDRtCBD中中,CBD=45,BD=CD,CBD=45,BD=CD,AD=AB+BD,CD=30+CD,AD=AB+BD,CD=30+CD,解得解得,CD=45.,CD=45.答答:这座灯塔的高度这座灯塔的高度CDCD约为约为45 m.45 m.类型二类型二 坡度坡度 、坡角问题、坡角问题例例220182 日照间距系数反日照间距系数反映了房屋日照情况映了房屋日照情况.如图如图,当前后房当前后房屋都朝向正南时屋都朝向正南时,日照间距系数日照间距系数=L=L,其中其中L L为楼间水平距离为楼间水平距离,H,H为南侧楼房高度为南侧楼房高度,H1,H1为为北侧楼房底层窗台至地面高度北侧楼房底层窗台至地面高度.如图如图,山坡山坡EFEF朝北朝北,EF,EF长为长为15 m,15 m,坡度为坡度为i=10.75,i=10.75,山山坡顶部平地坡顶部平地EMEM上有一高为上有一高为22.5 m22.5 m的楼房的楼房AB,AB,底部底部A A到到E E点点的距离为的距离为4 m.4 m.求山坡求山坡EFEF的水平宽度的水平宽度FH.FH.欲在欲在ABAB楼正北侧山脚的平地楼正北侧山脚的平地FNFN上建一楼房上建一楼房CD,CD,已知已知该楼底层窗台该楼底层窗台P P处至地面处至地面C C处的高度为处的高度为0.9 m,0.9 m,要使该楼要使该楼的日照间距系数不低于的日照间距系数不低于1.25,1.25,底部底部C C距距F F处至少多远处至少多远?思路点拨思路点拨在在RtEFHRtEFH中中,根据坡度的定义及根据坡度的定义及EFEF的长的长求山坡求山坡EFEF的水平宽度的水平宽度FH.FH.根据该楼的日照间距系数不低于根据该楼的日照间距系数不低于1.25,1.25,列出不等式列出不等式,解不等式即可解不等式即可.自主解答自主解答 略略L=CF+FH+EA=CF+9+4=m,L=CF+FH+EA=CF+9+4=m,H=AB+EH=22.5+12=34.5,H1=0.9 m,H=AB+EH=22.5+12=34.5,H1=0.9 m,日照间距系数日照间距系数=L=L=该楼的日照间距系数不低于该楼的日照间距系数不低于1.25,1.25,1.25,1.25,CF29.CF29.答答:要使该楼的日照间距系数不低于要使该楼的日照间距系数不低于1.25,1.25,底部底部C C距距F F处处至少至少29 m29 m远远.类型三类型三 方位角问题方位角问题例例320193 如图如图,为测量为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽一段笔直自西向东的河流的河面宽度度,小明在南岸小明在南岸B B处测得对岸处测得对岸A A处一处一棵柳树位于北偏东棵柳树位于北偏东6060方向方向,他以每秒他以每秒1.51.5米的速度沿米的速度沿着河岸向东步行着河岸向东步行4040秒后到达秒后到达C C处处,此时测得柳树位于北此时测得柳树位于北偏东偏东3030方向方向,试计算此段河面的宽度试计算此段河面的宽度.思路点拨思路点拨 作作ADBCADBC于点于点D.D.由题意得到由题意得到BC=1.5BC=1.540=6040=60米米,ABD=30,ACD=60,ABD=30,ACD=60,根据三角形的外角根据三角形的外角的性质得到的性质得到BAC=ACD-ABC=30,BAC=ACD-ABC=30,求得求得ABC=ABC=BAC,BAC,得到得到BC=AC=60BC=AC=60米米.在在RtACDRtACD中中,根据三角函数的根据三角函数的定义即可得到结论定义即可得到结论.自主解答自主解答 略略 明明技法技法 解直角三角形实际应用的解直角三角形实际应用的 两个注意两个注意 注意有无直角注意有无直角:图形中有直角要充分利用图形中有直角要充分利用,无直角作无直角作辅助线构造直角辅助线构造直角.注意是否可解注意是否可解:分析直角三角形的边角条件分析直角三角形的边角条件,若已知若已知一边一角或两边一边一角或两边,可直接解之可直接解之;若边角条件不充分若边角条件不充分,一般一般需设未知数列方程需设未知数列方程.题组过关题组过关 1.20191.河堤横断面河堤横断面如图所示如图所示,堤高堤高BC=6 m,BC=6 m,迎水坡迎水坡ABAB的坡比为的坡比为1 ,1 ,则则ABAB的长为的长为 A.12 mA.12 mB.4 mB.4 mC.5 mC.5 mD.6 mD.6 mA A2.20192.南洞庭大桥是南益南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动外实践活动中对此开展测量活动.如如图图,在桥外一点在桥外一点A A测得大桥主架与水面的交汇点测得大桥主架与水面的交汇点C C的俯角的俯角为为,大桥主架的顶端大桥主架的顶端D D的仰角为的仰角为,已知测量点与大桥已知测量点与大桥主架的水平距离主架的水平距离AB=a,AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高则此时大桥主架顶端离水面的高CDCD为为 A.asin+asinA.asin+asinB.acos+acosB.acos+acosC.atan+atanC.atan+atan D.D.C C3.20193.如图如图,一艘船由一艘船由A A港沿北偏东港沿北偏东6565方向航行方向航行30 km30 km至至B B港港,然后再沿北偏西然后再沿北偏西4040方向航方向航行至行至C C港港,C,C港在港在A A港北偏东港北偏东2020方向方向,则则A,CA,C两港之间的距离为两港之间的距离为_km._km.B B世纪金榜导学号世纪金榜导学号 A.30+30 A.30+30 B.30+10 B.30+10 C.10+30 C.10+30 D.30 D.30 4.20194.如图如图,灯塔灯塔A A在测在测绘船的正北方向绘船的正北方向,灯塔灯塔B B在测绘船的东在测绘船的东北方向北方向,测绘船向正东方向航行测绘船向正东方向航行2020海海里后里后,恰好在灯塔恰好在灯塔B B的正南方向的正南方向,此时测得灯塔此时测得灯塔A A在测绘在测绘船北偏西船北偏西63.563.5的方向上的方向上,则灯塔则灯塔A,BA,B间的距离为间的距离为_海里海里.2.2422225.20195.地铁地铁1010号线某站点出口横截面平面图如图号线某站点出口横截面平面图如图所示所示,电梯电梯ABAB的两端分别距顶部的两端分别距顶部9.99.9米和米和2.42.4米米,在距电梯起点在距电梯起点A A端端6 6米的米的P P处处,用用1.51.5米高的测米高的测角仪测得电梯终端角仪测得电梯终端B B处的仰角为处的仰角为14,14,求电梯求电梯ABAB的坡度的坡度与长度与长度.参考数据参考数据:sin 140.24,tan 140.25,:sin 140.24,tan 140.25,cos 140.97.cos 140.97.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 解析解析 作作BCPABCPA交交PAPA的延长线于点的延长线于点C,C,作作QDPCQDPC交交BCBC于于点点D.D.由题意可得由题意可得,BC=9.9-2.4=7.5,BC=9.9-2.4=7.5,QP=DC=1.5,QP=DC=1.5米米,BQD=14,BQD=14,则则BD=BC-DC=7.5-1.5=6BD=BC-DC=7.5-1.5=6.tan BQD=,tan BQD=,tan 14=,tan 14=,即即0.25=,0.25=,解得解得,ED=18,ED=18,AC=ED=18AC=ED=18米米.BC=7.5BC=7.5米米,tan BAC=.tan BAC=.BC=7.5BC=7.5米米,AC=18,AC=18米米,BCA=90,BCA=90,AB=19.5AB=19.5,即电梯即电梯ABAB的坡度是的坡度是512,512,长度是长度是19.519.5米米.
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