中考复习方法课件

69中学 赵殿君1-中考复习中要关注每一个学生。只有每一个学生的进步，才能有整个班级中考数学的成功！由此中考总复习应首先定位在“关注每一个学生”，注重“双基”的考查。2-“牵牛要牵牛鼻子”。为了有效地提高中考复习课的教学效率，教师要精心选择题目，复习知识点，促使学生准确地把握数学知识的内涵和外延。3-抓住一个抓住一个“基基”字、追求一个字、追求一个“效效”字字提高中考数学复习课效率方法一：（1 1）知）知识识基基础础化，化，问题问题系列化系列化（2 2）设设置置问题问题串，知串，知识连识连成片成片 4-串串“知知识识点点”ABCDEFMNO1、请同学们根据图形给出结论2、请教师给出条件如tanDAE=一、正方形ABCD,EAF=45（1）全等（2）相似（3）线段（4）角（5）三角函数等tanBAF等于多少5-二、二、根据根据20082008年中考年中考题题串串联题联题目目已知：已知：(3)若若a为为方程方程的解，求的解，求 的的值值(1)求方程（求方程（组组）或不等式的解）或不等式的解(4)若若a为为不等式不等式的解，求的解，求 的的y取取值值范范围围(2)若若x、y是方程是方程组组的解，求的解，求 的的值值(5)若方程若方程的两个解分的两个解分别别是相交两是相交两圆圆的半径的半径长长，请请写出一写出一 个符合条件的个符合条件的圆圆心距。心距。串串题题目：目：6-这样这样串串题题目是分析目是分析试试卷的一种方法，供同行卷的一种方法，供同行参考。参考。分析分析试试卷，不能大手一卷，不能大手一挥说挥说“请请同学同学们们看到看到试试卷，从第几卷，从第几题题到第几到第几题题”，要重在引，要重在引导导学生多学生多总结总结方法，使学生做一方法，使学生做一题题明一路。明一路。设计设计意意图图：7-45oABC45oBCA45o45oCAB45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻翻转转BCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oD旋旋转转E45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋旋转转60oD平移平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD30oCAB45oD30oCAB60oD串串“典型典型图图形形”8-1 1、某海某海滨滨浴浴场场的沿岸可以看作直的沿岸可以看作直线线，如，如图图所示，所示，1 1号救生号救生员员在岸在岸边边的的A A点看到海中的点看到海中的B B点有人求救，便立即向前跑点有人求救，便立即向前跑300300米到离米到离B B点最近的地点点最近的地点C C再跳入海中游到再跳入海中游到B B点救助；若每位救生点救助；若每位救生员员在岸上在岸上 跑跑步的速度都是步的速度都是6 6米米/秒，在水中游泳的速度都是秒，在水中游泳的速度都是2 2米米/秒。秒。60BCA45DBCA45 1.1.请问请问1 1号救生号救生员员的做法是否合理？的做法是否合理？2.2.若若2 2号救生号救生员员从从A A 跑到跑到D D再跳入海中游到再跳入海中游到B B点救助点救助,请问谁请问谁先先到达到达B B？45oCBA60oD串串“典型典型图图形形”9-45oCAB 2 2、如、如图图,为为了求河的了求河的宽宽度度,在河在河对对岸岸岸岸边边任意取一点任意取一点A,A,再在河再在河这边这边沿河沿河边边取两点取两点B B、C,C,使得使得ABC=60,ACBABC=60,ACB45,45,量得量得BCBC长为长为100100米米,求河的求河的宽宽度（即求度（即求BCBC边边上的高）上的高）.D6045ABCBC 100100米米DBCA45o45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻翻转转10-3 3、外国船只，除特、外国船只，除特许许外，不得外，不得进进入我国海洋入我国海洋100100海里以内的海里以内的区域。如区域。如图图，设设A A、B B是我是我们们的的观观察站，察站，A A和和B B之之间间的距离的距离为为160160海里，海岸海里，海岸线线是是过过A A、B B的一条直的一条直线线。一外国船只在。一外国船只在P P点，点，在在A A点点测测得得BAP=45BAP=450 0，同，同时时在在B B点点测测得得ABP=60ABP=600 0，问问此此时时是否要向外国船只是否要向外国船只发发出警告，令其退出我国海域出警告，令其退出我国海域.ABP4560 C11-BD4 4、如、如图图，已知，已知铁铁塔塔基距楼房基水平距离塔塔基距楼房基水平距离BDBD为为5050米，由楼米，由楼顶顶A A望塔望塔顶顶的仰角的仰角为为45,45,由楼由楼顶顶望塔底的俯角望塔底的俯角为为30,30,塔高塔高DCDC为为()()米米 ACEBCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oD旋旋转转E12-BDC60AE3050mM45oABC45o45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋旋转转60oD平移平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD问题问题1 1楼房楼房ABAB的高度是多少的高度是多少?问题问题2 2楼房楼房CDCD的高度是多少的高度是多少?13-5 5、为为打打捞捞一失事一失事飞飞机上的黑匣子，潜水机上的黑匣子，潜水员员在在A A处处以每小以每小时时8 8海里的速度向正海里的速度向正东东方向划行，在方向划行，在A A处测处测得黑匣子得黑匣子B B在北在北偏偏东东6060度的方向，半小度的方向，半小时时后到达后到达C C处处，测测得得B B在北偏在北偏东东3030度的方向，度的方向，问问潜水潜水员继续员继续向向东东划行划行时时,距距B B的最近距离是的最近距离是多少多少?（精确到（精确到0.1m)0.1m)ADCB北北北北3060EF14-教学教学过过程中，程中，对对于数学建模能力的培养是很于数学建模能力的培养是很重要的。重要的。对对于常于常见见的基本模型是的基本模型是应应使人人都要掌使人人都要掌握的。当然，我握的。当然，我们应们应由易到由易到难难，逐步深入，照，逐步深入，照顾顾到不同到不同类类型的学生。型的学生。设计设计意意图图：15-心得体会：心得体会：近几年的中考近几年的中考题题告告诉诉我我们们学学好好课课本的重要性。本的重要性。我我们们学校数学学校数学组组在复在复习时习时就就很重很重视钻视钻研研课课本，重本，重视课视课本本题题目目的改的改编编，把知，把知识连识连成片成片，做到，做到举举一反三，形成整体知一反三，形成整体知识识并并综综合运合运用。效果不用。效果不错错。抓住一个抓住一个“基基”字、追求一个字、追求一个“效效”字字16-17-在教学中有在教学中有时时我我们为们为了赶了赶进进度，度，经经常将常将“结结果果”直接抛直接抛给给学生。我学生。我们们差生的学差生的学习习也就像蹩脚也就像蹩脚的的杂杂技演技演员员表演表演杂杂技技节节目目“抛抛盘盘子子”是接一个是接一个丢丢一个。一个。为为了加了加强强复复习习的有效性，同的有效性，同时为时为了改了改进简进简单单串串联联知知识识的做法，我的做法，我们认为们认为也可以以也可以以题带题带知知识识，让让学生通学生通过对问题过对问题的解决，勾起的解决，勾起对对知知识识的的回回忆忆，加深，加深对对知知识识的理解。的理解。18-（2 2）链链条一条一环环环环，题题目目变变变变变变 （1 1）以）以题带题带知知识识，应应用促理解用促理解强强化一个化一个“精精”字、兼字、兼顾顾一个一个“层层”字字 提高中考数学复习课堂效率方法二：19-一一图图多多换换如如如如图图图图，在等腰梯形，在等腰梯形，在等腰梯形，在等腰梯形ABCDABCDABCDABCD中，已知中，已知中，已知中，已知AB=6AB=6AB=6AB=6，BC=2BC=2BC=2BC=2，DAB=45DAB=45DAB=45DAB=45，以，以，以，以ABABABAB所在直所在直所在直所在直线为线为线为线为x x x x轴轴轴轴，A A A A为为为为坐坐坐坐标标标标原点建立直角坐原点建立直角坐原点建立直角坐原点建立直角坐标标标标系，将等腰梯形系，将等腰梯形系，将等腰梯形系，将等腰梯形ABCDABCDABCDABCD绕绕绕绕A A A A点按逆点按逆点按逆点按逆时针时针时针时针方向旋方向旋方向旋方向旋转转转转90909090，得到等腰梯形，得到等腰梯形，得到等腰梯形，得到等腰梯形OEFG.OEFG.OEFG.OEFG.（1 1 1 1）写出）写出）写出）写出C C C C、F F F F两点的坐两点的坐两点的坐两点的坐标标标标（2 2 2 2）将等腰梯形）将等腰梯形）将等腰梯形）将等腰梯形ABCDABCDABCDABCD沿沿沿沿x x x x 轴轴轴轴的的的的负负负负半半半半轴轴轴轴平平平平行移行移行移行移动动动动，设设设设移移移移动动动动后的后的后的后的OA=xOA=xOA=xOA=x，如，如，如，如图图图图2,2,2,2,等腰梯形等腰梯形等腰梯形等腰梯形ABCDABCDABCDABCD与等腰梯形与等腰梯形与等腰梯形与等腰梯形OEFGOEFGOEFGOEFG重叠部分的面重叠部分的面重叠部分的面重叠部分的面积为积为积为积为y y y y，当点，当点，当点，当点D D D D移移移移动动动动到等腰梯形到等腰梯形到等腰梯形到等腰梯形OEFGOEFGOEFGOEFG的内部的内部的内部的内部时时时时，求，求，求，求y y y y与与与与x x x x之之之之间间间间的函数关系式；（的函数关系式；（的函数关系式；（的函数关系式；（3 3 3 3）在直）在直）在直）在直线线线线CDCDCDCD上是否存在点上是否存在点上是否存在点上是否存在点P P P P，使，使，使，使EFPEFPEFPEFP为为为为等等等等腰三角形，若存在，求出腰三角形，若存在，求出腰三角形，若存在，求出腰三角形，若存在，求出P P P P点坐点坐点坐点坐标标标标，若不存在，若不存在，若不存在，若不存在，请说请说请说请说明理由。明理由。明理由。明理由。MMMMNABCDFEGOxy20-(1)(1)将条件中的等腰梯形改将条件中的等腰梯形改为为平行四平行四边边形形 一一图图多多换换MMMM21-(2)(2)等腰梯形改等腰梯形改为为菱形，菱形，边长为边长为6 6 MMMM一一图图多多换换22-(3)(3)等腰梯形改等腰梯形改为为矩形矩形 一一图图多多换换23-(4)(4)等腰梯形改等腰梯形改为为正三角形，正三角形，边长为边长为6 6 一一图图多多换换24-如如图图，在平面直角坐，在平面直角坐标标系中，已知系中，已知AOBAOB是等是等边边三角形三角形,点点A A的的坐坐标标是（是（0 0，4 4），点），点B B在第一象限，点在第一象限，点P P是是x x轴轴上的一个上的一个动动点，点，连结连结APAP，并把，并把AOPAOP绕绕着点着点A A按逆按逆时针时针方向旋方向旋转转，使，使边边AOAO与与ABAB重合，得到重合，得到ABDABD.（1 1）求直）求直线线ABAB的解析式；的解析式；（2 2）当点）当点P P运运动动到点（到点（,0,0）时时，求此，求此时时DPDP的的长长及点及点D D的坐的坐标标；（3 3）是否存在点）是否存在点P P,使使OPDOPD的面的面积积等于等于 ,若存在，若存在，请请求出求出符合条件的点符合条件的点P P的坐的坐标标；若不存在，；若不存在，请说请说明理由明理由.问题问题的的创创新新25-如如图图所示：所示：ABC中，中，CA=CB，点，点D为为AB上一点，上一点，A=MDN=a，（1）如）如图图1，若点，若点M、N分分别别在在AC、BC上，上，AD=BD，问问：DM与与DN有何数量关系？若有何数量关系？若cosa=，AM、BN、AB又有又有何关系何关系证证明你的明你的结论结论。（2）如）如图图2，若点，若点M在在AC的延的延长线长线上，点上，点N在在BC上，上，AD=BD，则则DM与与DN有何数量关系？如有何数量关系？如图图3，若点，若点M、N分分别别在在AC、CB的延的延长线长线上，上，AD=BD，则则DM与与DN有何数量关系有何数量关系？请请在在图图2或或图图3中任中任选选一个一个进进行行证证明。明。（3）如）如图图4，若，作，若，作 MDN=2a，使点，使点M在在AC上，点上，点N在在BC的延的延长线长线上，完成上，完成图图4，判断，判断DM与与DN的数量关系（直接写出的数量关系（直接写出结论结论，不，不证证明）。明）。图1ACBDMN图2CBDMNA图3NMDBCA图4BACDM26-如如图图所示：所示：ABC中，中，CA=CB，点，点D为为AB上一点，上一点，A=MDN=a，若点若点M、N分分别别在在AC、BC上，上，AD=BD，问问：DM与与DN有何数量关系？若有何数量关系？若cos a=，CF、CE、CD又有何关系又有何关系证证明你的明你的结论结论。图1ACBDMNEF27-已知：已知：ABC和和 ADE分分别别是以是以AB、AE为为底的等腰直角三角形，以底的等腰直角三角形，以CE、CB为边为边作作CEHB，连连DC、CH；（1）如）如图图1，当，当D点在点在AB上上时时，CH与与CD之之间间有何数量关系？有何数量关系？请说请说明理由。明理由。（2）将）将图图1中的中的 ADE绕绕A点逆点逆时针时针旋旋转转45得得图图2，则则CH与与CD之之间间的数量的数量关系关系为为 （3）将）将图图1中的中的 ADE绕绕A点点顺时针顺时针旋旋转转（02a),a(b2a),点点F F在在 AD AD上上,求求ABCDEGF33-如如图图,当当 =9090时时,设设正方形正方形ABCDABCD、AEFG AEFG 的的边长边长分分别为别为b b、a(b2a),a(b2a),求求ABCDEGFKH34-如如图图1 1，四，四边边形形ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是是CDCD边边上的一个上的一个动动点点(点点G G与与C C、D D不重合不重合)，以，以CGCG为为一一边边在正方形在正方形ABCDABCD外作正方形外作正方形CEFGCEFG，连结连结BGBG，DEDE我我们们探究下列探究下列图图中中线线段段BGBG、线线段段DEDE的的长长度关系及所在直度关系及所在直线线的位置关系：的位置关系：（1 1）猜想如猜想如图图1 1中中线线段段BGBG、线线段段DEDE的的长长度关系及所在直度关系及所在直线线的的位置关系；位置关系；将将图图1 1中的正方形中的正方形CEFGCEFG绕绕着点着点C C按按顺时针顺时针(或逆或逆时针时针)方向旋方向旋转转任意角度，得到如任意角度，得到如图图2 2、如、如图图3 3情形情形请请你通你通过观过观察、察、测测量等方量等方法判断法判断中得到的中得到的结论结论是否仍然成立是否仍然成立,并并选选取取图图2 2证证明你的判断明你的判断问题问题的突破的突破35-（2 2）将原）将原题题中正方形改中正方形改为为矩形（如矩形（如图图4646），且），且AB=aAB=a，BC=bBC=b，CE=kaCE=ka，CG=kb CG=kb(abab，k k0)0)，第，第(1)(1)题题中得到的中得到的结论结论哪哪些成立，哪些不成立？若成立，以些成立，哪些不成立？若成立，以图图5 5为为例例简简要要说说明理由明理由（3 3）在第）在第(2)(2)题图题图5 5中，中，连结连结DGDG、BEBE，且，且a a=3=3，b b=2=2，k k=，求，求 的的值值36-真正不会学真正不会学习习的人，是没有掌握学的人，是没有掌握学习习方法的人，方法的人，因而在教学中要特因而在教学中要特别别重重视视学法的指学法的指导导。设计设计意意图图：37-心得体会：心得体会：在复在复习习中最忌教法中最忌教法单单一，本一，本来数学就抽象，加上复来数学就抽象，加上复习习又常走又常走老路，吃倒老路，吃倒饭饭。因此，教。因此，教师师要善要善于将教材中的于将教材中的试题试题、中考、中考试题进试题进行行变变式、式、归纳归纳，让让学生感到数学学生感到数学复复习习内容内容“旧貌旧貌变变新新颜颜”。强强化一个化一个“精精”字、兼字、兼顾顾一个一个“层层”字字 38-学生的学生的发发展，展，对对知知识识的的获获取，取，经验经验的的积积累，累，乃至解决乃至解决问题问题能力的提高，都必能力的提高，都必须须建立在学生的建立在学生的身体力行之上，教学只是学生身体力行之上，教学只是学生发发生生这这种作用或种作用或变变化的化的“催化催化剂剂”。39-立足一个立足一个“透透”字、注重一个字、注重一个“练练”字字提高中考数学复习课堂效率方法三：（2 2）多一些）多一些讨论讨论，少一些，少一些讲讲解解（1 1）多一些指）多一些指导导，少一些灌，少一些灌输输40-如如图图1 1，在等，在等边边ABCABC中，中，P P为为BCBC上一点，上一点，D D为为ACAC上一点，且上一点，且APD=60APD=60，BP=1BP=1，CD=CD=，求求ABCABC的的边长边长.一法多用一法多用ABPPCD ABPPCD 3 3 41-将等将等边边三角形拓展三角形拓展为为等腰三角形等腰三角形1 1、如如图图2(1)2(1)，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D、E E分分别别在在BCBC、ACAC边边上，且上，且ADE=BADE=B，AD=DEAD=DE。求求证证：ADBDECADBDEC图图图图2 2一法多用一法多用42-将三角形拓展将三角形拓展为为四四边边形形2 2 2 2、如如如如图图图图3 3 3 3（1 1 1 1），等腰梯形），等腰梯形），等腰梯形），等腰梯形ABCDABCDABCDABCD中，中，中，中，ADBCADBCADBCADBC，AD=3cmAD=3cmAD=3cmAD=3cm，BC=7cmBC=7cmBC=7cmBC=7cm，B=60B=60B=60B=60，P P P P为为为为下底下底下底下底BCBCBCBC上一点（不与上一点（不与上一点（不与上一点（不与B B B B、C C C C重合），重合），重合），重合），连连连连接接接接APAPAPAP，过过过过P P P P点作点作点作点作PEPEPEPE交交交交DCDCDCDC于于于于E E E E，使得，使得，使得，使得APE=BAPE=BAPE=BAPE=B。（1 1 1 1）求）求）求）求证证证证：ABPPCEABPPCEABPPCEABPPCE；（2 2 2 2）求等腰梯形的腰）求等腰梯形的腰）求等腰梯形的腰）求等腰梯形的腰ABABABAB的的的的长长长长；（3 3 3 3）在底）在底）在底）在底边边边边BCBCBCBC上是否存在一点上是否存在一点上是否存在一点上是否存在一点P P P P，使得，使得，使得，使得DEDEDEDE：EC=5EC=5EC=5EC=5：3 3 3 3？如果存在，求出？如果存在，求出？如果存在，求出？如果存在，求出BPBPBPBP的的的的长长长长；如果不存在，；如果不存在，；如果不存在，；如果不存在，请说请说请说请说明理由。明理由。明理由。明理由。图图图图3 3一法多用一法多用43-3 3 3 3、如、如、如、如图图图图4(1),ABBC4(1),ABBC4(1),ABBC4(1),ABBC，DCBCDCBCDCBCDCBC，垂足分，垂足分，垂足分，垂足分别为别为别为别为B,C.B,C.B,C.B,C.（1 1 1 1）当）当）当）当AB=4AB=4AB=4AB=4，DC=1DC=1DC=1DC=1，BC=4BC=4BC=4BC=4时时时时，在，在，在，在线线线线段段段段BCBCBCBC上是否存在点上是否存在点上是否存在点上是否存在点P P P P，使，使，使，使APPDAPPDAPPDAPPD？如果存在，求？如果存在，求？如果存在，求？如果存在，求线线线线段段段段BPBPBPBP的的的的长长长长；如果不存在，；如果不存在，；如果不存在，；如果不存在，请说请说请说请说明理由。明理由。明理由。明理由。（2 2 2 2）当）当）当）当AB=aAB=aAB=aAB=a，BC=bBC=bBC=bBC=b，AD=cAD=cAD=cAD=c，那么当，那么当，那么当，那么当a a a a、b b b b、c c c c之之之之间满间满间满间满足足足足什么关系什么关系什么关系什么关系时时时时，在直，在直，在直，在直线线线线BCBCBCBC上存在点上存在点上存在点上存在点P P P P，使，使，使，使APPDAPPDAPPDAPPD？图图图图4 444-4 4、如、如图图5 5，正多，正多边边形形A A1 1A A2 2A A3 3AAn n,只要只要当当AA1 1PQ=APQ=A2 2时时，总总有有AA1 1A A2 2PPAPPA3 3Q Q 把三角形推广到正多把三角形推广到正多边边形形 45-（0606江西江西课课改）改）问题问题背景背景 某某课课外学外学习习小小组组在一次学在一次学习习研研讨讨中，得到如下两个命中，得到如下两个命题题：如如图图1 1，在正三角形，在正三角形ABCABC中，中，M M、N N分分别别是是ACAC、ABAB上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BONBON=60=60，则则BMBM=CNCN.如如图图2 2，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M、N N分分别别是是CDCD、ADAD上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BONBON=90,=90,则则BMBM=CNCN.然后运用然后运用类类比的思想提出了如下的命比的思想提出了如下的命题题：如如图图3 3，在正五，在正五边边形形ABCDEABCDE中，中，M M、N N分分别别是是CDCD、DEDE上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BONBON=108=108，则则BMBM=CNCN.问题问题的整合的整合46-任任务务要求要求 （1 1）请请你从你从、三个命三个命题题中中选择选择一个一个进进行行证证明；明；（2 2）请请你你继续继续完成下面的探索：完成下面的探索：如如图图4 4，在正，在正n n（n n33）边边形形ABCDEFABCDEF中，中，M M、N N分分别别是是CDCD、DEDE上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，问问当当BONBON等于多少度等于多少度时时，结论结论BMBM=CNCN成立？（不要求成立？（不要求证证明）明）如如图图5 5，在五，在五边边形形ABCDEABCDE中，中，M M、N N分分别别是是DEDE、AEAE上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，当，当BONBON=108=108时时，请问结论请问结论BMBM=CNCN是否是否还还成立？若成立，成立？若成立，请给请给予予证证明；若不成立，明；若不成立，请说请说明理明理由由.（1 1）我）我选选 .47-对对数学数学“猜想猜想验证验证推广推广”过过程的学程的学习习，从特殊到一般从特殊到一般进进行猜想行猜想归纳归纳，能使复，能使复习习达到事达到事半功倍的效果，有利于学生学会半功倍的效果，有利于学生学会应应用科学的研用科学的研究方法。究方法。设计设计意意图图：48-心得体会：心得体会：“让让我听我听见见的，我会忘的，我会忘记记；让让我看我看见见的，我就了解；的，我就了解；让让我做我做过过的，我能掌握。的，我能掌握。”为为了了发发展学生的能力，教展学生的能力，教师应师应该该从学生从学生实际实际出出发发，设计设计一些具一些具有思考性和有思考性和实际实际意意义义的的问题问题，作，作为为学生平学生平时练习时练习的的题题目。目。立足一个立足一个“透透”字、注重一个字、注重一个“练练”字字49-给给学生一些学生一些权权力，力，让让他他们们自己去自己去选择选择；给给学生一些机会，学生一些机会，让让他他们们自己去体自己去体验验；给给学生一点困学生一点困难难，让让他他们们自己去解决；自己去解决；给给学生一些学生一些问题问题，让让他他们们自己去自己去寻寻答；答；给给学生一种条件，学生一种条件，让让他他们们自己去自己去锻练锻练；给给学生一片空学生一片空间间，让让他他们们自己去自己去灿烂灿烂。我想我想说说：“请请相信我相信我们们的学生吧！的学生吧！”50-51-“数学是人数学是人类类最高的智力成就，也是人最高的智力成就，也是人类类心心灵最独特的灵最独特的创创作。音作。音乐乐能激能激发发或或抚抚慰情慰情怀怀，绘绘画画使人使人赏赏心悦目，心悦目，诗诗歌能歌能动动人心弦，哲学使人人心弦，哲学使人获获得得智慧，科学可改善物智慧，科学可改善物质质生活，但数学能生活，但数学能给给予以上予以上的一切的一切”。-克莱因克莱因52-