中考二次函数压轴题解题法研究课件

中考二次函数压轴题解题通法研究二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。中考二次函数压轴题解题通法研究二次函数在全国中考数学中两点间的距离公式两点间的距离公式中点坐标线段的中点的坐标为：中点坐标线段的中点的坐标为：一元二次方程有整数根问题解题步骤如下：用和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程，求出方程的根 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。一元二次方程有整数根问题解题步骤如下：用和参数的其他要求二次函数与轴的交点为整数点问题解题步骤如下：用和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程，求出方程的根 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。二次函数与轴的交点为整数点问题解题步骤如下：用和参数的方程总有固定根问题可以通过解方程的方法求出该固定根 已知关于的方程（为实数），求证：无论为何值，方程总有一个固定的根。解：当时，当时，、综上所述无论:为何值，方程总有一个固定的根是1。方程总有固定根问题可以通过解方程的方法求出该固定根 函数过固定点问题举例如下：已知抛物线（是常数），求证：不论为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 的方程解得：抛物线总经过一个固定的点（1，1）。（题目要求:关于的方程不论为何值,方程恒成立）小结：关于x的方程有无数解函数过固定点问题举例如下：已知抛物线（是常数），求证：不论路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线 ,点 在 上，分别在 、上确定两点 、，使得 之和最小。路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线路径最值问题路径最值问题路径最值问题路径最值问题在平面直角坐标系中求面积的方法直接用公式、割补法在平面直角坐标系中求面积的方法直接用公式、割补法函数的交点问题函数的交点问题函数的交点问题函数的交点问题方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”几何分析法几何分析法几个自定义概念几个自定义概念1.求证“两线段相等”的问题1.求证“两线段相等”的问题、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题5.常数问题5.常数问题6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题8.三角形面积的最大值问题8.三角形面积的最大值问题三角形面积的最大值问题三角形面积的最大值问题9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形10、“定四边形面积的求解”问题有两种常见解决的方案：方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）10、“定四边形面积的求解”问题有两种常见解决的方案：11.“两个三角形相似”的问题两个定三角形是否相似：已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。一个定三角形和动三角形相似：已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。11.“两个三角形相似”的问题两个定三角形是否相似：“两个三角形相似”的问题不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。“两个三角形相似”的问题不知道是否有一个角相等的情形：2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题进一步有：若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。3、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍5、“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题5、“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题6、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题（此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题，本类型实际上是前面14的特殊情形。）先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割），列出面积方程”。18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）常用公式或结论常用公式或结论中考二次函数压轴题解题法研究课件（5）中点坐标公式（5）中点坐标公式（7）两直线平行的结论（7）两直线平行的结论（9）由特殊数据得到或猜想的结论（9）由特殊数据得到或猜想的结论再见