七辐射探测中的概率统计问题课件

第七章第七章 辐射探测中的辐射探测中的概率统计问题概率统计问题第七章 辐射探测中的概率统计问题1 统统计计性性是是微微观观世世界界的的属属性性之之一一。放放射射性性原原子子核核的的衰衰变变、辐辐射射微微观观粒粒子子的的探探测测、辐辐射射探探测测器器接接受受入入射射粒粒子子并并产产生生输输出出信信号号等等都都是是一一个个随随随随机机机机过过过过程程程程。这这些些粒粒子子数数、输输出出信信号号的的电电荷荷量量、信信号号出出现现的的时时刻刻等等是是一一个个涨涨涨涨落落落落的的随随随随机机机机变变变变量量量量，这这样样辐辐射射测测量量所所得得到到的的数数数数据据据据也也都都是是涨涨落落的的，要要从从这这些些数数据据推推导导出出结结论论，就就必必须须用用概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计的的方方法法处理。处理。1 1、可可用用于于检检验验一一台台核核计计数数装装置置的的功功能能和和状状态态是是否正常；否正常；计数统计学的计数统计学的意义意义可归结为两个方面：可归结为两个方面：2 2、在在处处理理只只有有一一次次或或极极为为有有限限的的测测量量中中，可可用用计计数数统统计计学学来来预预测测其其固固有有的的统统计计不不确确定定性性，从从而而估计估计该单次测量应有的该单次测量应有的精密度精密度。统计性是微观世界的属性之一。放射性原子核的衰变、辐射27.1 7.1 概率论基础知识概率论基础知识随机试验：随机试验：随机事件：随机事件：随机变量：随机变量：一定条件下的每次观察。一定条件下的每次观察。每次随机试验的各种结果。每次随机试验的各种结果。样本：样本：N次测量中随机变量的取值构成次测量中随机变量的取值构成代表随机事件的数量代表随机事件的数量7.1 概率论基础知识随机试验：随机事件：随机变量：一定条件3概率：概率：描述在某种描述在某种随机试验随机试验的的各个随机各个随机事件事件出现的可能性出现的可能性。出现事件出现事件A A的次数的次数总试验次数总试验次数事件事件A A发生的概率发生的概率实验的平均值：实验的平均值：概率：描述在某种随机试验的各个随机事件出现的可能性。出现事件4随机变量可分为两种随机变量可分为两种离散型随机变量离散型随机变量可可取取值值是是有有限限个个或或“可可列列个个”分分立立的的数数值值。该该类类型型随随机机变变量量用用 表表示示，其可取值用其可取值用 表示。表示。连续型随机变量连续型随机变量可可取取值值是是整整个个数数轴轴或或某某一一区区间间内内的的所所有有数数值值。连连续续型型随随机机变变量量及及其其可可取值则用取值则用 和和 表示。表示。随机变量可分为两种离散型随机变量可取值是有限个或“可列个”分5 有有一一类类特特殊殊的的随随机机试试验验，其其试试验验结结果果只只有有两两个个，非非此此即即彼彼。它它的的随随机机变变量量的的可可取取值值只只有有两两个个：“0”“0”和和“1”“1”。这这类类随随机机试试验验称称为为“伯伯努努利利试试验验”。把把正正事事件件（即即随随机机变变量量取取“1 1”）发发生生的的概概率率定定义义为为 p，则则正正事事件件不不发发生生（即即随随机机变变量量取取“0 0”）的的概概率率为为 q=1-=1-p。有一类特殊的随机试验，其试验结果只有两个，非此即彼。61.1.随机变量的分布函数与数字表征随机变量的分布函数与数字表征 要要确确知知某某一一随随机机变变量量，就就需需要要不不仅仅知知道道这这随随机机变变量量的的所所有有各各个个可可取取值值，而而且且还还要要知知道道与与各各可可取取值值相相应应的的概概率率。概率论中，用概率论中，用概率函数概率函数和和分布函数分布函数来描述随机变量的这一特性。来描述随机变量的这一特性。1.随机变量的分布函数与数字表征 要确知某一随机变量，就7(1)(1)随机变量的一般特征及定义随机变量的一般特征及定义连续型随机变量连续型随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 可取值可取值分布函数分布函数概率函数概率函数概率密度函数概率密度函数相互关系相互关系 归一性归一性(1)随机变量的一般特征及定义连续型随机变量 离散型随机变8(2)(2)随机变量的数字表征随机变量的数字表征 对服从任一种分布的对服从任一种分布的随机变量随机变量，有两个最，有两个最重要的重要的数字特征数字特征。数学期望值：数学期望值：（简称（简称期望值期望值，在物理中也称，在物理中也称平均值平均值 ，常用，常用 表示）表示），它表示随机变量取值的平均位置。它表示随机变量取值的平均位置。均方偏差：均方偏差：（简称（简称方差方差），它表示），它表示随机变量随机变量的的取值取值相对于相对于期望期望值值的的离散程度离散程度。其开根值称其开根值称均方根偏差均方根偏差，常用，常用 表示。即：表示。即：(2)随机变量的数字表征 对服从任一种分布的随机变量，9数学期望值（平均值）数学期望值（平均值）对对离散型随机变量离散型随机变量 对对连续型随机变量连续型随机变量 将若干次实验中随机变量所取的数值将若干次实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到加在一起，再用实验次数除后，得到算术算术平均值平均值。当实验次数无限增加时，当实验次数无限增加时，算术平算术平均值均值将无限的接近将无限的接近数学期望数学期望。数学期望值（平均值）对离散型随机变量 对连续型随机变量 10均方偏差（方差）均方偏差（方差）对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：方方差差的的意意义义：代代表表了了随随机机变变量量各各个个可可取取值值相相对对于于平平均均值值的的离离散散程程度度。方方差差小小则则代代表表随随机机变变量量在在各各次次实实验验中中所所取取得得的的数数值值越越集集中中的的分分布布在在平平均均值值附附近近，方方差差大大则则表表示示分分布布得得越分散越分散。均方偏差（方差）对离散型随机变量：对连续型随机变量 11均方根偏差均方根偏差 对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：相对均方偏差相对均方偏差 对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：相对均方根偏差相对均方根偏差 对对离散型随机变量离散型随机变量 ：对对连续型随机变量连续型随机变量 ：方差方差或或均方根偏差均方根偏差代表了代表了随机变量可取值随机变量可取值相对于相对于平均值平均值的的离散程度离散程度；相对方差相对方差或或相对均方根偏差相对均方根偏差则代表了则代表了测量精度测量精度。均方根偏差 对离散型随机变量：对连续型随机变量 ：相12(3)(3)一些相似概念区分一些相似概念区分(A)(A)误差误差(error)和偏差和偏差(deviation)偏差：偏差：误差：误差：N次测量平均值次测量平均值 真值真值 当真值未知的情况下，一般以当真值未知的情况下，一般以偏差偏差代替代替误差误差。(B)(B)准确度准确度精确度精确度测量值测量值与被测对象与被测对象真值真值的的一致程度一致程度。一次一次测量测量的的可重复性可重复性或或可靠性可靠性。accuracyprecision准确度：准确度：精确度：精确度：可用测量的可用测量的平均值平均值与与真值真值的的差差描述。描述。可用测量的可用测量的均方偏差均方偏差描述。描述。(3)一些相似概念区分(A)误差(error)和偏差(de13(C)(C)系统误差系统误差偶然误差偶然误差 系统误差：系统误差：在同一条件下，在同一条件下，多次测量多次测量同一物同一物理量，测量值理量，测量值误差误差的的大小大小和和符号保持恒定符号保持恒定。产生原因产生原因：仪器本身仪器本身不精确不精确、或、或实验方实验方法法粗略粗略、或、或实验原理实验原理不完善不完善而产生的。而产生的。特点特点：在：在多次重做多次重做同一实验同一实验时，时，误差误差总是总是同样同样地地偏大或偏小偏大或偏小，不会出现不会出现这几次偏大这几次偏大而另几次偏小而另几次偏小的情况。的情况。要要减小减小系统误差系统误差，必须，必须提高提高测量仪器测量仪器的的精精度度，改进改进实验方法实验方法，设计在，设计在原理上原理上更为完更为完善的善的实验实验。(C)系统误差偶然误差 系统误差：在同一条件下，多次测14 偶偶然然误误差差：在在同同一一条条件件下下，多多次次测测量量同同一一物物理理量量，测测量量值值误误差差的的大大小小和和符符号号随随机机变变化化。也叫。也叫随机误差随机误差。2 2）是）是绝对存在绝对存在且且不可避免不可避免的的 。产生原因产生原因：由：由各种偶然因素各种偶然因素对对实验者实验者、测测量仪器量仪器、被测物理量被测物理量的影响而产生的。的影响而产生的。特点特点：1 1）有时偏大有时偏小有时偏大有时偏小，并且，并且偏大偏大和偏小和偏小的的机会相同机会相同；可以多可以多进行几次测量进行几次测量来减小来减小偶然误差偶然误差。各次测得各次测得的数值的的数值的平均值平均值就比就比一次测得一次测得的的数值数值更更接近于接近于真实值真实值。偶然误差：在同一条件下，多次测量同一物理量，测量值误15 在在核辐射测量核辐射测量中，中，偶然误差偶然误差是一项主要是一项主要的误差，产生的原因有的误差，产生的原因有两个两个：一是一是核事件的随机性核事件的随机性产生的产生的统计误差统计误差；二是二是测量仪器测量仪器在正常工作条件下的在正常工作条件下的测量误差测量误差。统计误差统计误差是一种特殊的是一种特殊的偶然误差偶然误差，是由微观世界的随机性所决定的。是由微观世界的随机性所决定的。系统误差系统误差影响影响系统的系统的准确度准确度，偶然误差偶然误差影响影响系统的系统的精确度精确度。在核辐射测量中，偶然误差是一项主要的误差，产生的原因有162.2.几种常用的统计模型几种常用的统计模型(1)(1)二项式分布二项式分布 二项式分布是二项式分布是支配支配偶然事件偶然事件的的最通用的最通用的概率概率分布，广泛应用于所有分布，广泛应用于所有概率概率p恒定恒定的过程。的过程。设一随机试验条件组为：作设一随机试验条件组为：作 次独立试验，每次独立试验，每次试验中次试验中要么发生要么发生 事件，事件，要么不发生要么不发生，且，且 事件事件发生的概率发生的概率为为 ，不发生的概率不发生的概率为为 。定义随机变量定义随机变量 为按上述条件组试验后，为按上述条件组试验后，事件事件 总共发生的次数。总共发生的次数。可取值为可取值为0 0，1 1，2 2，.，是是离散型随机变量离散型随机变量。2.几种常用的统计模型(1)二项式分布 二项式分布是支17二项式分布二项式分布的的概率函数概率函数：在一组在一组 个个独立试验独立试验中，中，事件事件 成功成功 次的次的概率概率为为：可见，二项式分布的可见，二项式分布的概率函数概率函数概率函数概率函数是由是由双参数双参数双参数双参数 N0 和和 p 决定的。决定的。二项式分布随机变量二项式分布随机变量的的数学期望数学期望和和方差方差:数学期望数学期望 方差方差 二项式分布的概率函数：在一组 个独立试验中，事件 18例子：例子：具有具有N0个放射性原子核的个放射性原子核的放射源放射源在在t时时间内的间内的衰变总数衰变总数，服从，服从二项式分布二项式分布。原子核衰变服从原子核衰变服从指数规律指数规律，即，即 那么在那么在（0 0t）时间内，时间内，发生衰变的原子核发生衰变的原子核数数为：为：所以对于原子核衰变，其数学期望为：所以对于原子核衰变，其数学期望为：方差：方差：也就是说原子核在也就是说原子核在t时间内发生衰变的概率为：时间内发生衰变的概率为：不发生衰变的概率为：不发生衰变的概率为：例子：具有N0个放射性原子核的放射源在t时间内的衰变总数，19(2)(2)泊松分布泊松分布泊泊泊泊松松松松分分分分布布布布是是在在N0很很大大、概概率率p很很小小的的条条件件下下，二二项项式式分分布布在数学上的在数学上的直接简化直接简化，是二项式分布的一种极限情况。，是二项式分布的一种极限情况。对二项式分布，当对二项式分布，当 N0 很大，但很大，但 p11(1(例例如如20)20)时时，泊泊松松分分布布就就可可简简化化为为高高斯斯分分布布。对对高高斯斯分分布布，随随机机变变量量X取取值值范范围围为为()，为为连连续续型型随随机机变变量量。其其概概率率密密度度函函数数为：为：高斯分布随机变量高斯分布随机变量的的数学期望和方差数学期望和方差数学期望数学期望 方差方差 (3)高斯分布 高斯分布又称正态分布，当泊松分布中的 23 对对于于核核衰衰变变，可可以以证证明明单单位位时时间间发发生生衰衰变的核数变的核数服从服从泊松分布泊松分布。其特点为：。其特点为：这一关系在高斯分布也是成立的。可以这一关系在高斯分布也是成立的。可以证明：证明：此式表明，仅有统计涨落时，此式表明，仅有统计涨落时，一般情况下，一般情况下，对于核衰变，可以证明单位时间发生衰变的核数服从泊松分布24 高斯分布高斯分布连续对称连续对称，可以方便的计算测，可以方便的计算测量值出现在量值出现在 区间内的区间内的概率概率，即，即：令：令：可由高斯函数数值积分表查得。可由高斯函数数值积分表查得。高斯分布连续对称，可以方便的计算测量值出现在 25表示表示置信区间置信区间为为该置信区间的该置信区间的置信度置信度为：为：例如：例如：当当Z1 1时，时，置信区间置信区间为为该置信区间的该置信区间的置信度置信度为为当当Z2 2时，时，置信区间置信区间为为该置信区间的该置信区间的置信度置信度为为表示置信区间为该置信区间的置信度为：例如：当Z1时，置信区263.3.随机变量的运算和组合随机变量的运算和组合 复杂随机变量复杂随机变量往往可以往往可以分解分解为为由若由若干简单的随机变量干简单的随机变量运算运算、组合组合而成。而成。这这样样就就可可以以由由已已知知的的简简单单随随机机变变量量的的分分布布函函数数与与数数字字表表征征来来求求复复杂杂随随机变量机变量的的分布函数分布函数和和数字表征数字表征。3.随机变量的运算和组合 复杂随机变量往往可以分解为由若27(1).(1).随机变量的函数随机变量的函数 已已知知随随机机变变量量X，其其可可取取值值为为x，概概率率密密度度函函数数为为f(x)。而而Y(x)，求求随随机机变变量量Y 的可取值的可取值 y 和概率密度函数和概率密度函数 g(y)。由于由于X取各可取值的概率就是取各可取值的概率就是Y取相应可取相应可取值的概率，所以：取值的概率，所以：(1).随机变量的函数 已知随机变量X，其可取值为x，28 的得到在数学上是十分困难的。的得到在数学上是十分困难的。它取决于它取决于 和函数关系和函数关系 仅仅对对一一些些最最简简单单的的函函数数才才能能得得到到其其解解析表达式。析表达式。如：如：的得到在数学上是十分困难的。它取决于 29对对多个独立随机变量多个独立随机变量的函数的函数 Y 也也是是一一个个随随机机变变量量，其其可可取取值值和和概概率率密密度度函数函数由由各各Xi 的的可取值可取值和和概率密度函数概率密度函数共同确定。共同确定。由此，可得到若干简单的关系：由此，可得到若干简单的关系：(A)(A)对多个独立随机变量的函数 Y 也是一个随机变量，其可30(B)(B)相互独立相互独立的随机变量的的随机变量的“和和”、“差差”与与“积积”的的数学期望数学期望，是各随机变量，是各随机变量数学期望数学期望的的“和和”、“差差”与与“积积”，即：，即：(C)(C)相相互互独独立立的的随随机机变变量量的的“和和”与与“差差”的的方差方差，是各随机变量，是各随机变量方差方差的的“和和”，即：，即：(D)(D)相互独立相互独立的的遵守泊松分布的随机变量遵守泊松分布的随机变量之之“和和”仍服从泊松分布。仍服从泊松分布。要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机变量之变量之“差差”，不服从不服从泊松分布。泊松分布。(B)相互独立的随机变量的“和”、“差”与“积”的数学期望31(2).(2).串级随机变量串级随机变量 辐射测量中经常会遇到辐射测量中经常会遇到级联级联、倍增倍增过过程的程的涨落问题涨落问题，这些问题可以用，这些问题可以用串级型随串级型随机变量机变量的概念及运算规则来处理。的概念及运算规则来处理。设对应于试验条件组设对应于试验条件组A A定义定义一个随机变一个随机变量量 1 1，对应于另一试验条件组，对应于另一试验条件组B B定义定义另一另一随机变量随机变量 2 2，且二者，且二者相互独立相互独立。按以下规。按以下规则定义一个则定义一个新的随机变量新的随机变量：(2).串级随机变量 辐射测量中经常会遇到级联、倍增32(A)(A)先先按条件组按条件组A A作作一次一次试验，实现了试验，实现了随随机变量机变量 1的的一个一个可取值可取值 1i；(B)(B)再再按条件组按条件组B B作作 1i次次试验，实现了试验，实现了随随机变量机变量 2的的 1i个个可取值可取值 ；(C)(C)将将这些可取值加起来这些可取值加起来得到得到一个一个值值 i，并将此值定义为一个并将此值定义为一个新的随机变量新的随机变量 的的一个一个可取值可取值；这里，这里，随机变量随机变量 为为随机变量随机变量 1与与 2的的“串级串级”随机变量。而且按顺序分别称随机变量。而且按顺序分别称 1和和 2为此串级随机变量的为此串级随机变量的第一级第一级和和第二级第二级。(A)先按条件组A作一次试验，实现了随机变量1的一个可取33串级随机变量的主要特点：串级随机变量的主要特点：(A)(A)期望值：期望值：(B)(B)方差：方差：(C)(C)相对方差：相对方差：假假如如第第第第一一一一级级级级随随机机变变量量的的数数学学期期望望很很很很大大大大，那那么么就就可可以以忽忽略略第第二二级级随随机机变变量量的的相相对对方方差差对对串级随机变量串级随机变量的的相对方差相对方差的的贡献贡献。串级随机变量的主要特点：(A)期望值：(B)方差：(C)34(D)(D)由由两两个个伯伯伯伯努努努努利利利利型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量 1 1和和 2 2串串级级而而成成的的随随机机变变量量 仍仍是是伯伯伯伯努努努努利利利利型型型型随随随随机机机机变变变变量量量量。即即 仍仍是是只只有有两两个个可取值可取值(0,1)(0,1)的伯努利型随机变量。的伯努利型随机变量。若若伯伯努努利利型型随随机机变变量量 1 的的正正结结果果发发生生概概率率为为 p1,2 的正结果发生概率为的正结果发生概率为 p2，则，则 正结果发生概率为：正结果发生概率为：(E)(E)由由遵遵守守泊泊松松分分布布的的随随机机变变量量 1 1与与伯伯努努利利型型随随机变量机变量 2串级而成的随机变量串级而成的随机变量 仍仍遵守泊松分布遵守泊松分布。设设 1的的平均值平均值为为m1,而而 2的正结果发生概率为的正结果发生概率为p2，则则 的的平均值平均值为：为：(D)由两个伯努利型随机变量1和2串级而成的随机变量 35对对N个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量 串串级而成的级而成的N级串级随机变量级串级随机变量，有：，有：对N个相互独立的随机变量 串级而成的N级串级随367.2 7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布核衰变数与探测器计数的涨落分布1 1、核衰变数的涨落、核衰变数的涨落 放射性衰变是一种随机过程，放射性放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规衰变规律律为为:在在0t 时间内，原来时间内，原来N0个放射性核中，发生个放射性核中，发生了了衰变衰变的核的的核的平均数平均数为为 当当N0很大很大时，对一个核而言，一个核在时，对一个核而言，一个核在0t 时间内时间内发生衰变的发生衰变的概率概率为：为：每一个每一个放射性核放射性核在在t 时间内发生时间内发生衰变衰变是什么是什么事件事件？是是伯努利事件伯努利事件 随机变量取随机变量取1的正事件发生的概率的正事件发生的概率取取0的概率为的概率为7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布1、核衰变数的涨落 37 则则总总的的衰变数衰变数N就是上述就是上述伯努利事件伯努利事件重复重复N0次，发生次，发生正结果正结果的的事件之和事件之和。对于一个具有对于一个具有N0个个放射性核放射性核的放射源，在的放射源，在t 时时间内发生间内发生核衰变数核衰变数为为N，是一个遵守，是一个遵守二项式分布二项式分布的的随机变量随机变量。概率函数概率函数数学期望值数学期望值方差方差 则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0次，发生38长寿命长寿命核素，其核素，其衰变概率衰变概率很小很小为为有限量有限量在在t 时间内时间内总衰变数总衰变数N遵守遵守泊松分布泊松分布期望值期望值方差方差 在核衰变过程中核衰变数的在核衰变过程中核衰变数的方差方差与其与其平均平均值值相等相等。长寿命核素，其衰变概率很小为有限量在t 时间内总衰变数N遵守392 2、放射性测量的统计误差、放射性测量的统计误差(1).(1).探测器探测器输出计数输出计数的的统计分布统计分布 脉脉冲冲探探测测器器的的特特点点：它它的的输输出出脉脉冲冲数数就就反反应应了了t时时间间内内射射入入探探测测器器的的粒粒子子数数，也也就就代代表表了了放放射射源源在在t时时间间内内发发射射出出的的总总粒子数粒子数。由由于于放放射射性性核核衰衰变变具具有有统统计计分分布布，测测量量过过程程中中射射线线与与物物质质相相互互作作用用过过程程也也具具有有随随机机性性，因因此此在在某某个个测测量量时时间间内内对对样样品品进进行行测量得到的测量得到的计数值计数值同样是一个同样是一个随机变量随机变量。2、放射性测量的统计误差(1).探测器输出计数的统计分布 40、n1为为t 时间内时间内放射源放射源发出的发出的粒子数粒子数，服从，服从泊松分布泊松分布 源源发射粒子数发射粒子数n1射入射入探测器探测器粒子数粒子数n2探测器探测器输输出脉冲数出脉冲数n3 脉脉冲冲计计数数器器的的测测量量过过程程可可以以概概括括为为三三个个基基本本过程过程，其，其计数值计数值为一个为一个三级三级串级型随机变量串级型随机变量。、n1为t 时间内放射源发出的粒子数，服从泊松分布 源发41、n3为探测器为探测器输出脉冲数输出脉冲数。遵守。遵守泊松分布泊松分布。平均值平均值方差方差n3实际上是一个实际上是一个三级三级的的串级型串级型随机变量随机变量。、n2为进入为进入探测器探测器表面，即进入表面，即进入立体角立体角的粒的粒子数。子数。n2仍为遵守仍为遵守泊松分布泊松分布的的随机变量：随机变量：、n3为探测器输出脉冲数。遵守泊松分布。平均值方差n3实际42 放放射射源源在在t 时时间间内内发发射射的的粒粒子子数数n1 遵遵守守泊泊松松分分布布，探探测测器器相相应应的的输输出出脉脉冲冲数数n3也也遵遵守守泊泊松松分分布布，探探测测器器输输出出脉脉冲冲数数的的平平均均值值为为源源发发射射的的平平均均粒粒子子数数与与几几何何因因子子及及探测器效率探测器效率之积。之积。如果如果放射源放射源发射粒子发射粒子不是不是各向各向均匀均匀的，上的，上述结论是否成立？述结论是否成立？仍然成立，只要粒子落在仍然成立，只要粒子落在内的内的概率概率是是不变不变的的某一常数某一常数几何因子几何因子不再是不再是 ，而是，而是 放射源在t 时间内发射的粒子数n1 遵守泊松43(2).(2).探测计数的统计误差探测计数的统计误差 粒子计数粒子计数探测器探测器输出脉冲数输出脉冲数服从服从统计分布统计分布规律，当规律，当计数计数的的数学期望值数学期望值 m较较小小时，服从时，服从泊松分布泊松分布。m较较大大时，服从时，服从高斯分布高斯分布。而且，而且，m较大时，较大时，m与与有限次测量有限次测量的的平均值平均值 和和任一次任一次测测量值量值 N 相差不大。相差不大。表明：对表明：对放射性计数放射性计数的的标准偏差标准偏差只需用只需用一次计一次计数数N 或或有限次计数的平均值有限次计数的平均值 开方即可得到。开方即可得到。【注意】这种表示的标准偏差仅适用于误差【注意】这种表示的标准偏差仅适用于误差仅仅仅仅由由统计涨落统计涨落引起的情况。引起的情况。(2).探测计数的统计误差 粒子计数探测器44 样本方差样本方差是是总体方差总体方差的的无偏估计无偏估计，可以由样本，可以由样本方差来估计有限次测量的方差方差来估计有限次测量的方差称为称为标准偏差标准偏差 ：不仅包括不仅包括统计误差统计误差，还还反映了反映了其他偶然误差其他偶然误差的贡献。的贡献。可用于数据的检验可用于数据的检验.标准偏差标准偏差 随随计数计数N增大而增大，因此用增大而增大，因此用相对标准偏相对标准偏相对标准偏相对标准偏差差差差来表示来表示测量值测量值的的离散程度离散程度：计数测量结果的表示计数测量结果的表示：表示一个表示一个置信区间置信区间，该区间包含，该区间包含真平均值真平均值的概率为的概率为68.368.3（置信度）。（置信度）。样本方差是总体方差的无偏估计，可以由样本方差来估计有限次457.3 7.3 电离过程的涨落与法诺电离过程的涨落与法诺(Fano)分布分布 产生产生电子电子正离子对正离子对或或电子电子空穴对空穴对的碰撞都是的碰撞都是随机随机的，因而的，因而一定能量一定能量的的带电带电粒子粒子形成的形成的离子对数离子对数是是涨落涨落的，同样是一的，同样是一个个随机变量随机变量，服从一定的，服从一定的概率分布概率分布。以以气体介质气体介质为例，实验发现：为例，实验发现：入射带电粒入射带电粒子子每产生每产生一一离子对离子对需需消耗能量消耗能量为基本上是为基本上是一个常数一个常数能量能量为为E0 的的入带电粒子入带电粒子把把全部能量全部能量损耗在损耗在气体气体中后，共产生的中后，共产生的离子对数离子对数的的平均值平均值：7.3 电离过程的涨落与法诺(Fano)分布 46 假设假设能量能量为为E0 的的入射带电粒子入射带电粒子在在气体气体中中总共经历了总共经历了N（是一个（是一个非常大非常大的的常数常数）次与）次与气体原子的气体原子的碰撞碰撞。是一个是一个伯努利型伯努利型随机试验随机试验 每一次碰撞只可能有两种结果每一次碰撞只可能有两种结果产生产生或或不产不产生生离子对离子对。已知已知N次次碰撞碰撞后产生后产生 个个离子对离子对，因而每，因而每次碰撞中次碰撞中平均产生平均产生的的离子对数离子对数是是伯努利伯努利正事件正事件概率概率为为 假设能量为E0 的入射带电粒子在气体中总共经历了47N次次碰撞碰撞产生产生n个个离子对离子对的的概率概率服从服从二项式分布二项式分布 且且为一个为一个有限有限的的常数常数趋于趋于泊松分布泊松分布离子对数离子对数涨落涨落的的标准偏差标准偏差及及相对标准偏差相对标准偏差N次碰撞产生n个离子对的概率服从二项式分布 且为一个有限的常48由于各次碰撞由于各次碰撞电离过程电离过程是非独立是非独立的，产生的，产生的的离子对数离子对数不能简单不能简单用用泊松分布泊松分布来描述，来描述，而要对泊松分布进行修正，引入而要对泊松分布进行修正，引入 法诺因子法诺因子FF一般取一般取 (气体气体)或或 0.10.15(半导体半导体)不同材料不同材料法诺因子不同法诺因子不同，F由实验测定。由实验测定。把这种分布称为把这种分布称为法诺分布法诺分布。由于各次碰撞电离过程是非独立的，产生的离子对数不能简单用泊松497.4 7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落1 1、脉冲型工作方式、脉冲型工作方式 通过通过脉冲探测器脉冲探测器对逐个对逐个辐射粒子辐射粒子进行探测进行探测测得测得的的信信号号与与单个单个入射粒子入射粒子相对应，相对应，脉冲计数脉冲计数的的个数个数与与入射入射的的粒粒子数子数对应，单个对应，单个输出信号输出信号的的幅度幅度反映反映入射粒子入射粒子的的能量。能量。(2).稳定粒子束流稳定粒子束流在在探测器探测器内产生的内产生的平均电离效应平均电离效应。又又称称电流型电流型工作方式工作方式。输出一个。输出一个直流电流直流电流(电压电压)信号，该信信号，该信号的大小一般号的大小一般正比于正比于粒子束流粒子束流的的大小大小。(1).粒子束脉冲粒子束脉冲在在探测器内探测器内产生的产生的总电离效果总电离效果，形成一，形成一个个大大脉冲脉冲，脉冲幅度脉冲幅度与与粒子束内粒子束内粒子数粒子数和和能量能量有关。有关。2 2、累计型工作方式累计型工作方式反映反映一定数量一定数量粒子的粒子的累计特性累计特性。7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落1、脉冲型工作方式 50仅讨论仅讨论粒子束脉冲粒子束脉冲的的总电离电荷量总电离电荷量的的涨落涨落例如例如在在电子直线加速器电子直线加速器加速电子打在靶上加速电子打在靶上产生产生韧致辐射韧致辐射，在，在持续时间持续时间仅为仅为 内包含了内包含了大量粒子大量粒子，这时，这时输出信号输出信号反映了反映了这些粒子在这些粒子在探测器内探测器内产生的产生的总电离总电离效果。效果。n1代表一个代表一个入射粒子束脉冲入射粒子束脉冲中包含的中包含的粒子数粒子数，是一个服从是一个服从泊松分布泊松分布的的随机变量随机变量。每个每个入射带电粒子入射带电粒子(或入射或入射/X 辐射通过辐射通过次级效次级效应应产生的产生的次电子次电子)在在探测器内探测器内产生产生n2个个离子对离子对，也是一个也是一个随机变量随机变量，且服从，且服从法诺分布法诺分布。仅讨论粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落例如在电子直线加速器加速51粒子束脉冲粒子束脉冲的探测的探测n1n2输出信号输出信号N粒子束脉冲的探测n1n2输出信号N52输出信号输出信号 N是是n1和和n2 的的串级型随机变量串级型随机变量其其总离子对数总离子对数平均值平均值相对标准偏差相对标准偏差由于由于n1服从服从泊松分布泊松分布，n2服从服从法诺分布法诺分布输出信号 N是n1和n2 的串级型随机变量其总离子对数平均值537.5 7.5 辐射粒子与信号的时间分布辐射粒子与信号的时间分布1、相邻两个信号脉冲的时间间隔、相邻两个信号脉冲的时间间隔 核辐射事件及探测器计数服从核辐射事件及探测器计数服从泊松分泊松分布布，设单位时间内的平均脉冲数，设单位时间内的平均脉冲数m为一常为一常数，相邻两个脉冲时间间隔数，相邻两个脉冲时间间隔T是一连续型是一连续型随机变量，随机变量，它服从什么样的分布呢它服从什么样的分布呢？容易得到是脉冲间的平均时间间隔：容易得到是脉冲间的平均时间间隔：t时间内出现脉冲数为时间内出现脉冲数为n的概率为：的概率为：7.5 辐射粒子与信号的时间分布1、相邻两个信号脉冲的时间间54两个相邻脉冲时间间隔为两个相邻脉冲时间间隔为 t 的条件为的条件为：(1)在第一个脉冲发生后的在第一个脉冲发生后的t 时间内没有脉冲发生；时间内没有脉冲发生；(2)在在t后的后的dt时间内有一个脉冲发生。时间内有一个脉冲发生。即：即：所以，随机变量所以，随机变量T的的概率密度函数概率密度函数为：为：即：即：两个相邻脉冲时间间隔为 t 的条件为：(1)在第一个脉冲发55相邻两个脉冲时间间隔相邻两个脉冲时间间隔T服从服从指数分布指数分布。表明：在短时间内出现第二个脉冲的概率较大。表明：在短时间内出现第二个脉冲的概率较大。其均值为：其均值为：其方差为：其方差为：相邻两个脉冲时间间隔T服从指数分布。表明：在短时间内出现第二562、相邻进位脉冲的时间间隔、相邻进位脉冲的时间间隔 设设进位率进位率为为S，则相邻进位脉冲的时间间，则相邻进位脉冲的时间间隔隔T的的概率密度函数概率密度函数为：为：其均值为：其均值为：其方差为：其方差为：最可几时间间隔：最可几时间间隔：令：令：2、相邻进位脉冲的时间间隔 设进位率为S，则相邻进位脉冲57七辐射探测中的概率统计问题课件587.7 计数统计误差的传递计数统计误差的传递 在一般的核测量中，常涉及在一般的核测量中，常涉及函数的统计误差函数的统计误差的的计算，也就是计算，也就是误差传递误差传递(Error Propagation)。若若 是是相互独立相互独立的随机变量，其标的随机变量，其标准偏差相应为准偏差相应为 ，由这些随机变，由这些随机变量量导出的任何量导出的任何量 的的标准偏标准偏差差可以用下面公式求出：可以用下面公式求出：7.7 计数统计误差的传递 在一般的核测量中，常涉及59分析一些常见情况：分析一些常见情况：(1)分析一些常见情况：(1)60例如：存在本底时净计数误差的计算：例如：存在本底时净计数误差的计算：辐射测量中，辐射测量中，本底总是存在的本底总是存在的。本底包括宇宙射线、。本底包括宇宙射线、环境中的天然放射性及仪器噪声等。这时，为求得环境中的天然放射性及仪器噪声等。这时，为求得净计数需要进行两次测量：净计数需要进行两次测量：第一次第一次，没有样品，在时间，没有样品，在时间t内测得本底的内测得本底的计数为计数为Nb；第二次第二次，放上样品，在，放上样品，在相同相同时间内测得样时间内测得样品和本底的总计数为品和本底的总计数为Ns。样品的净计数为：样品的净计数为：其标准偏差为：其标准偏差为：例如：存在本底时净计数误差的计算：辐射测量中，本底总是存在的61(2)或或例如：计数率的误差：例如：计数率的误差：设在设在 t 时间内记录了时间内记录了N个计数，则计数率为个计数，则计数率为n=N/t，计数率的标准偏差计数率的标准偏差为：为：其其相对标准偏差相对标准偏差为：为：(2)或例如：计数率的误差：设在 t 时间内记录了N个计数，62(3)或或(3)或63(4)平均计数的统计误差平均计数的统计误差对某样品重复测量对某样品重复测量k次，每次测量时间次，每次测量时间t相同相同(等精度测量等精度测量)，得到，得到k个计数个计数 则在时间则在时间t内的内的平均计数值平均计数值为：为：由误差传递公式，平均计数值的由误差传递公式，平均计数值的方差方差为：为：(4)平均计数的统计误差对某样品重复测量k次，每次测量时间64多次重复测量多次重复测量结果表达结果表达：平均计数的相对标准偏差平均计数的相对标准偏差：多次重复测量结果表达：平均计数的相对标准偏差：65(5)存在本底时净计数率误差的计算：存在本底时净计数率误差的计算：第一次，在时间第一次，在时间tb内测得本底的计数为内测得本底的计数为Nb；第二次，在时间第二次，在时间ts内测得样品和本底的总计内测得样品和本底的总计数为数为Ns。样品的样品的净计数率净计数率为：为：标准偏差标准偏差为：为：相对标准偏差相对标准偏差为：为：(5)存在本底时净计数率误差的计算：第一次，在时间tb内测66(6)不等精度独立测量值的平均不等精度独立测量值的平均 如如果果对对同同一一量量进进行行了了k次次独独立立测测量量，各各次次测测量量的的时时间间为为ti，计计数数为为Ni。这这是是不不等等精精度度测测量量。这这时时，简简单单的的求求平平均均不不再再是是求求单单次次“最最佳佳值值”的的适适宜宜方方法法。需需要要进进行行加加权权平平均均，使使测测量量精精度度高高的的数数据据在在求求平平均均值值时时的的贡献大贡献大，精度低精度低的的贡献小贡献小。问题是：如何确定一个合适的权重因子？问题是：如何确定一个合适的权重因子？(6)不等精度独立测量值的平均 如果对同一量进行67先求各次测量的先求各次测量的计数率计数率及及方差方差：可以设各次测量的权为可以设各次测量的权为：设设 先求各次测量的计数率及方差：可以设各次测量的权为：设 68计数率的加权平均值为计数率的加权平均值为：标准偏差为：标准偏差为：相对标准偏差为：相对标准偏差为：计数率的加权平均值为：标准偏差为：相对标准偏差为：69结果表示为：结果表示为：如果如果k次测量的次测量的时间均相等时间均相等，则测量为等，则测量为等精度测量：精度测量：从统计误差而言，无论是一次测量还是从统计误差而言，无论是一次测量还是多次测量，只要多次测量，只要总的计数总的计数相同，多次测量相同，多次测量的平均计数率的平均计数率相对误差相对误差和一次测量的计数和一次测量的计数率的率的相对误差相对误差是是一致一致的。的。结果表示为：如果k次测量的时间均相等，则测量为等精度测量：70(7)测量时间的选择测量时间的选择(B)有本底存在时，需要合理分配样品测有本底存在时，需要合理分配样品测量时间量时间ts和本底测量时间和本底测量时间tb。(A)不考虑本底的影响；不考虑本底的影响；根据：根据：(7)测量时间的选择(B)有本底存在时，需要合理分配样品71 为在为在规定的规定的总测量时间总测量时间Tts+tb内使测内使测量结果的量结果的误差最小误差最小。由极值条件：。由极值条件：得到：得到：该条件下的该条件下的相对方差相对方差为：为：据此，在据此，在相对标准偏差相对标准偏差给定给定的情况下，所需的情况下，所需最最小测量时间小测量时间为：为：为在规定的总测量时间Tts+tb内使测量结果的72