一波函数沿x方向传播的平面波波动方程为187波函数薛定谔方程课件

一一.波函数波函数沿沿x方向传播的平面波波动方程为方向传播的平面波波动方程为18-7 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程F上式为下面复数形式的实数部分上式为下面复数形式的实数部分F为区别一般的波，奥地利物理学家薛为区别一般的波，奥地利物理学家薛定谔提出用定谔提出用物质波波函数物质波波函数描述微观粒描述微观粒子的运动状态子的运动状态 一.波函数18-7 波函数 薛定谔方程上式为下面复数形式1 F对能量为对能量为E、动量为动量为p的自由粒子，其的自由粒子，其平面物质波波函数为平面物质波波函数为F自由粒子在三维空间运动时有自由粒子在三维空间运动时有 对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒2 二二.波函数的物理意义波函数的物理意义 *-的共轭复数的共轭复数F与光波类比，波函数的强度为与光波类比，波函数的强度为F由玻恩的概率波概念，粒子出现在体由玻恩的概率波概念，粒子出现在体积元积元dV内的概率为内的概率为 -概率密度概率密度 二.波函数的物理意义*-的共轭复数与光波类比3 F在整个空间总能找到粒子，应有在整个空间总能找到粒子，应有-波函数的归一化条波函数的归一化条件件三三.波函数的标准条件波函数的标准条件单值单值:某时刻粒子出现在某点的概率唯某时刻粒子出现在某点的概率唯一一有限有限:粒子出现的概率应有限粒子出现的概率应有限连续连续:不应出现突变不应出现突变(可导可导)在整个空间总能找到粒子，应有-波函数的归一化条件三.4 说明：说明：经典波描写实在物理量在空间中的传经典波描写实在物理量在空间中的传播过程播过程概率波不代表实在物理量的传播过程，概率波不代表实在物理量的传播过程，波函数本身没有直接的物理意义波函数本身没有直接的物理意义 说明：经典波描写实在物理量在空间中的传播过程概率波不代表实5 四四.薛定谔方程薛定谔方程1.一般薛定谔方程一般薛定谔方程F自由粒子：自由粒子：设自由粒子沿设自由粒子沿x方向运动方向运动波函数波函数 四.薛定谔方程1.一般薛定谔方程自由粒子：设自由粒子沿x方6-一维运动自由粒子一维运动自由粒子的含时薛定谔方程的含时薛定谔方程-一维运动自由粒子的含时薛定谔方程7 F在势场在势场U(x,t)中：中：粒子的总能量为粒子的总能量为即即又又 在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又8-势场中势场中一维运动粒一维运动粒子的含时薛定谔方程子的含时薛定谔方程F推广到三维空间推广到三维空间-拉普拉斯算符拉普拉斯算符-势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间-9-一般的薛定谔方一般的薛定谔方程程F引入能量算符引入能量算符-哈密顿算哈密顿算符符则有则有-一般的薛定谔方程引入能量算符-哈密顿算符则有10 说明：说明：薛薛定定谔谔方方程程是是量量子子力力学学中中，态态随随时时间间变变化化的的方方程程，其其正正确确性性是是由由方方程程的的解解与实验结果相符而得到证实与实验结果相符而得到证实F1933年薛定谔获得诺贝尔物年薛定谔获得诺贝尔物理学奖理学奖只要找到体系的只要找到体系的经典能量经典能量公公式，则可写出薛定谔方程并式，则可写出薛定谔方程并求解，可得概率密度求解，可得概率密度2 2 说明：1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典11 2.定态方程定态方程定态：定态：势能函数与时间无关，即势能函数与时间无关，即令令 2.定态方程令12两边同除以两边同除以得得两边等于同一常数时上式才能成立两边等于同一常数时上式才能成立两边同除以得两边等于同一常数时上式才能成立13(1)(2)(1)(2)14(1)的解为的解为E具有能量量纲具有能量量纲(2)为为-定态薛定谔方定态薛定谔方程程F粒子波函数为粒子波函数为即即(1)的解为E具有能量量纲(2)为-定态薛定谔方程粒子15讨论：讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定值定态时，解得的某些能量确定值E称为称为本征值本征值，相应的波函数称为，相应的波函数称为本征函数本征函数讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定16 五五.求解波函数的方法及解决的几个问题求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：求波函数的步骤：由由体系的势能体系的势能写出薛定谔方程写出薛定谔方程解方程得一般解解方程得一般解根据标准条件和归一化条件确定有关根据标准条件和归一化条件确定有关常数项常数项 五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：17 2.求粒子出现概率极大、极小的位置求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数求概率密度函数 判断判断令令 ，解出，解出 x=xm 2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数 判断令 18 3.求粒子在某区域内出现的概率求粒子在某区域内出现的概率计算计算求概率密度函数求概率密度函数 3.求粒子在某区域内出现的概率计算求概率密度函数 19例例7一质量为一质量为m的粒子在自由空间绕的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径为一定点作圆周运动，圆半径为r。求粒求粒子的波函数并确定其可能的能量值和子的波函数并确定其可能的能量值和角动量值。角动量值。解：解：定态薛定谔方程定态薛定谔方程例7一质量为m的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径20粒子在粒子在xy平面内作圆周运动平面内作圆周运动r、(=/2)均为常数均为常数又又粒子在xy平面内作圆周运动r、(=/2)均为常数又21或或解为解为其中其中或解为其中22 是是 的单值、有限、连续函数的单值、有限、连续函数或或即即由归一化条件由归一化条件 是 的单值、有限、连续函数或即由归一化条件23于是于是定态波函数为定态波函数为粒子的波函数为粒子的波函数为于是定态波函数为粒子的波函数为24能量量子化能量量子化由能量动量关系由能量动量关系角动量量子化角动量量子化能量量子化由能量动量关系角动量量子化25F设粒子作一维运动，势能函数为设粒子作一维运动，势能函数为18-8 一维无限深势阱一维无限深势阱阱外阱外须有须有设粒子作一维运动，势能函数为18-8 一维无限深势阱阱外须26阱内阱内令令其通解为其通解为C和和 为待定常数为待定常数阱内令其通解为C和 为待定常数27根据波函数的连续、单值的条件有根据波函数的连续、单值的条件有根据波函数的连续、单值的条件有28由归一化条件由归一化条件可得可得由归一化条件可得29波函数为波函数为波函数为30-能量量子能量量子化化n：粒子能量量子数粒子能量量子数-能量量子化n：粒子能量量子数31讨论：讨论：n 0：因为因为n=0 则则 n 0，无意义无意义n=1：-基态能基态能 ，能量间隙不均匀，并随，能量间隙不均匀，并随n的增大而增大的增大而增大讨论：n=1：-基态能 ，能量间隙不均匀，32 除端点除端点(x=0,x=a)外，阱内外，阱内 n=0称为节称为节点。点。基态无节点，第一激发态有一个基态无节点，第一激发态有一个节点，第节点，第 n 激发态有激发态有(n-1)个节点个节点 除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0称为节点。基态无节33例例8设质量为设质量为m的微观粒子处在宽度为的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：的一维无限深势阱中，试求：粒子在粒子在0 x a/4区间中出现的几率，并对区间中出现的几率，并对n=1和和n=的情况算出概率值。的情况算出概率值。在哪些量在哪些量子态上，子态上，a/4处的概率密度最大？处的概率密度最大？解：解：已知已知例8设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，34粒子出现在粒子出现在0 x a/4区间中的几率为区间中的几率为时时时时粒子出现在0 xa/4区间中的几率为时时35处处最大时有最大时有处最大时有36 一一.一维势垒一维势垒 隧道效应隧道效应粒粒子子在在x方方向向运运动动，势势能分布为能分布为18-9 一维势垒一维势垒 谐振子谐振子F经典物理的观点：经典物理的观点：时：粒子可越过势垒到达时：粒子可越过势垒到达3区区时：粒子被势垒反弹回去时：粒子被势垒反弹回去 一.一维势垒 隧道效应18-9 一维势垒 谐振子经典物理37F量子力学：薛定谔方程为量子力学：薛定谔方程为2区区1区区3区区量子力学：薛定谔方程为2区1区3区38 令令则则 令则39正向正向传播传播 可得：可得：时：时：k2为虚数为虚数 可得：可得：时：时：k2为实数为实数负向负向传播传播因因3区无反射波，故区无反射波，故C=0正向传播 可得：时：k2为虚数 可得：时：k2为实数负向40由标准条件可求得其它由标准条件可求得其它5个系数个系数2区：透射波区：透射波+反射波反射波3区：透射波区：透射波1区：入射波区：入射波+反射波反射波即即由标准条件可求得其它5个系数2区：透射波+反射波3区：透射波41 在粒子总能量低于势垒壁高时，在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿过势垒粒子有一定的概率穿过势垒-隧道效隧道效应应贯穿势垒的概率贯穿势垒的概率(贯穿系数贯穿系数)为为:F势垒加宽势垒加宽(a增大增大)或增高或增高(U0增大增大)，则，则T减小减小 在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有一定的概率穿过势垒-42蒲松龄蒲松龄:聊斋志异聊斋志异崂上道士穿墙而过崂上道士穿墙而过！蒲松龄:聊斋志异崂上道士穿墙而过！43 二二.谐振子谐振子一维谐振子的势能为一维谐振子的势能为其中其中F薛定谔方程为薛定谔方程为 二.谐振子其中薛定谔方程为44 可解得可解得最小能量最小能量(零点能零点能)为为(1/2)h 讨论：讨论：线性谐振子的能线性谐振子的能量是量子化的量是量子化的能级均匀分布，能级均匀分布，能隙为能隙为h 或或 可解得最小能量(零点能)为(1/2)h讨论：线性谐振子的45诺贝尔奖颁奖现场诺贝尔奖颁奖现场诺贝尔奖颁奖现场46癌细胞表面图像癌细胞表面图像硅表面图像硅表面图像扫描隧道显扫描隧道显微镜微镜(STM)癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)47 一一.氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程氢原子中，电子的势能函数为氢原子中，电子的势能函数为18-10 氢原子的量子力学处理方法氢原子的量子力学处理方法F薛定谔方程为薛定谔方程为：一.氢原子的薛定谔方程18-10 氢原子的量子力学处理方48 F转换到球极坐标系中转换到球极坐标系中F得极坐标形式为：得极坐标形式为：转换到球极坐标系中得极坐标形式为：49F设设可得：可得：(1)(2)(3)设可得：(1)(2)(3)50 二二.量子化条件和量子数量子化条件和量子数1.能量量子化和主量子数能量量子化和主量子数F与玻尔所得结果完全一致与玻尔所得结果完全一致-主量子数主量子数由由(3)可得氢原子能量为可得氢原子能量为 二.量子化条件和量子数与玻尔所得结果完全一致-主量子51 2.2.角动量量子化和角量子数角动量量子化和角量子数F对一定的对一定的 n值值,l 有有n个可能取值个可能取值由由(1)(2)可得电子绕核运动的角动量量可得电子绕核运动的角动量量子化条件子化条件-角量子数角量子数 2.角动量量子化和角量子数对一定的 n值,l 有n个可能52 3.角动量空间量子化和磁量子数角动量空间量子化和磁量子数F对一定的对一定的 l 值，值，ml 有有(2 l+1)个可能取个可能取值值由由(1)(2)可得可得 ml 应满足应满足-磁量子数磁量子数ml决定电子绕核运动角动量在空间的取决定电子绕核运动角动量在空间的取向向Lz，有有 3.角动量空间量子化和磁量子数对一定的 l 值，ml 有(53 一一.施特恩施特恩-格拉赫实验格拉赫实验18-11 电子的自旋电子的自旋F1921年施特恩和格拉赫年施特恩和格拉赫为验证电子角为验证电子角动量空间量子化而进行的动量空间量子化而进行的实验实验无磁场无磁场有磁场有磁场原子源原子源 一.施特恩-格拉赫实验18-11 电子的自旋1921年施54 F实验发现：实验发现：不加磁场时底板上呈现一不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁场时底条正对狭缝的原子沉积；加磁场时底板上呈现上下两条原子沉积板上呈现上下两条原子沉积F矛盾：矛盾：角量子数为角量子数为 l 时，角动量在空时，角动量在空间的取向有间的取向有(2l+1)种可能种可能 实验发现：不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁55 二二.电子的自旋电子的自旋F为解释上述实验结果，为解释上述实验结果，1925年乌伦贝年乌伦贝克克和古兹密特提出和古兹密特提出电子自旋电子自旋假说假说:电子除轨道运动外，还存在自旋运动。电子除轨道运动外，还存在自旋运动。电子自旋角动量电子自旋角动量S在空间任一方向上的在空间任一方向上的投影投影Sz只能取两个值只能取两个值 二.电子的自旋为解释上述实验结果，1925年乌伦贝克和古兹56-自旋磁量子数自旋磁量子数-与电子轨道角动量相似与电子轨道角动量相似由量子力学可得，由量子力学可得，自旋角动量为自旋角动量为-自旋量子数自旋量子数s只能只能取一个值取一个值即即-自旋磁量子数-与电子轨道角动量相似由量子力学可57 三三.四个量子数四个量子数原子中电子的状态由四个量子数原子中电子的状态由四个量子数决定决定主量子数主量子数n（n=1,2,）大体上大体上决定电决定电子的能量子的能量角量子数角量子数 l（l=0,1,2,n-1）决定电子决定电子的轨道角动量的大小的轨道角动量的大小磁量子数磁量子数 ml（ml=0,1,2,l）决决定电子轨道角动量在外磁场中的取向。定电子轨道角动量在外磁场中的取向。自旋磁量子数自旋磁量子数ms（ms=1/2）决定电决定电子自旋角动量在外磁场中的取向子自旋角动量在外磁场中的取向 三.四个量子数磁量子数 ml（ml=0,1,2,58 F对多电子原子，其内部电子的分布由对多电子原子，其内部电子的分布由下面两条原理决定：下面两条原理决定：18-12 原子的壳层结构原子的壳层结构泡利不相容原理：泡利不相容原理：在一个原子中不能在一个原子中不能有两个或两个以上的电子处在完全相有两个或两个以上的电子处在完全相同的量子态，即不能具有相同的四个同的量子态，即不能具有相同的四个量子数量子数能量最小原理：能量最小原理：原子系统处于正常状原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级态时，每个电子趋向占有最低的能级 对多电子原子，其内部电子的分布由下面两条原理决定：18-59 F根据泡利不相容原理，原子中具有相根据泡利不相容原理，原子中具有相同主量子数同主量子数n的电子数最多为的电子数最多为F1916年柯塞耳提出原子壳层结构：年柯塞耳提出原子壳层结构：n相同的电子组成一个壳层，对应相同的电子组成一个壳层，对应n=1,2,3,的壳层分别用的壳层分别用 K,L,M,N,O,P,来表示来表示 根据泡利不相容原理，原子中具有相同主量子数n的电子数最多为60 l相相 同同 的的 电电 子子 组组 成成 支支 壳壳 层层，对对 应应l=0,1,2,的的支支壳壳层层分分别别用用 s,p,d,f,g,h,来表示来表示例如：例如：FK壳层上可能有壳层上可能有2个电子个电子(s电子电子)，表示，表示为为1s2-L壳层、壳层、s分层上可能分层上可能有有2个电子，表示为个电子，表示为2s2 l相同的电子组成支壳层，对应l=0,1,2,的支壳层分别61-L壳层、壳层、p分层上可能分层上可能有有6个电子，表示为个电子，表示为2p6FL壳层最多可有壳层最多可有(2+6)=8个电子个电子即：即：3s2、3p6、3d10FM壳层最多可有壳层最多可有18个电子个电子-L壳层、p分层上可能有6个电子，表示为2p6L壳层最62