第九章二次型掌握二次型及其矩阵的定义课件

第九章 二次型9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型9.3 正定二次型正定二次型9.4 主轴问题主轴问题 研究对象研究对象：二次齐次多项式二次齐次多项式(1)也叫二次型也叫二次型 (2)在数学和物理的许多分支都有重要应用在数学和物理的许多分支都有重要应用 (3)展现矩阵的无穷魅力展现矩阵的无穷魅力 1谢谢观赏2019-8-17第九章二次型9.1二次型和对称矩阵研究对象：二次齐9.1 二次型和对称矩阵二次型和对称矩阵学习目标：学习目标：1.1.掌握二次型及其矩阵的定义，掌握二次型及其矩阵的定义，2.2.理解变量的线性变换理解变量的线性变换 3.3.掌握矩阵合同的概念掌握矩阵合同的概念 4.4.掌握二次型的标准形掌握二次型的标准形2谢谢观赏2019-8-179.1二次型和对称矩阵学习目标：2谢谢观赏2019-8-1一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 1 1、定义：、定义：设设F是一个数域，是一个数域，F上上n n元二次齐次多项式元二次齐次多项式叫做叫做F上的上的n n 元二次型，简称二次型元二次型，简称二次型注：（注：（1 1）二次型的特点）二次型的特点（iiii）每项都为二次项）每项都为二次项(2)(2)例：下列是否二次型例：下列是否二次型答答:不是不是答答:不是不是答答:是是3谢谢观赏2019-8-17一、二次型及其矩阵1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐1）分析：）分析：2 2、二次型的表示、二次型的表示约定约定aij=aji，4谢谢观赏2019-8-171）分析：2、二次型的表示约定aij=aji，4谢谢观赏20其中矩阵其中矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵.2）分析：）分析：计算计算5谢谢观赏2019-8-17其中矩阵A称为二次型的矩阵于是有于是有6谢谢观赏2019-8-17于是有6谢谢观赏2019-8-173）总结：）总结：7谢谢观赏2019-8-173）总结：7谢谢观赏2019-8-174）说明）说明:ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定）二次型与它的矩阵相互唯一确定正因为如此，讨论二次型时矩正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具阵是一个有力的工具.i）二次型的矩阵）二次型的矩阵A是对称矩阵是对称矩阵,即即（这表明二次型（这表明二次型完全由对称矩阵完全由对称矩阵A决定决定.)8谢谢观赏2019-8-174）说明:ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定正因为如此，讨论3、例题、例题:1）求下列二次型的矩阵）求下列二次型的矩阵2）求下列矩阵的二次型）求下列矩阵的二次型4、定义、定义:A的秩的秩1）例，求下列二次型的秩）例，求下列二次型的秩9谢谢观赏2019-8-173、例题:1）求下列二次型的矩阵2）求下列矩阵的二次型4、定 二、变量的线性变换二、变量的线性变换1 1、定义、定义：是两组变量是两组变量,关系式关系式称为称为变量的线性变换变量的线性变换10谢谢观赏2019-8-17二、变量的线性变换1、定义：是两组变量,关系2 2、分析、分析：变量的线性变换变量的线性变换11谢谢观赏2019-8-172、分析：变量的线性变换11谢谢观赏2019-8-173 3、定义：、定义：注：注：12谢谢观赏2019-8-173、定义：注：12谢谢观赏2019-8-17即，即，B为对称矩阵为对称矩阵.4 4、分析：、分析：也是二次型也是二次型.13谢谢观赏2019-8-17即，B为对称矩阵.4、分析：5 5、总结：、总结：（2 2）问：）问：经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩保持不变保持不变（3 3）例：）例：（1 1）问：）问：非奇异线性变换非奇异线性变换实施变量的实施变量的得到的二次型的矩阵为得到的二次型的矩阵为14谢谢观赏2019-8-175、总结：（2）问：经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩保持三、矩阵的合同三、矩阵的合同1、定义：、定义：设设A，B为为n 阶矩阵，阶矩阵，2、基本性质、基本性质 传递性：传递性：自反性：自反性：对称性：对称性：若存在若存在可逆可逆矩阵矩阵P P，可使，可使 则称则称B与与A合同合同。若若A与与B合同合同,如果如果B与与A合同，那么合同，那么A也与也与B合同合同如果如果 A 与与 B 合同，合同，B 与与 C合同，合同，那么那么A 与与 C合同。合同。3、性质、性质:任意矩阵任意矩阵A都与自身合同都与自身合同15谢谢观赏2019-8-17三、矩阵的合同1、定义：设A，B为n阶矩阵，2、基本性质4、比较：合同，相似、比较：合同，相似A与与B合同合同A与与B相似相似16谢谢观赏2019-8-174、比较：合同，相似A与B合同A与B相似16谢谢观赏2019F上两个二次型上两个二次型等价等价，是指：可以通过变量，是指：可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.5、定义：、定义：6、分析、分析：7、结论、结论：8、问：、问：17谢谢观赏2019-8-17F上两个二次型等价，是指：可以通过变量5、定义：6、分析1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成四、二次型的标准形四、二次型的标准形18谢谢观赏2019-8-171、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角证明：证明：对二次型变量个数对二次型变量个数n作归纳法作归纳法.假定对假定对n1元二次型结论成立元二次型结论成立.下面考虑下面考虑n元元过非退化线性替换化成平方和的形式过非退化线性替换化成平方和的形式.3 3、定理：数域、定理：数域F F上任一二次型都可经上任一二次型都可经n=1时，时，结论成立结论成立.二次型二次型分三种情形来讨论：分三种情形来讨论：1)1)aii(i=1,2,n)中至少有一个不为零，中至少有一个不为零，不妨设不妨设a11 0,这时这时19谢谢观赏2019-8-17证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n1元二次型结论成20谢谢观赏2019-8-1720谢谢观赏2019-8-17 这里，这里，是一个是一个.的的n1元二次型元二次型.配方配方法法21谢谢观赏2019-8-17这里，是一个它是非退化的，它是非退化的，且使且使22谢谢观赏2019-8-17它是非退化的，且使22谢谢观赏2019-8-17使它变成平方和使它变成平方和于是，非退化线性替换于是，非退化线性替换由归纳假设，对由归纳假设，对有非退化线性替换有非退化线性替换23谢谢观赏2019-8-17使它变成平方和于是，非退化线性替换由归纳假设，对就使就使变成变成2）但至少有一个但至少有一个 不妨设不妨设 作非退化线性替换：作非退化线性替换：24谢谢观赏2019-8-17就使不为零不为零.由情形由情形1）知，结论成立）知，结论成立.则则 这是一个这是一个的二次型，且的二次型，且的系数的系数 25谢谢观赏2019-8-17不为零.由情形1）知，结论成立.则这是一个这是一个这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立元二次型，由归纳假设，结论成立.总之，数域总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式替换化成平方和的形式.即即3）由对称性，由对称性，26谢谢观赏2019-8-17这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立.总之，数域P4 4、二次型的标准形的定义、二次型的标准形的定义:所变成的平方和形式所变成的平方和形式注注：1）由上定理知任一二次型的标准形是存在的）由上定理知任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形）可应用配方法得到二次型的标准形.二次型二次型 经过非退化线性替换经过非退化线性替换 的一个的一个标准形标准形.称为称为 27谢谢观赏2019-8-174、二次型的标准形的定义:所变成的平方和形式注：1）由上定理则则 解：作非退化线性替换解：作非退化线性替换 5 5、例：、例：求求的标准形的标准形.28谢谢观赏2019-8-17则解：作非退化线性替换5、例：求的标准形.28谢谢观赏2或或最后令最后令 则则 或或 再令再令 29谢谢观赏2019-8-17或最后令则或再令29谢谢观赏2019-8-17所作的非退化线性替换是所作的非退化线性替换是 即即 则则 30谢谢观赏2019-8-17所作的非退化线性替换是即则30谢谢观赏2019-8-16 6、定理：、定理：数域数域F F上任一对称矩阵合同于上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵一个对角矩阵.31谢谢观赏2019-8-176、定理：数域F上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.31谢谢观五、合同变换法五、合同变换法（1）互换矩阵的互换矩阵的 两行，再互两行，再互 换矩阵的换矩阵的 两列两列;1、定义定义：合同变换合同变换是指下列三种变换是指下列三种变换（2）以数以数k（)乘矩阵的第乘矩阵的第i行；再以数行；再以数k乘乘（3）将矩阵的第将矩阵的第i行的行的k倍加倍加 到第到第 行，再将第行，再将第 列列的的k倍加到第倍加到第 列（列（).矩阵的第矩阵的第i列列.32谢谢观赏2019-8-17五、合同变换法（1）互换矩阵的两行，再互换矩阵的两列;2 2、合同变换法化二次型为标准形、合同变换法化二次型为标准形又，又，设对称矩阵设对称矩阵A与对角矩阵与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵合同，则存在可逆矩阵（1）基本原理）基本原理：C,使使.若若 为初等阵，则为初等阵，则33谢谢观赏2019-8-172、合同变换法化二次型为标准形又，设对称矩对对E施行同样的施行同样的初等列变换初等列变换便可求得可逆矩阵便可求得可逆矩阵C满足满足就相当于对就相当于对A作作s次合同变换化为次合同变换化为D.所以，在所以，在合同变换合同变换化矩阵化矩阵A为对角阵为对角阵D的同时，的同时，又注意到又注意到所以，所以，34谢谢观赏2019-8-17对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足就相当于对A作（2）基本步骤）基本步骤：对对A作合同变换化为对角矩阵作合同变换化为对角矩阵D 对对E仅作上述合同变换中的仅作上述合同变换中的初等列变换得初等列变换得C作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY，则，则即即 写出二次型写出二次型的矩阵的矩阵A为标准形为标准形.D为对角阵为对角阵,且且35谢谢观赏2019-8-17（2）基本步骤：对A作合同变换化为对角矩阵D对E仅作上3、例：用合同变换求下面二次型的标准形r r1 1+r+r2 2 c c1 1+c+c2 2解：解：的矩阵为的矩阵为36谢谢观赏2019-8-173、例：用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2c1+r3+r1r2r1c3+c1c2c12r22c2c3+2c2r3+2r237谢谢观赏2019-8-17r3+r1r2r1c3+c1c2c12r22c2作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形则二次型化为标准形令令则则38谢谢观赏2019-8-17作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形令则38谢对对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对（因为合同变换保持矩阵的对 称性称性可利用这一点检查计算是否正确可利用这一点检查计算是否正确.）对对A作合同变换时，无论先作行变换还是作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的先作列变换，结果是一致的.可连续作可连续作n次初等行（列）变换后，再依次次初等行（列）变换后，再依次作作n次相应的初等列（行）变换次相应的初等列（行）变换.4、说明、说明：39谢谢观赏2019-8-17对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍对A作合同变作非退化线性替换作非退化线性替换f 的标准形为的标准形为5、练习：、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换非退化线替性换.答案：答案：40谢谢观赏2019-8-17作非退化线性替换f的标准形为5、练习：求下面二次型的标准形的矩阵为的矩阵为详解：详解：41谢谢观赏2019-8-17的矩阵为详解：41谢谢观赏2019-8-1742谢谢观赏2019-8-1742谢谢观赏2019-8-1743谢谢观赏2019-8-1743谢谢观赏2019-8-17令令则则作非退化线性替换作非退化线性替换X=CY，则，则f 的标准形为的标准形为44谢谢观赏2019-8-17令则作非退化线性替换X=CY，则f的标准形为44谢谢观小结1、二次型的标准形基本概念基本概念基本结论基本结论定理定理2 2、数域、数域P上对称矩阵合同于一上对称矩阵合同于一个对角矩阵个对角矩阵.定理1、任一数域P上的二次型f(x1,x2,xn)可经过非退化线性变换经过非退化线性变换XCY化为标准形化为标准形2、合同变换、合同变换45谢谢观赏2019-8-17小结1、二次型的标准形基本概念基本结论定理2、数域P上对称矩9.2 9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型 学习目标：学习目标：1掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、2.掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。3掌握实二次型的惯性定律掌握实二次型的惯性定律.46谢谢观赏2019-8-179.2复数域和实数域上的二次型学习目标：46谢谢观赏20复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型和实二次型.一、一、复二次型复二次型1、定理：、定理：复数域上两个复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩且必要条件是它们有相同的秩.证证：条件的必要性是明显的：条件的必要性是明显的.我们只要证条件我们只要证条件的充分性的充分性.设设A，B是复数域上两个是复数域上两个n阶对称矩阵，阶对称矩阵，且且A与与B有相同的秩有相同的秩r，由定理，由定理9.1.2，分别存在复，分别存在复可逆矩阵可逆矩阵P和和Q，使得，使得即：两个复二次型等价的充分且必要条件即：两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩是它们有相同的秩.47谢谢观赏2019-8-17复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.一48谢谢观赏2019-8-1748谢谢观赏2019-8-17取取 n n 阶复矩阵阶复矩阵的一个平方根的一个平方根.49谢谢观赏2019-8-17取n阶复矩阵的一个平方根.49谢谢观赏2019-8-1那么那么 ，而，而 因此，矩阵因此，矩阵A，B 都与矩阵都与矩阵 合同，所以合同，所以A与与B合同合同.50谢谢观赏2019-8-17那么，而因二、实二次型二、实二次型1、定理：、定理：实数域上每一实数域上每一n 阶对称矩阵阶对称矩阵A 都合同于都合同于如下形式的一个矩阵：如下形式的一个矩阵：（1）这里这里 r 等于等于A的秩的秩.证证：由定理由定理9.1.2，存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得 51谢谢观赏2019-8-17二、实二次型1、定理：实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如果如果r 0，必要时交换两列和两行，我们总，必要时交换两列和两行，我们总可以假定可以假定 52谢谢观赏2019-8-17如果r0，必要时交换两列和两行，我们总可以假定取取 那么那么53谢谢观赏2019-8-17取那么53谢谢观赏2019-8-172、定理：、定理：实数域上实数域上n 元二次型都与如下形式的二元二次型都与如下形式的二次型等价：次型等价：（1）这里这里 r 是所给的二次型的秩是所给的二次型的秩.注注:二次型（二次型（1）叫做）叫做实二次型的典范形式实二次型的典范形式，该该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价式等价.在典范形式里，平方项的个数在典范形式里，平方项的个数 r 等于二次等于二次型的秩，因而是唯一确定的型的秩，因而是唯一确定的.54谢谢观赏2019-8-172、定理：实数域上n元二次型都与如下形式的二次型等价：（3 3、定理、定理 （惯性定律）：（惯性定律）：设实数域上设实数域上n n元二次型元二次型 等价于两个典范形式等价于两个典范形式（2）（3）那么那么证：证：设（设（2）和（）和（3）分别通过变量的非奇异线性）分别通过变量的非奇异线性变换变换（4）（5）55谢谢观赏2019-8-173、定理（惯性定律）：设实数域上n元二次型等价于两个典范化为所给的二次型化为所给的二次型 如果如果 不不妨设妨设 考虑考虑 个方程的齐次线性个方程的齐次线性方程组方程组（6 6）因为因为 所以所以 因此，方程组因此，方程组（6）在）在R内有非零解内有非零解.令令 是（是（6）的）的一个非零解一个非零解.把这一组值代入把这一组值代入 的表示式的表示式56谢谢观赏2019-8-17化为所给的二次型（4）和（）和（5）.记记 我们有我们有57谢谢观赏2019-8-17（4）和（5）.记我们有57谢谢观赏2019-8-17然而然而所以所以 因为因为 都是非负数，所以必须都是非负数，所以必须又又 所以所以 是是齐次线性方程组齐次线性方程组 的一个非零解的一个非零解.这与矩阵这与矩阵 的非奇异性矛盾的非奇异性矛盾.58谢谢观赏2019-8-17然而所以因为这就证明了这就证明了 .同理可证得同理可证得 .所以所以 4、总结：实二次型都与唯一的典范形式（、总结：实二次型都与唯一的典范形式（1）等价等价.在（在（1）中，正平方项的个数）中，正平方项的个数 p 叫做所给二次叫做所给二次型的惯性指标型的惯性指标.正项的个数正项的个数p与负项的个数与负项的个数 r p 的的差差s=p (r p)=2p r 叫做叫做所给的二次型的符号所给的二次型的符号差差.注意：注意：一个实二次型的秩，惯性指标和符一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的号都是唯一确定的.59谢谢观赏2019-8-17这就证明了.同理可证得5、定理：、定理：实数域上两个实数域上两个 n 元二次型等价的充分且元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差必要条件是它们有相同的秩和符号差.证证 设设 是实数是实数域上两个域上两个n元二次型元二次型.令令 分别是它们的矩分别是它们的矩阵阵.那么由定理那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得如果如果 等价，那么等价，那么 合同合同.于是存在实于是存在实可逆矩阵可逆矩阵Q 使得使得 .取取 ，那么，那么60谢谢观赏2019-8-175、定理：实数域上两个n元二次型等价的充分且必要条件是它因此因此 都与同一个典范形式等价，所以它们有都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差相同的秩和符号差.反过来，如果反过来，如果 有相同的秩有相同的秩 r 和符号差和符号差s,那么它们也有相同的惯性指标那么它们也有相同的惯性指标 .因此因此 都与矩阵都与矩阵61谢谢观赏2019-8-17因此都与同一个典范形式等价，所以它们合同合同.由此推出由此推出 合同，从而合同，从而 等价等价.6、推论、推论：实数域实数域 R 上一切上一切n元二次型可以分成元二次型可以分成 类，属于同一类的二次型彼此等价，类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价属于不同类的二次型互不等价.证证 给定给定 .令令 62谢谢观赏2019-8-17合同.由此推出合同，从而由定理由定理9.2.4，R上每一上每一n元二次型恰与一个以元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价为矩阵的典范形式等价.当当 r 取定后，取定后，p 可以取可以取0，1，r；而；而 r 又可以取又可以取0，1，n 中任何一中任何一个数个数.因此这样的因此这样的 共有共有 个个.对于每一个对于每一个 ，就有一个典范形式，就有一个典范形式 63谢谢观赏2019-8-17由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以与它相当与它相当.把与同一个典范形式等价的二次型放在把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是一类，于是 R 上的一切上的一切 n 元二次型恰可以分成元二次型恰可以分成 类，属于同一类的二次彼此等价，类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价属于不同类的二次互不等价.7、例、例：a 满足什么条件时，二次型满足什么条件时，二次型 的惯性指标是的惯性指标是0，符号差是，符号差是2？写出其典范形。？写出其典范形。64谢谢观赏2019-8-17与它相当.把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是R解解 实二次型实二次型 的矩阵为的矩阵为 经过合同变换可化为标准形经过合同变换可化为标准形 所以当所以当 或或 时，二次型的惯性指标是时，二次型的惯性指标是0，符号差是，符号差是2，其典范形为，其典范形为 65谢谢观赏2019-8-17解实二次型的三、小结三、小结基本概念：基本概念：这里，这里，秩秩(f).2、n元实二次型元实二次型的规范形的规范形这里，这里，秩秩(f)，p 称为称为f 的正惯性指数；的正惯性指数；称为称为f 的负惯性指数；称为的负惯性指数；称为符号差符号差.1、n元复二次型的规范形元复二次型的规范形66谢谢观赏2019-8-17三、小结基本概念：这里，秩(f).2、n元实二次基本结论基本结论定理定理、任意一个复系数二次型，经过一适当的、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵合同于一个对角矩阵推论推论、两个复对称矩阵、两个复对称矩阵A A、B B合同合同67谢谢观赏2019-8-17基本结论定理、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变定理定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵合同于一个对角矩阵其中其中 的个数等于矩阵的个数等于矩阵的秩的秩.68谢谢观赏2019-8-17定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范推论推论、两个实对称矩阵、两个实对称矩阵A A、B B合同的充要条件是合同的充要条件是正惯性指数相等正惯性指数相等.且二次型与的且二次型与的69谢谢观赏2019-8-17推论、两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是正惯性指数相等.且学习目标：学习目标：学习目标：学习目标：1掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。二次型的概念。2掌握实二次型掌握实二次型 正定的判正定的判 定定理。定定理。9.3 9.3 正定二次型正定二次型70谢谢观赏2019-8-17学习目标：2掌握实二次型正定的判定定理。9.3正一、正定二次型与正定矩阵1基本概念基本概念 i）正定二次型）正定二次型实二次型实二次型 称为称为正定的正定的，如果对于，如果对于任意一组不全为零的实数任意一组不全为零的实数 都有都有 ii）正定矩阵）正定矩阵 实对称矩阵实对称矩阵 称为称为正定的正定的，如果二次型，如果二次型 71谢谢观赏2019-8-17一、正定二次型与正定矩阵1基本概念i）正定二次型实二次型2、例：、例：下列实二次型是否为正定的二次型：下列实二次型是否为正定的二次型：1）2）3）72谢谢观赏2019-8-172、例：下列实二次型是否为正定的二次型：1）2）3）7从而从而 例：例：若若 ，都是都是 阶正定矩阵，阶正定矩阵，证明：证明：是正定矩阵。是正定矩阵。证明：证明：只需证明只需证明 正定。正定。由由 ，都是正定矩阵，知都是正定矩阵，知 ，正定，正定，所以对于任意一组不全为所以对于任意一组不全为零的实数零的实数，有有，73谢谢观赏2019-8-17从而例：若，都是阶正定矩阵，实二次型实二次型 是正定的当且仅当是正定的当且仅当 .证明：证明：若若 正定，正定，则对任意一组不全为零的实数则对任意一组不全为零的实数 ，都有，都有 .分别选取分别选取 为为 ，则有，则有 .若若 .则对任意一组不全为零的实数则对任意一组不全为零的实数 ，都有，都有 所以所以 是正定的。是正定的。74谢谢观赏2019-8-17实二次型非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变.设实二次型设实二次型(1)经过非退化实线性替换经过非退化实线性替换(2)变成二次型变成二次型(3)则则 是正定的是正定的 是正是正定的。定的。75谢谢观赏2019-8-17非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变.(1)经过非退化证明：证明：若若 是正定的。对于任意一是正定的。对于任意一 组不全为零的实数组不全为零的实数 ，令，令由于由于 是可逆实矩阵，故是可逆实矩阵，故 也是一组不全也是一组不全为零的实数，从而为零的实数，从而因为二次型（因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换）也可以经非退化实线性替换变到二次型（变到二次型（1 1），所以按同样理由，当（），所以按同样理由，当（3 3）正定）正定时，（时，（1 1）也正定）也正定.76谢谢观赏2019-8-17证明：若是正二、正定二次型的判别 1判别定理判别定理1：实二次型实二次型 是正定的是正定的 它的正惯它的正惯性指数等于性指数等于 .实二次型实二次型 是正定的是正定的 它的规范它的规范形为形为 。一个实对称矩阵是正定的一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合它与单位矩阵合同同.例：例：正定矩阵的行列式大于零正定矩阵的行列式大于零.逆命题不成立。逆命题不成立。反例反例：的行列式大于零，但它对应的二次型的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。不是正定的。77谢谢观赏2019-8-17二、正定二次型的判别1判别定理1：实二次型提示：提示：2矩阵的顺序主子式：矩阵的顺序主子式：称为矩阵称为矩阵 的顺序主子式的顺序主子式.矩阵矩阵 的第的第 个顺序主子式为个顺序主子式为 练习：练习：若若 是是 阶实矩阵，则满足（阶实矩阵，则满足（）时，）时，是正定矩阵。是正定矩阵。78谢谢观赏2019-8-17提示：2矩阵的顺序主子式：称为矩阵称为矩阵称为矩阵 的顺序主子式的顺序主子式.3判别定理判别定理2：实二次型实二次型 是正定的是正定的 矩阵矩阵 的顺序主子式全大于零的顺序主子式全大于零.79谢谢观赏2019-8-17称为矩阵的顺序主子式.4、例：、例：判定二次型判定二次型 是否正定是否正定.的矩阵为的矩阵为 ，它的顺序主子，它的顺序主子式式 所以，所以，正定。正定。80谢谢观赏2019-8-174、例：判定二次型是否正定.的矩阵为，它的顺A ，B.非退化，非退化，C.的元素的元素全是正实数，全是正实数，D.的主对角上元素全为正。的主对角上元素全为正。练习：练习：若若 是正定矩阵，则下列结论错误的是（是正定矩阵，则下列结论错误的是（）。）。练习练习：设设 易知易知 都是正定矩阵，但都是正定矩阵，但 不是正定矩阵。不是正定矩阵。81谢谢观赏2019-8-17A，B.非退化三、小结1、正定二、正定二 次型；次型；基本概念：基本概念：2、顺序主子式、主子式、顺序主子式、主子式正定矩阵；正定矩阵；基本结论：基本结论：1、非退化线性替换保持实二次型的正定、非退化线性替换保持实二次型的正定 性不变性不变.82谢谢观赏2019-8-17三、小结1、正定二次型；基本概念：2、顺序主子式、主子式正3、实二次型f(x1,x2,xn)XAX正定负定负定.2 2、实二次型实二次型 正定正定A与单位矩阵与单位矩阵E合同，即存在可逆矩阵合同，即存在可逆矩阵C，使，使ACCA的各级顺序主子式全大于零的各级顺序主子式全大于零f 的正惯性指数的正惯性指数p等于等于n4、实对称矩阵、实对称矩阵A正定正定83谢谢观赏2019-8-173、实二次型f(x1,x2,xn)XAX正定负9.4 主轴问题主轴问题 学习目标学习目标 1掌握变量的正交变换掌握变量的正交变换 2掌握将实二次型通过变量的正交变换化为掌握将实二次型通过变量的正交变换化为 只含平方项的二次型只含平方项的二次型84谢谢观赏2019-8-179.4主轴问题学习目标84谢谢观赏2019-8-17一、变量的正交变换一、变量的正交变换我们已经看到我们已经看到,实数域上一个二次型实数域上一个二次型 可以经过变量的非奇异变换可以经过变量的非奇异变换化为二次型化为二次型85谢谢观赏2019-8-17一、变量的正交变换我们已经看到,实数域上一个二次型1、定义、定义:将将n元实二次型通过变量的正交变换元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型问题化为只含平方项的二次型问题,这个问题称为二次这个问题称为二次型的型的主轴问题主轴问题.注注：(1)这里所说的变量的这里所说的变量的正交变换正交变换指的是这个指的是这个变换的矩阵是正交矩阵变换的矩阵是正交矩阵.(2)由于正交矩阵是非奇异的由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交所以变量的正交变换是非奇异的变换是非奇异的.(3)即：即：给一个实对称矩阵给一个实对称矩阵A,要寻求一个正交要寻求一个正交矩阵矩阵U,使得使得 是对角形式是对角形式,86谢谢观赏2019-8-171、定义:将n元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方2、定理：、定理：设设 是实数域上一个二次型是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的正那么总可以通过变量的正交变换交变换 化为化为 这里这里U是一个正交矩阵是一个正交矩阵,而而 是二次型是二次型 的全部特征的全部特征根根.87谢谢观赏2019-8-172、定理：设是实数域上一个二次型,那么总可以通过变量的证证 是一个是一个n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵.由定理由定理8.4.3 和和 8.4.6,存在一个正交矩阵存在一个正交矩阵U,使得使得这里这里 是是A的全部特征根的全部特征根.这也就相这也就相当于说以当于说以A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式换化为标准形式 88谢谢观赏2019-8-17证是一个n阶实对称矩阵.由定1、推论、推论:设设 是实数域上一个是实数域上一个n元二次型元二次型,是它的矩阵是它的矩阵.(i)二次型二次型 的秩等于的秩等于A 的不等于的不等于零的特征根的个数零的特征根的个数,而符号差等于而符号差等于A 的正特征根个的正特征根个数与负特征根个数的差数与负特征根个数的差.(ii)二次型二次型 是正交的必要且只要是正交的必要且只要A的所有特征根都是正数的所有特征根都是正数.二、实对称矩阵的相似对角形二、实对称矩阵的相似对角形89谢谢观赏2019-8-171、推论:设是实数域上一个n元二次型,2.例例:已知实二次型已知实二次型 (1)用正交线性变换将二次型化为标准形用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出并写出所用的正交线性变换；所用的正交线性变换；(2)求出的秩、惯性指标与符号差求出的秩、惯性指标与符号差.解解 （1）的矩阵为的矩阵为求求 f 的全部特征根：因为的全部特征根：因为90谢谢观赏2019-8-172.例:已知实二次型(1)用正交线性变换将二次故的全部特征根为故的全部特征根为 （二重），（二重），。对特征根对特征根 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 得一基础解系：得一基础解系：91谢谢观赏2019-8-17故的全部特征根为（二重），对特征根对特征根 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 得一基础解系：得一基础解系：对对 正交化、单位化得：正交化、单位化得：92谢谢观赏2019-8-17对特征根，解齐次线性方程组得一基础解以以 为列作一个正交矩阵为列作一个正交矩阵93谢谢观赏2019-8-17以为列作一个正交矩阵93谢谢则则 于是于是 经过正交线性变换经过正交线性变换 ，化为标准形化为标准形（2）由（由（1）的秩为的秩为2，惯性指，惯性指标标 ，符号差，符号差 .94谢谢观赏2019-8-17则于是经过正