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117.2 实际问题与反比例函数实际问题与反比例函数1一、说教学设计意图一、说教学设计意图首先由学生尝试举出实际生活中某两个量成反比例关系的例子，自然地引入利用所学的反比例函数来解决实际问题，这节课我引用了公元前3世纪古希腊科学家阿基米德发现的“杠杆定律”中力与力臂两个量的反比关系，他曾说：“给我一个支点，我能撬动这个地球！”一下子抓住学生的好奇心理，激发学生求知热情，也培养学生的科学探索精神。实际问题向数学问题转化是解决问题的关键。教师要引导学生通过反比例函数模型实现这一目的。让学生体会其中的转化思想，逐步掌握转化的方法。通过这种方法的学习，让学生学会归纳、总结所学的知识，使学生初步形成运用反比例函数解决实际问题的意识。通过学生身边熟悉的实际情景创设练习题，让学生进一步加深对反比例函数的运用和理解，更深层次形成反比例函数模型来解决实际问题的意识，巩固和提高所学知识。给学生足够的时间和空间，为他们创造展示能力和应用所学知识的机会。最后，通过小结，使学生把所学知识进一步内化、系统化。2一、说教学设计意图一、说教学设计意图2二、说教材二、说教材本章反比例函数是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴。反比例函数是初中阶段所学三大基本函数之一，反比例函数的学习为二次函数打下基础，因此它有着承前启后的作用。本章共分为两节，第2节的内容是如何用反比例函数解决实际问题或如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。本节课主要涉及在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数。三、说目标三、说目标本节课的三维目标是通过“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生能够从函数的观点来解决一些实际问题，学会建立反比例函数模型；体会数学与现实世界的密切联系，增强应用意识。通过应用数学知识解决身边问题，提高学数学的兴趣。教学重点：掌握从实际问题中构建反比例函数模型。教学难点：把实际问题利用反比例函数转化为数学问题加以解决3二、说教材三、说目标二、说教材三、说目标3四、说教法、学法四、说教法、学法常言道：教必有法，教无定法。这节课我采用探索发现法，培养学生学习数学的积极性，精心引导学生通过反比例函数模型实现解决实际问题的方法。在引导过程中让学生体会老师是如何将实际问题向数学问题转化的。古人云“授人以鱼，不如授人以渔”这节课我引导学生采用自主探究，合作交流，自我总结的学习方法，体现数学探索的乐趣。4四、说教法、学法四、说教法、学法4五、说教学安排五、说教学安排活动一、创设情境，引入新课：设计目的是老师提出生活中遇到的问题，请学生帮助解决，激发学生的兴趣。活动二、分析问题：设计目的是与学生共同分析实际问题中的变量关系，引导学生利用反比例函数解决问题。活动三、解决问题：设计目的是从函数的观点，进一步激发学生学习的兴趣，引导学生利用“杠杆规律”培养科学探索精神。活动四、巩固练习：设计目的是通过课堂练习，提高学生运用反比例函数解决实际问题能力。活动五、课堂小结 布置作业：设计目的是归纳总结所学的知识，让学生养成良好的学习数学的方法和习惯，关注学生的个体差异，使每位学生都有成功的体验，使不同的学生得到不同的发展。5五、说教学安排五、说教学安排5在日常生活中，存在许许多多两个量成反比例函数的实例，请同学们举一些生活中的反比例函数例子。老师在生活中遇到了这样一个问题（拿出教具）如何打开一个未开封的铁桶呢？这里有两个长短不一样的改锥撬铁桶，哪个更省劲一些？设计目的：老师提出生活中遇到的问题，请学生设计目的：老师提出生活中遇到的问题，请学生帮助解决，激发学生的兴趣。帮助解决，激发学生的兴趣。活动一：创设情境，引入新课活动一：创设情境，引入新课6在日常生活中，存在许许多多两个量成反比例函数的实例，请同学们在日常生活中，存在许许多多两个量成反比例函数的实例，请同学们古希腊科学家阿基米德曾古希腊科学家阿基米德曾说过：说过：“给我一个支点，给我一个支点，我可以把地球撬动我可以把地球撬动。”你认为这可能吗？为什么？你认为这可能吗？为什么？阻力阻力阻力臂阻力臂=动力动力动力臂动力臂阻力臂阻力臂阻力臂阻力臂阻力阻力阻力阻力动力动力动力动力动力臂动力臂动力臂动力臂7古希腊科学家阿基米德曾说过：古希腊科学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我可以把地球撬动给我一个支点，我可以把地球撬动 活动二：分析问题活动二：分析问题问题问题1：几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别是牛顿和米，阻力臂不变，分别是牛顿和米，设动力为，动力臂为设动力为，动力臂为L回答下列问题：回答下列问题：（）动力（）动力F与动力臂与动力臂L有怎样的函数关系？有怎样的函数关系？（）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂（）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂为米、米、米、米的撬棍，你能得出为米、米、米、米的撬棍，你能得出他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？从上述的运算中我们观察出什么规律？从上述的运算中我们观察出什么规律？分析：根据动力分析：根据动力动力臂阻力动力臂阻力阻力臂阻力臂解解:(1)由已知得由已知得L12000.5变形得：变形得：设计目的设计目的：与学生共同分析实际问题中的变量关系，引导学生利用反比例函数解决问题。8 活动二：分析问题问题活动二：分析问题问题1：几位同学玩撬石头的游戏，已知：几位同学玩撬石头的游戏，已知（）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂（）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂为米、米、米、米的撬棍，你能得出为米、米、米、米的撬棍，你能得出他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？从上述的运算中我们观察出什么规律？从上述的运算中我们观察出什么规律？活动三：解决问题活动三：解决问题解：解：(2)发现：动力臂越长，用的力越小。发现：动力臂越长，用的力越小。即动力臂越长就越省力即动力臂越长就越省力你能画出图象吗你能画出图象吗?图象会在第三象限吗图象会在第三象限吗?9（）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂从上述的运算中我（）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂从上述的运算中我l11.523F600 400 300 20012345100200300400500600lFO6.10l11.523F600400300200123451（）假定地球重量的近似值为（）假定地球重量的近似值为牛顿牛顿即为阻力），假设阿基米德有牛顿的力量，即为阻力），假设阿基米德有牛顿的力量，阻力臂为千米，请你帮助阿基米德设计阻力臂为千米，请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动 活动活动解解:(1)由已知得由已知得L610252106=1.21032变形得：变形得：当当F=500时，时，L=2.41029米米11（）假定地球重量的近似值为（）假定地球重量的近似值为牛顿牛顿 （4）受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，）受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为米的撬棍，用了小刚选择了动力臂为米的撬棍，用了牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有牛顿牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有牛顿的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头呢？大石头呢？活动活动设计目的：设计目的：初步培养学生利用反比例函数解决实际问题的能力，建立解决初步培养学生利用反比例函数解决实际问题的能力，建立解决实际问题的数学模型，并用数学的知识和方法进行解决，让学实际问题的数学模型，并用数学的知识和方法进行解决，让学生体会转化的思想，掌握转化的方法，从而达到培养学生良好生体会转化的思想，掌握转化的方法，从而达到培养学生良好的思维质量的目的的思维质量的目的.12（4）受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，）受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，活活活动四：巩固练习活动四：巩固练习13活动四：巩固练习活动四：巩固练习131414练习一练习一:某校学生去郊游某校学生去郊游,途中遇到一片十几米宽的途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地烂泥湿地,为了安全为了安全,迅速通过这片湿地迅速通过这片湿地,他们沿着前他们沿着前进路线铺垫了若干块木板进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道构筑成一条临时通道,从从而顺利完成了任务而顺利完成了任务.(1)请你解释他们这样做的道理请你解释他们这样做的道理.(2)当人和木板对湿地的压力一定时当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积随着木板面积S()的变化的变化,人和木板人和木板对地面的压强对地面的压强p()将如何变化将如何变化?答答:在物理中在物理中,我们曾学过我们曾学过,当人和当人和木板对湿地的压力一定时木板对湿地的压力一定时,随着木板随着木板面积面积S的增加的增加,人和木板对地面的人和木板对地面的压压强强P将减小将减小.15练习一练习一:某校学生去郊游某校学生去郊游,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了为了解解解解:问题问题问题问题(2)(2)是已知图象上的某点的横坐标为是已知图象上的某点的横坐标为是已知图象上的某点的横坐标为是已知图象上的某点的横坐标为0.2,0.2,求该点的求该点的求该点的求该点的纵坐标纵坐标纵坐标纵坐标;问题问题问题问题(3)(3)是已知图象上点的纵坐标不大于是已知图象上点的纵坐标不大于是已知图象上点的纵坐标不大于是已知图象上点的纵坐标不大于6000,6000,求这求这求这求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围些点所处位置及它们横坐标的取值范围些点所处位置及它们横坐标的取值范围些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都实际上这些点都实际上这些点都实际上这些点都在直线在直线在直线在直线P=6000P=6000下方的图象上下方的图象上下方的图象上下方的图象上.(3)如果人和木板对湿地的压力合计如果人和木板对湿地的压力合计600N,那么那么:用含用含S的代数式表示的代数式表示p,p是是s的反比例函数吗的反比例函数吗?当木板面积为当木板面积为20时时,压强是多少压强是多少?如果要求如果要求压强不超过压强不超过6000 ,木板面积至少要多大木板面积至少要多大?在直角坐标系中在直角坐标系中,作出相应函数图象作出相应函数图象.请利用图象对请利用图象对 做出直观解释做出直观解释.16解解:问题问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵求该点的纵 (3)如果人和木板对湿地的压力合计如果人和木板对湿地的压力合计600N,那那么么:用含用含S的代数式表示的代数式表示p,p是是s的反比例函数的反比例函数吗吗?当木板面积为当木板面积为20时时,压强是多少压强是多少?如果要求压强不超过如果要求压强不超过6000 ,木板面积至少要木板面积至少要多大多大?在直角坐标系中在直角坐标系中,作出相应函数图象作出相应函数图象.请利用图象对请利用图象对 做出直观解释做出直观解释.P是是S的反比例函数的反比例函数.当当S=0.2m2时时,P=600/0.2=3000(Pa)当当P60006000时时,S600/6000=0.1(m,S600/6000=0.1(m2 2)17 (3)如果人和木板对湿地的压力合计如果人和木板对湿地的压力合计600N,那那一辆汽车往返于甲一辆汽车往返于甲,乙两地之间乙两地之间,如果汽车以如果汽车以50千米千米/小时的平均速度从甲地出发小时的平均速度从甲地出发,则经过则经过6小时可以到达乙地小时可以到达乙地.(1)(1)甲乙两地相距多少千米甲乙两地相距多少千米甲乙两地相距多少千米甲乙两地相距多少千米?(2)(2)如果汽车把速度提高到如果汽车把速度提高到如果汽车把速度提高到如果汽车把速度提高到v v千米千米千米千米/小时小时小时小时,那么从甲地到那么从甲地到那么从甲地到那么从甲地到乙地所用时间乙地所用时间乙地所用时间乙地所用时间t(t(小时小时小时小时)将怎样变化将怎样变化将怎样变化将怎样变化?(3)(3)写出写出写出写出t t与与与与v v之间的函数关系之间的函数关系之间的函数关系之间的函数关系.(4)(4)因某种原因因某种原因因某种原因因某种原因,这辆汽车需在这辆汽车需在这辆汽车需在这辆汽车需在5 5小时内从甲地到达乙地小时内从甲地到达乙地小时内从甲地到达乙地小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至少应是多少则此时的汽车的平均速度至少应是多少则此时的汽车的平均速度至少应是多少则此时的汽车的平均速度至少应是多少?(5)(5)已知汽车的平均速度最大可达已知汽车的平均速度最大可达已知汽车的平均速度最大可达已知汽车的平均速度最大可达8080千米千米千米千米/小时小时小时小时,那么它那么它那么它那么它从甲地到乙地最快需要多长时间从甲地到乙地最快需要多长时间从甲地到乙地最快需要多长时间从甲地到乙地最快需要多长时间?18练习二练习二:一辆汽车往返于甲一辆汽车往返于甲,乙两地之间乙两地之间,如果汽车以如果汽车以50千米千米/小小通过课堂练习，提高学生运用反比例函数解决实际问题能力。19通过课堂练习，提高学生运用反比例函数解决实际问题能力。设计意通过课堂练习，提高学生运用反比例函数解决实际问题能力。设计意请同学们谈谈这节课的体会，说出请同学们谈谈这节课的体会，说出来与大家分享。来与大家分享。布置作业：布置作业：1、搜集生活中或其他学科运用反比、搜集生活中或其他学科运用反比 例关系的例关系的例子例子 2、教科书习题、教科书习题17.2第第2、3题题设计意图设计意图：归纳总结所学的知识，让学生养成良好的学习数学的方法和习惯，关注学生的个体差异，使每位学生都有成功的体验，使不同的学生得到不同的发展。20请同学们谈谈这节课的体会，说出来与大家分享。设计意图：归纳总请同学们谈谈这节课的体会，说出来与大家分享。设计意图：归纳总活动五：课堂小结，布置作业：1实际问题数学问题解决实际问题解决数学问题反比例函数反比例函数反比例函数知识反比例函数知识 利用反比例函数解决实际问题时，既要关注函数本身，又要考虑实际意义。21活动五：课堂小结，布置作业：活动五：课堂小结，布置作业：1实际问题数学问题解决实际问题解实际问题数学问题解决实际问题解六、说教学活动中教师应重点关注的问题六、说教学活动中教师应重点关注的问题（1）学生是否对题意有充分的理解，参与讨论的热情程度是否高（2）学生是否找出题目中变量间的关系，并列出反比例函数解析式（3）学生是否感受到利用反比例函数在解决实际问题的过程中所带来的方便。（4）学生是否能认真进行探究活动，能否通过自己的努力克服困难，获得解决问题的方法。（5）及时帮助学生分析在探究过程中遇到的问题，使不同层次的学生在学习的过程中都有所收获。22六、说教学活动中教师应重点关注的问题六、说教学活动中教师应重点关注的问题22谢谢 谢谢 ！23谢谢 谢谢！23
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