二微分的几何意义课件

二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与三、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则微分运算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义一、微分的定义 第五节第五节 函数的微分函数的微分 第二章第二章 一、微分的定义一、微分的定义实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.则则再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有是否所有函数的增量都有函数的增量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?的相应于增量的相应于增量x 的的微分微分,定义定义:若函数若函数在点在点 的的增量增量可表示为可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称称为为记作记作即即在点在点可可微微,说明说明:函数函数记记在点在点可微可微说明说明:已知已知在点在点 可微可微,即即故故在点在点 的可导的可导,且且定理定理:函数函数即即可导可导可微可微在在可微的充要条件可微的充要条件是是证证:“必要性必要性:”.可微可微可导可导已知已知即即在点在点 的可导的可导,则则“充分性充分性:可导可导 可微可微”.例例1.解解:在在 x=3处的微分为处的微分为例例2.解解:所以所以二、微分的几何意义二、微分的几何意义MNT）如图如图,P Q三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分的求法微分的求法:1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 (对照表对照表)先计算函数的导数再乘以自变量的微分先计算函数的导数再乘以自变量的微分.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则结论结论:微分形式的不变性微分形式的不变性4.微分形式不变性微分形式不变性例例3.解解:例例4.解法解法1:利用先求导数再求微分的方法利用先求导数再求微分的方法解法解法2:利用微分形式不变性利用微分形式不变性.例例5.解解:例例6.解解:根据积的微分法则根据积的微分法则例例7.解解:根据商的微分法则根据商的微分法则方程两边求微分方程两边求微分,得得已知已知求求解：解：例例8.利用微分形式不变性利用微分形式不变性,例例9.解解:在在所给方程两端分别求微分所给方程两端分别求微分整理得整理得例例10.解解:在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.所以所以很小时很小时,有近似公式有近似公式故当故当1.函数的近似计算函数的近似计算四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用从几何上解释即从几何上解释即用切线近似取代曲线用切线近似取代曲线(邻近邻近).).则则已知球体体积为已知球体体积为镀铜体积为镀铜体积为例例11.有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球,为了提高球面的光洁为了提高球面的光洁度度,要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为 0.01cm,估计一下估计一下,每只每只球需用铜多少克球需用铜多少克.解解:因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为(g).镀铜体积镀铜体积=球体积增量球体积增量例例12.解解:2.工程上常用的近似公式工程上常用的近似公式例例13.解解:*3.微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为某量的精确值为 A,其近似值为其近似值为 a,称为称为a 的的绝对误差绝对误差称为称为a 的的相对误差相对误差若若称为测量称为测量 A 的绝对误差限的绝对误差限称为测量称为测量 A 的相对误差限的相对误差限则则误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为已知测量误差限为按公式按公式计算计算 y 值时的误差值时的误差故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为相对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得若直接测量某量得 x,例例14.解解:计算计算 A 的的绝对误差限约为绝对误差限约为 A 的的相对误差限约为相对误差限约为