工程力学弯曲刚度课件

Nanjing University of Technology第八章第八章 弯曲刚度弯曲刚度Nanjing University of Technolo1 计算计算梁弯曲变形的积分法梁弯曲变形的积分法 计算梁弯曲变形的积分法 2 弯曲变形计算的必要性弯曲变形计算的必要性 摇臂钻床的摇摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变臂或车床的主轴变形过大，就会影响形过大，就会影响零件的加工精度，零件的加工精度，甚至会出现废品。甚至会出现废品。弯曲变形计算的必要性 摇臂钻床的摇臂或车床的主3 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困则会使小车行走困难，出现爬坡现象。难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。例例如如，车车辆辆上上的的板板弹弹簧簧，要要求求有有足足够够大大的的变变形形，以以缓缓解解车车辆辆受受到到的的冲冲击击和和振动作用。振动作用。桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬4 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线 挠曲线规定：向上挠度为正，逆时针转角为正规定：向上挠度为正，逆时针转角为正规定：向上挠度为正，逆时针转角为正规定：向上挠度为正，逆时针转角为正挠度挠度挠度挠度y y（f f）：横截面形心处的铅垂位移）：横截面形心处的铅垂位移）：横截面形心处的铅垂位移）：横截面形心处的铅垂位移截面转角截面转角截面转角截面转角：横截面绕中性轴转过的角度：横截面绕中性轴转过的角度：横截面绕中性轴转过的角度：横截面绕中性轴转过的角度 挠曲线方程：挠曲线方程：挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程：转角方程：转角方程：挠曲线近似微分方程挠曲线 挠曲线规定：向上挠度为正，5 梁的挠曲线近似微分方程曲线曲线曲线曲线 y y=f f(x x)的曲率为的曲率为的曲率为的曲率为梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：梁的挠曲线近似微分方程曲线 y=f(x)的曲率为梁纯弯6例题：例题：已知梁的已知梁的已知梁的已知梁的EIEI为常数，今欲使梁的挠曲线为常数，今欲使梁的挠曲线为常数，今欲使梁的挠曲线为常数，今欲使梁的挠曲线在在在在x xl l/3/3处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值mm1 1/mm2 2为多少？为多少？为多少？为多少？例题：已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠曲线在xl/3处出现7解：解：由梁的挠曲线近似微分方程由梁的挠曲线近似微分方程由梁的挠曲线近似微分方程由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：拐点：曲线凹与凸拐点：曲线凹与凸拐点：曲线凹与凸拐点：曲线凹与凸 的分界点的分界点的分界点的分界点解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩8式中积分常数式中积分常数式中积分常数式中积分常数C C、D D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定 积分法求弯曲变形积分求解积分求解积分求解积分求解过程过程过程过程积积积积分法分法分法分法转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定 积分法求弯曲9 确定确定确定确定积分常数的边界条件积分常数的边界条件积分常数的边界条件积分常数的边界条件连续光滑曲线，铰连续光滑曲线，铰连续光滑曲线，铰连续光滑曲线，铰支座作用截面处支座作用截面处支座作用截面处支座作用截面处连续光滑曲线，连续光滑曲线，连续光滑曲线，连续光滑曲线，固定端支座处固定端支座处固定端支座处固定端支座处 确定积分常数的边界条件连续光滑曲线，铰支座作用截面处连续10光滑连续条件：光滑连续条件：光滑连续条件：光滑连续条件：P PC光滑连续条件：PC11例题例题 求求求求：梁梁梁梁的的的的弯弯弯弯曲曲曲曲挠挠挠挠度度度度与与与与转转转转角角角角方方方方程程程程，以以以以及及及及最最最最大大大大挠度和最大转角。挠度和最大转角。挠度和最大转角。挠度和最大转角。已已已已知知知知：左左左左端端端端固固固固定定定定、右右右右端端端端自自自自由由由由的的的的悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁承承承承受受受受均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷。均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度为为为为q q ，梁梁梁梁的的的的弯弯弯弯曲曲曲曲刚刚刚刚度度度度为为为为EI EI、长度为、长度为、长度为、长度为l l。q q、EI EI、l l均已知。均已知。均已知。均已知。例题 求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度12解：解：建立建立建立建立OxwOxw坐标系坐标系坐标系坐标系O Ox xw w建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程xMM(x x)Q Q(x x)将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 积分后，得到积分后，得到积分后，得到积分后，得到 解：建立Oxw坐标系Oxw建立梁的弯矩方程xM(x)Q(x)13固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为：代入上两式，可得：代入上两式，可得：代入上两式，可得：代入上两式，可得：故而，最终的挠度与转角方程写为：故而，最终的挠度与转角方程写为：故而，最终的挠度与转角方程写为：故而，最终的挠度与转角方程写为：固定端处的约束条件为：代入上两式，可得：故而，最终的挠度14 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。和转角均为最大值。和转角均为最大值。和转角均为最大值。从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角15 求：加力点求：加力点求：加力点求：加力点B B的挠度和支承的挠度和支承的挠度和支承的挠度和支承A A、C C处的转角。处的转角。处的转角。处的转角。已知：简支梁受力如图所示。已知：简支梁受力如图所示。已知：简支梁受力如图所示。已知：简支梁受力如图所示。F FP P、EIEI、l l均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。例题例题 求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。16解：解：确定梁约束力确定梁约束力确定梁约束力确定梁约束力 分为分为分为分为ABAB和和和和BCBC两段两段两段两段建立弯矩方程建立弯矩方程建立弯矩方程建立弯矩方程ABAB段段段段 BCBC段段段段 小挠度微分方程：小挠度微分方程：小挠度微分方程：小挠度微分方程：解：确定梁约束力 分为AB和BC两段建立弯矩17积分得积分得积分得积分得 其中，其中，其中，其中，C C1 1、D D1 1、C C2 2、D D2 2为积分常数为积分常数为积分常数为积分常数 在支座在支座在支座在支座A A、C C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x x0 0，w w1 10;0;x xl l，w w2 20 0 ABAB段与段与段与段与BCBC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 x xl l/4/4，w w1 1w w2 2;x xl l/4/4，1 1 1 1=2 2积分得 其中，C1、D1、C2、D2为积分常数 18 共有四个边界条件，可解出四个共有四个边界条件，可解出四个共有四个边界条件，可解出四个共有四个边界条件，可解出四个待定系数待定系数待定系数待定系数D1D2=0梁的转角和挠度方程为：梁的转角和挠度方程为：梁的转角和挠度方程为：梁的转角和挠度方程为：ABAB段段段段 BCBC段段段段 可以算得加力点可以算得加力点可以算得加力点可以算得加力点B B处的挠度和支承处处的挠度和支承处处的挠度和支承处处的挠度和支承处A A和和和和C C的转角分别为的转角分别为的转角分别为的转角分别为 共有四个边界条件，可解出四个待定系数D1D19例题例题:已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EIEI。试求图示简支梁。试求图示简支梁。试求图示简支梁。试求图示简支梁在均布载荷在均布载荷在均布载荷在均布载荷q q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定定定定 maxmax和和和和y ymaxmax。例题:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作20解：解：解：解：由边界条件：由边界条件：由边界条件：由边界条件：得：得：得：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：21最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：A B截面转角和挠度极截面转角和挠度极值的判定方法？值的判定方法？最大转角和最大挠度分别为：AB截面转角和挠度极值的判定方22例题例题:已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EIEI。试求图示简支。试求图示简支。试求图示简支。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定梁的转角方程、挠曲线方程，并确定梁的转角方程、挠曲线方程，并确定梁的转角方程、挠曲线方程，并确定 maxmax和和和和y ymaxmax。例题:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠23解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACDACD解：由对称性，只考虑半跨梁ACD24由连续条件由连续条件由连续条件由连续条件:由边界条件：由边界条件：由边界条件：由边界条件：由对称条件：由对称条件：由对称条件：由对称条件：由连续条件:由边界条件：由对称条件：25梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：26例题例题:图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A A端的挠端的挠端的挠端的挠度度度度解：解：ABP P2IICACAC段段段段xCBCB段段段段例题:图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A端的挠度解：AB27由边界条件：由边界条件：由边界条件：由边界条件：由连续条件：由连续条件：由连续条件：由连续条件：得：得：得：得：ACAC段挠度方程为：段挠度方程为：段挠度方程为：段挠度方程为：令令令令得得得得（）由边界条件：由连续条件：得：AC段挠度方程为：令得（28 确定约束力确定约束力确定约束力确定约束力,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程 确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微29 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 叠加法确定梁的挠度与转角 30 在在在在材材材材料料料料服服服服从从从从胡胡胡胡克克克克定定定定律律律律、且且且且变变变变形形形形很很很很小小小小的的的的前前前前提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。当当当当梁梁梁梁上上上上同同同同时时时时作作作作用用用用几几几几个个个个载载载载荷荷荷荷时时时时，各各各各个个个个载载载载荷荷荷荷所所所所引引引引起起起起的的的的变变变变形形形形是是是是各各各各自自自自独独独独立立立立的的的的，互互互互不不不不影影影影响响响响。若若若若计计计计算算算算几几几几个个个个载载载载荷荷荷荷共共共共同同同同作作作作用用用用下下下下在在在在某某某某截截截截面面面面上上上上引引引引起起起起的的的的变变变变形形形形，则则则则可可可可分分分分别别别别计计计计算算算算各各各各个个个个载载载载荷荷荷荷单单单单独独独独作作作作用用用用下下下下的的的的变形，然后叠加。变形，然后叠加。变形，然后叠加。变形，然后叠加。在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下，载荷31 当当当当梁梁梁梁上上上上受受受受有有有有几几几几种种种种不不不不同同同同的的的的载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用时时时时，都都都都可可可可以以以以将将将将其其其其分分分分解解解解为为为为各各各各种种种种载载载载荷荷荷荷单单单单独独独独作作作作用用用用的的的的情情情情形形形形，由由由由挠挠挠挠度度度度表表表表查查查查得得得得这这这这些些些些情情情情形形形形下下下下的的的的挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角，再再再再将将将将所所所所得得得得结结结结果果果果叠叠叠叠加加加加后后后后，便便便便得得得得到到到到几几几几种种种种载载载载荷荷荷荷同同同同时时时时作作作作用的结果。用的结果。用的结果。用的结果。叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结构变形的叠加问题！构变形的叠加问题！构变形的叠加问题！构变形的叠加问题！当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分32例题：例题：例题：例题：用叠加法求用叠加法求用叠加法求用叠加法求f fc c、A A、B Bq qP PmmA AB BC Cl/2l/2mml/2 l l/2/2q ql/2 l l/2/2C CP Pl/2 l l/2/2例题：用叠加法求fc、A、BqPmABCl/2l/2m33解：解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加（）（）（）解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加（）（34 注意逐段刚化法：注意逐段刚化法：变形后：变形后：变形后：变形后：ABABABAB BC BCBCBC变形后变形后变形后变形后ABAB部部部部分为曲线，分为曲线，分为曲线，分为曲线，但但但但BCBC部分仍部分仍部分仍部分仍为直线。为直线。为直线。为直线。C C点的位移为：点的位移为：点的位移为：点的位移为：w wc c 注意逐段刚化法：变形后：ABAB BCBC35自由偏转量自由偏转量自由偏转量36例题：例题：求外伸梁求外伸梁C点的位移。点的位移。LaCA AB BP P解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP P刚化刚化刚化刚化EIEI P PCfc1BCBC部分引起的位移部分引起的位移部分引起的位移部分引起的位移f fc c1 1、c c1 1 c c1 1例题：求外伸梁C点的位移。LaCABP解：将梁各部分分别AB37ABAB部分引起的位移部分引起的位移部分引起的位移部分引起的位移f fc c2 2、c c2 2CABP刚化刚化刚化刚化EIEI f fc c2 2 B2B2PPaPa B2B2AB部分引起的位移fc2、c2CABP刚化EIfc238例题：例题：欲使欲使欲使欲使ADAD梁梁梁梁C C点挠度为零，求点挠度为零，求点挠度为零，求点挠度为零，求P P与与与与q q的关系。的关系。的关系。的关系。q qP PA AC CB BD D 例题：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。qPACBD39解：解：qPA C B D qA C B D PA C B D PPA C B D 解：qPA 40例题例题：求图示梁求图示梁求图示梁求图示梁B B、D D两处的挠度两处的挠度两处的挠度两处的挠度 f fB B、f fD D2 q q2 2q q A C B D例题：求图示梁B、D两处的挠度 fB、fD2 41解：解：qaqa：B B处处处处约束力约束力约束力约束力qABq 2q CBD2 q2q A C B D解：qa：B处约束力qABq2qCBD2 42例题例题：用叠加法求图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C截面的截面的挠度挠度 fB、fC。P PEIEI2EIEI ABC例题：用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度 fB、fC43解：解：EIC2EIAB PCEIBPEIP2EIABPP 解：EIC2EIABPCEIBPEIP2EIABPP44例题例题：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。P ABCq q 例题：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。PABCq45解：解：P=qP=q P=qP=q m=qm=q /2 2ABq qCBP=qP=q q qABC 解：P=qP=qm=q/2ABqCBP=qqABC46例题例题：图示梁处为弹性支座，弹簧刚图示梁处为弹性支座，弹簧刚图示梁处为弹性支座，弹簧刚图示梁处为弹性支座，弹簧刚 度度度度k k，求，求，求，求C C端挠度端挠度端挠度端挠度f fC C。q qEIEIk k 2ABC例题：图示梁处为弹性支座，弹簧刚 度k，求C端挠度fC。q47解：解：梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的C C点挠度为点挠度为点挠度为点挠度为 弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的C C点挠度为点挠度为点挠度为点挠度为C C点总挠度为点总挠度为点总挠度为点总挠度为q qk k 2 ABCq qk k 2 ABCq qk k 2 ABCEIEI解：梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 弹簧不变形，仅48 已知：悬臂梁受力已知：悬臂梁受力已知：悬臂梁受力已知：悬臂梁受力如图所示，如图所示，如图所示，如图所示，q q、l l、EIEI均均均均为已知。为已知。为已知。为已知。求：求：求：求：C C截面的挠度截面的挠度截面的挠度截面的挠度w wC C和转角和转角和转角和转角 C C例题例题：&对间断性分布载荷对间断性分布载荷解：解：将梁上的载荷变成有表可查的情形，如图所示将梁上的载荷变成有表可查的情形，如图所示将梁上的载荷变成有表可查的情形，如图所示将梁上的载荷变成有表可查的情形，如图所示 再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形 已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。49两种情形下自由端的挠度和转角分别为两种情形下自由端的挠度和转角分别为两种情形下自由端的挠度和转角分别为两种情形下自由端的挠度和转角分别为 将简单载荷作用的结果叠加将简单载荷作用的结果叠加将简单载荷作用的结果叠加将简单载荷作用的结果叠加 两种情形下自由端的挠度和转角分别为 将简单载荷作用的结果叠加50 弯曲刚度设计弯曲刚度设计 弯曲刚度设计 51 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。大会影响构件或零件的正常工作。大会影响构件或零件的正常工作。大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴；机床主轴；由轴承支承的轴在例如齿轮轴；机床主轴；由轴承支承的轴在例如齿轮轴；机床主轴；由轴承支承的轴在例如齿轮轴；机床主轴；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。刚度计算的工程意义刚度计算的工程意义 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或52 刚度设计刚度设计刚度条件刚度条件 为了保证构件的刚度，通常将变形限制在一为了保证构件的刚度，通常将变形限制在一为了保证构件的刚度，通常将变形限制在一为了保证构件的刚度，通常将变形限制在一定的允许范围内。定的允许范围内。定的允许范围内。定的允许范围内。弯曲变形：弯曲变形：弯曲变形：弯曲变形：限制其最大挠度和最大转角不超过限制其最大挠度和最大转角不超过限制其最大挠度和最大转角不超过限制其最大挠度和最大转角不超过允许值允许值允许值允许值梁的刚度设计准则：梁的刚度设计准则：梁的刚度设计准则：梁的刚度设计准则：上述二式中上述二式中上述二式中上述二式中 f f 和和和和 分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。刚度设计刚度条件 为了保证构件的刚度，通常将变53 已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为F FP P，F FP P20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa，其他尺寸如图所，其他尺寸如图所，其他尺寸如图所，其他尺寸如图所示。规定轴承示。规定轴承示。规定轴承示。规定轴承B B处的许用转角处的许用转角处的许用转角处的许用转角 =0.5=0.5。试求：根据刚度要求确定该轴的直径试求：根据刚度要求确定该轴的直径试求：根据刚度要求确定该轴的直径试求：根据刚度要求确定该轴的直径d d。B例例 题题 已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 54解：解：B 由挠度表中查得承由挠度表中查得承由挠度表中查得承由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁受集中载荷的外伸梁受集中载荷的外伸梁受集中载荷的外伸梁B B处的转角为处的转角为处的转角为处的转角为 根据设计要求，有根据设计要求，有根据设计要求，有根据设计要求，有 其其其其中中中中，的的的的单单单单位位位位为为为为radrad（弧弧弧弧度度度度），而而而而 的的的的单单单单位位位位为为为为（）（度度度度），考考考考虑虑虑虑到到到到单单单单位位位位的的的的一一一一致致致致性性性性，将将将将有有有有关关关关数数数数据据据据代代代代入后，得到轴的直径入后，得到轴的直径入后，得到轴的直径入后，得到轴的直径 解：B 由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处55例例题题：某某某某船船船船厂厂厂厂用用用用45a45a号号号号工工工工字字字字钢钢钢钢制制制制成成成成吊吊吊吊车车车车大大大大梁梁梁梁，材材材材料料料料的的的的许许许许用用用用应应应应力力力力 =140MPa=140MPa，弹弹弹弹性性性性模模模模量量量量E E=200GPa=200GPa，跨跨跨跨度度度度L L=10m=10m，荷荷荷荷载载载载P P=50KN=50KN，梁梁梁梁的的的的挠挠挠挠度度度度许许许许用用用用值值值值 f f=L L/500/500。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。P PCBA解：解：考虑自重，相当于考虑自重，相当于考虑自重，相当于考虑自重，相当于梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载q q查表查表查表查表例题：某船厂用45a号工字钢制成吊车大梁，材料的许用应力56P PCBA梁跨中点梁跨中点梁跨中点梁跨中点C C挠度最大挠度最大挠度最大挠度最大()梁满足强度和刚度要求梁满足强度和刚度要求梁满足强度和刚度要求梁满足强度和刚度要求PCBA梁跨中点C挠度最大()梁满足强度和刚度要求57 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影影影影响响响响梁梁梁梁弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形的的的的因因因因素素素素不不不不仅仅仅仅与与与与梁梁梁梁的的的的支支支支承承承承和和和和载载载载荷荷荷荷情情情情况况况况有有有有关关关关，而而而而且且且且还还还还与与与与梁梁梁梁的的的的材材材材料料料料、截截截截面面面面尺尺尺尺寸寸寸寸、形形形形状状状状和和和和梁梁梁梁的的的的跨跨跨跨度度度度有有有有关关关关。所所所所以以以以，要要要要想想想想提提提提高高高高弯弯弯弯曲曲曲曲刚刚刚刚度，就应从上述各种因素入手。度，就应从上述各种因素入手。度，就应从上述各种因素入手。度，就应从上述各种因素入手。1 1、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗弯刚度EIEI 2 2、减小跨度或增加支承、减小跨度或增加支承、减小跨度或增加支承、减小跨度或增加支承 3 3、改变加载方式和支座位置、改变加载方式和支座位置、改变加载方式和支座位置、改变加载方式和支座位置 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形58 简单的静不定梁求解简单的静不定梁求解 简单的静不定梁求解 593-3=0lMA ABFAyFAxq4-3=1l ABMAFAyFAxFB532FBxBl AMAFAyFAxFBy633MBBl AMAFAyFAxFBxFBy3-3=0lMA ABFAyFAxq4-3=1l ABMAF60 用用用用“多多多多余余余余”反反反反力力力力代代代代替替替替“多多多多余余余余”约约约约束束束束，就就就就得得得得到到到到一一一一个个个个形形形形式式式式上上上上的的的的静静静静定定定定梁梁梁梁，该该该该梁梁梁梁称称称称为为为为原原原原静静静静不不不不定定定定梁梁梁梁的的的的相相相相当当当当系系系系统统统统，亦亦亦亦称称称称基基基基本本本本静定系静定系静定系静定系。基本静定系可不止一个l l q qA AB Bq qA AB BR RB Bq qB BA AMMA A求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。的基本方法。的基本方法。的基本方法。用“多余”反力代替“多余”约束，就得到一个形式上的静定61例题例题：求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。qA AB Bl l 例题：求图示静不定梁的支反力。qABl 62解解法法一一：将将将将支支支支座座座座B B看看看看成成成成多多多多余余余余约约约约束束束束，变变变变形形形形协协协协调条件为：调条件为：调条件为：调条件为：ABq ql l ABq qR RB B解法一：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：ABql AB63 解法二：解法二：将支座将支座将支座将支座A A对对对对截面转动的约束看成多截面转动的约束看成多截面转动的约束看成多截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件为：为：为：为：ABq ql l q qBAMMA A 解法二：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件64例例题题：为为为为了了了了提提提提高高高高悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁ABAB的的的的强强强强度度度度和和和和刚刚刚刚度度度度，用用用用短短短短梁梁梁梁CDCD加加加加固固固固。设设设设二二二二梁梁梁梁EIEI相相相相同同同同，试试试试求求求求：(1)(1)二二二二梁梁梁梁接接接接触触触触处处处处的的的的压压压压力力力力；(2)(2)加加加加固固固固前前前前后后后后ABAB梁梁梁梁最最最最大大大大弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的比比比比值值值值；(3)(3)加固前后加固前后加固前后加固前后B B点挠度的比值。点挠度的比值。点挠度的比值。点挠度的比值。P PABCDa aa a例题：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁65解：解：（1 1）变形协调条件为：）变形协调条件为：）变形协调条件为：）变形协调条件为：（2）（3）自行完成P PBACDR RD D解：（1）变形协调条件为：（2）（3）自行完成PBACDRD66例题例题：梁梁梁梁ABCABC由由由由ABAB、BCBC两段组成，两段梁的两段组成，两段梁的两段组成，两段梁的两段组成，两段梁的EIEI相相相相同。试绘制剪力图与弯矩图。同。试绘制剪力图与弯矩图。同。试绘制剪力图与弯矩图。同。试绘制剪力图与弯矩图。q qABCa aa a例题：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制67解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：变形协调条件为：变形协调条件为：其余自行完成！q qABBCR RB B解：变形协调条件为：其余自行完成！qABBCRB68例题例题：图示结构图示结构图示结构图示结构ABAB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EIEI，CDCD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EAEA，已知，已知，已知，已知P P、L L、a a。求。求。求。求CDCD杆所杆所杆所杆所受的拉力。受的拉力。受的拉力。受的拉力。P PA AB BC CD Da a例题：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA69解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：变形协调条件为：变形协调条件为：D Da aC CPA AB BC C解：变形协调条件为：DaCPABC70