相平面法课件

相平面法由庞加莱相平面法由庞加莱1895年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程统的运动过程位置和速度平面上的相轨迹，直观、形象、准确的反映位置和速度平面上的相轨迹，直观、形象、准确的反映了系统的稳定性、平衡状态和稳定精度，以及初始条件和参数对系统运动了系统的稳定性、平衡状态和稳定精度，以及初始条件和参数对系统运动的影响。其特点的影响。其特点绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一、二阶线性环节组合而成的非线性系统。非线性特性和一、二阶线性环节组合而成的非线性系统。相平面法相平面法 相平面法由庞加莱1895年首先提出。该1一、基本概念：基本概念：设非线性二阶系统可以常微方描述：设非线性二阶系统可以常微方描述：其中其中是是 x(t)和和的线性或非线性的线性或非线性函数。函数。方程方程的解可以用的解可以用 x(t)的时间函数曲的时间函数曲线表示，线表示，也可以用也可以用和和 x(t)的关系曲线表示，的关系曲线表示，而而 t 为为参变量。参变量。若已知若已知x和和的时间曲线如下图中（的时间曲线如下图中（b）和（）和（c）所示，则所示，则可根据任一时间点的可根据任一时间点的 x(t)和和的值，的值，一、基本概念：设非线性二阶系统可以常微方描述：其中2相平面法课件3得到以得到以 x(t)为横坐标，为横坐标，为纵坐标的相平面上的为纵坐标的相平面上的上图（上图（a）所示。）所示。相轨迹上对应的点，并由此获得一条相轨迹，如相轨迹上对应的点，并由此获得一条相轨迹，如1、相平面与相变量、相平面与相变量 x(t)和和系统运动的相变量（状态变量）；系统运动的相变量（状态变量）；由由 x 组成的直角坐标平面组成的直角坐标平面相平面。相平面。2、相轨迹、相轨迹相变量从初始时刻相变量从初始时刻对应的状态点对应的状态点 随着时间的推移，在相平面上运动形成随着时间的推移，在相平面上运动形成 的曲线的曲线基本概念（续）基本概念（续）基本概念（续）基本概念（续）得到以 x(t)为横坐标，为纵坐标的相平面上的上4相轨迹。相轨迹。3、相平面图：、相平面图：根据微分方程解的存在和唯一性定理，对于任一给根据微分方程解的存在和唯一性定理，对于任一给 定的初条，相平面上有一条相轨迹与之对应，多个定的初条，相平面上有一条相轨迹与之对应，多个初条下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇。而初条下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇。而由一簇相轨迹所组成的图形由一簇相轨迹所组成的图形相平面图。相平面图。二、相轨迹的绘制：二、相轨迹的绘制：二、相轨迹的绘制：二、相轨迹的绘制：（1）解析法、）解析法、（2）作图法、）作图法、（3）实验法）实验法（一）解析法：（一）解析法：求出相轨迹的解，再画出相轨迹。求出相轨迹的解，再画出相轨迹。基本概念（续）基本概念（续）基本概念（续）基本概念（续）相轨迹。3、相平面图：根据微分方程解的存在和5适用场合：（适用场合：（1）运动方程比较简单）运动方程比较简单（2）可以分段线性化）可以分段线性化例例1、如图所示，弹簧、如图所示，弹簧质量运动系统，质量运动系统，m 为物体质为物体质量，量，k 为弹性系数。为弹性系数。若初条为若初条为 试确定系统自由运动的相轨试确定系统自由运动的相轨迹。迹。解：解：相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）适用场合：（1）运动方程比较简单（2）可以分段线性化例1、如6可写为可写为 相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）可写为 相轨迹的绘制（续）7 整理有整理有 故该系统自由运动故该系统自由运动的相轨迹为以原点的相轨迹为以原点为圆心，为圆心，为半径的圆。为半径的圆。0相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）整理有 故该系统自由运动为半径的圆。0相轨迹的8例例2、理想继电器特性的非线性系统、理想继电器特性的非线性系统试绘制相轨迹。试绘制相轨迹。解：线性部分有解：线性部分有，而非线性部分有，而非线性部分有相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）例2、理想继电器特性的非线性系统试绘制相轨迹。解：线性部分9 相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）10可见：直线可见：直线c=r在此在此r=1 将相平面分成两个将相平面分成两个 区域区域I和和II。1）若初始条件处于）若初始条件处于A点点(II内内):2）过）过B点后：点后：3）过）过C点后又进入点后又进入II区：区：周而复始，周而复始，构成构成封闭曲线。封闭曲线。从从相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）可见：直线c=r在此r=11）若初始条件处于A点(II内11可见：时间响应呈周期运动状态。可见：时间响应呈周期运动状态。图解法图解法绘制相轨迹的作图方法有多种，如等倾线绘制相轨迹的作图方法有多种，如等倾线法、法、其中等倾线法以其简单实用而被普遍采用。其中等倾线法以其简单实用而被普遍采用。相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）相轨迹的绘制（续）可见：时间响应呈周期运动状态。图解法绘制相轨迹的作图121、等倾线法的基本思路：、等倾线法的基本思路：首先确定相轨迹的等倾线，首先确定相轨迹的等倾线，进而进而 绘制出相轨迹的切线方向场，绘制出相轨迹的切线方向场，然后从初条出然后从初条出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。发，沿方向场逐步绘制相轨迹。2、特点：、特点：不需求解微分方程。对于求解困难的非线不需求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程，显得尤为实用。性微分方程，显得尤为实用。3、方法：、方法：对于非线性系统对于非线性系统 其中其中是相轨迹的斜率；是相轨迹的斜率；图解法（续）图解法（续）1、等倾线法的基本思路：首先确定相轨迹的等倾线，进而 绘制出13 则有则有 根据这一方程可在相根据这一方程可在相平面上作一曲线，称为等倾线。平面上作一曲线，称为等倾线。当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相 等，均为等，均为 。取。取为若干不同为若干不同 的常数，即可在相平的常数，即可在相平 相平面上绘制出若干相平面上绘制出若干 条等倾线。条等倾线。在等倾线上各点处在等倾线上各点处作斜率为作斜率为的短直线，并的短直线，并以箭头表示切线方向，则以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。构成相轨迹的切线方向场。所以，根据给定的初始条件，从初始点出发，便可所以，根据给定的初始条件，从初始点出发，便可图解法（续）图解法（续）则有 根据这一方程可在相平面上作一曲线，称为等倾线14沿各条等倾线所决定的相沿各条等倾线所决定的相轨迹的切线方向依次画出轨迹的切线方向依次画出系统的相轨迹。系统的相轨迹。例例3、若已知、若已知试用等倾线法绘制试用等倾线法绘制系统的系统的相轨迹。相轨迹。解：解：图解法（续）图解法（续）沿各条等倾线所决定的相例3、若已知试用等倾线法绘制解：图解法15在作好等倾线的相平在作好等倾线的相平面图上，从初始点出面图上，从初始点出发顺时针将各小线段发顺时针将各小线段光滑的连接起来，便光滑的连接起来，便图解法（续）图解法（续）在作好等倾线的相平图解法（续）164、使用等倾线法绘制相轨迹应注意的问题：、使用等倾线法绘制相轨迹应注意的问题：坐标轴坐标轴x和和应选用相同的比例尺，否则等倾线应选用相同的比例尺，否则等倾线斜率不准确。斜率不准确。得到一条相轨迹。得到一条相轨迹。如从如从A点出发经过点出发经过B、C、D、E 最后逐渐趋于原点。最后逐渐趋于原点。在相平面的上半平面，在相平面的上半平面，相轨迹的走向应是由左向右；相反，在下半平面相轨迹的走向应是由左向右；相反，在下半平面 相轨迹的走向应是由右向左。相轨迹的走向应是由右向左。图解法（续）图解法（续）4、使用等倾线法绘制相轨迹应注意的问题：坐标轴x和应选17 除平衡点外，相轨迹与除平衡点外，相轨迹与x轴的相交处的切线斜率轴的相交处的切线斜率，即相轨迹与，即相轨迹与x轴垂直轴垂直相交。相交。一般的，等倾线分布越密，绘制的相轨迹越准确，一般的，等倾线分布越密，绘制的相轨迹越准确，但同时工作量也增大，而且还会使作图产生的积但同时工作量也增大，而且还会使作图产生的积累偏差增大，因此可采用平均斜率法累偏差增大，因此可采用平均斜率法取相邻取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。间直线的斜率。图解法（续）图解法（续）除平衡点外，相轨迹与x轴的相交处的切线斜率，即相轨18三、线性系统的相轨迹：三、线性系统的相轨迹：线性系统是非线性系统的特例。对于许多非线线性系统是非线性系统的特例。对于许多非线性一阶和二阶系统（系统所含非线性环节可用分段性一阶和二阶系统（系统所含非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究。而在折线表示），常可以分成多个区间进行研究。而在每个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分每个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分方程描述。另外，对于某些非线性微方，为研究各方程描述。另外，对于某些非线性微方，为研究各平衡状态附近的运动特性，可在平衡点附近作小偏平衡状态附近的运动特性，可在平衡点附近作小偏差法近似处理。因此，研究线性一阶、二阶系统的差法近似处理。因此，研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点就显得尤为重要。因此得出的结论相轨迹及其特点就显得尤为重要。因此得出的结论是非线性一、二阶系统相平面分析的基础。是非线性一、二阶系统相平面分析的基础。三、线性系统的相轨迹：线性系统是非线性系统的特19 线性一阶系统的相轨迹：线性一阶系统的相轨迹：设初始条件设初始条件 线性一阶系统的相轨迹：设初始条件20 线性二阶系统的相轨迹：线性二阶系统的相轨迹：其中其中A是初条决定的积分常数，此为同心椭圆。是初条决定的积分常数，此为同心椭圆。线性二阶系统的相轨迹：其中A是初条决定的积分常数，21可见：无论初条如何，经过可见：无论初条如何，经过衰减振荡，系统最终趋于平衰减振荡，系统最终趋于平衡点衡点原点。原点。其中其中由第三章知：由第三章知：都是由初条决定的常数。都是由初条决定的常数。由例由例3可知，可知，相轨迹为向心螺旋相轨迹为向心螺旋线，线，最终趋于原点。最终趋于原点。可见：无论初条如何，经过衰减振荡，系统最终趋于平其中由第三章22此时系统的暂态分量为非振此时系统的暂态分量为非振荡衰减形式。荡衰减形式。由第三章可知：由第三章可知：可以证明：此时的相轨迹是可以证明：此时的相轨迹是一簇通过原点的抛物线。一簇通过原点的抛物线。存在两条特殊的等倾线，其存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为：斜率分别为：此时系统的暂态分量为非振荡衰减形式。由第三章可知：可以证明：234、负阻尼：（分三种）、负阻尼：（分三种）系统特征根为一对具有系统特征根为一对具有正实部正实部的共轭复数根。的共轭复数根。系统自由运动为发散振系统自由运动为发散振荡形式。其相轨迹从原荡形式。其相轨迹从原点向外卷，为离心螺旋点向外卷，为离心螺旋线。线。4、负阻尼：（分三种）系统特征根为一对具有24系统特征根为两个正实根：系统特征根为两个正实根：系统自由运动呈非振荡发系统自由运动呈非振荡发散。其相轨迹存在两条特散。其相轨迹存在两条特殊的等倾线，其斜率分别殊的等倾线，其斜率分别为：为：相轨迹的曲线的形式与相轨迹的曲线的形式与 运动方向相运动方向相反。反。的情况相同，只是的情况相同，只是系统特征根为两个正实根：系统自由运动呈非振荡发为：相25正反馈二阶系统：正反馈二阶系统：相轨迹存在的两条特殊的等相轨迹存在的两条特殊的等倾线也是相轨迹，其斜率分倾线也是相轨迹，其斜率分 别为：别为：同时它同时它们又是其他相轨迹的渐近线们又是其他相轨迹的渐近线 此外作为相平面的分割线，还将相平面划分为四此外作为相平面的分割线，还将相平面划分为四正反馈二阶系统：相轨迹存在的两条特殊的等倾线也是相轨26当初条位于斜率为当初条位于斜率为的直线上时，系统的的直线上时，系统的运动将趋于原点，但只要受到极其微小的扰动，运动将趋于原点，但只要受到极其微小的扰动，系统的运动将系统的运动将偏离该相轨迹，并最终沿着斜率为偏离该相轨迹，并最终沿着斜率为的相轨迹的方向发散至无穷。所以正反馈二阶的相轨迹的方向发散至无穷。所以正反馈二阶 系统的运动是不稳定的。系统的运动是不稳定的。个具有不同运动状态的区域。个具有不同运动状态的区域。正反馈二阶系统（续）正反馈二阶系统（续）当初条位于斜率为的直线上时，系统的运动将趋于原点，但只要受到27四、奇点与奇线四、奇点与奇线 绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性。绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性。由于系统平衡点有无穷多条相轨迹离开或到达，所由于系统平衡点有无穷多条相轨迹离开或到达，所以平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特性。以平衡点附近的相轨迹最能反映系统的运动特性。因此平衡点是非常重要的特征点，很有必要加以讨因此平衡点是非常重要的特征点，很有必要加以讨论和研究。另外，系统的自激振荡状态也是人们非论和研究。另外，系统的自激振荡状态也是人们非常关心的问题。前者叫奇点，后者为极限环（奇线常关心的问题。前者叫奇点，后者为极限环（奇线最常见的形式）。最常见的形式）。四、奇点与奇线 绘制相轨迹的目的是为了分析系统28奇点：奇点：1、定义：、定义：以微方以微方表示的二阶系统，其相轨表示的二阶系统，其相轨迹迹上每一点切线的斜率为上每一点切线的斜率为若在某点处若在某点处 同时为同时为0，则称该点为相平面则称该点为相平面的奇点。的奇点。2、性质、性质：相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇 点。因此在奇点处多条相轨迹相交。点。因此在奇点处多条相轨迹相交。奇点：1、定义：以微方表示的二阶系统，其相轨迹上每29 在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足 相轨迹的切线斜率是一个确定相轨迹的切线斜率是一个确定 的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。由奇点定义知，奇点一定位于相平面的横轴上由奇点定义知，奇点一定位于相平面的横轴上。在奇点处在奇点处系统运动的速度和加速系统运动的速度和加速度同时为度同时为0。对于二阶系统来说，系统在奇点处不再发生运动，对于二阶系统来说，系统在奇点处不再发生运动，处于平衡状态，故相平面的奇点亦称为平衡点。且处于平衡状态，故相平面的奇点亦称为平衡点。且二阶系统的平衡点即为原点二阶系统的平衡点即为原点(0，0)。奇点（续）奇点（续）在相轨迹的非奇点（称为普通点）处，不同时满足 相轨迹303、线性二阶系统奇点的类型：、线性二阶系统奇点的类型：焦点焦点特征根为共轭复根特征根为共轭复根 3、线性二阶系统奇点的类型：焦点特征根为共轭复31 节点节点特征根为同号实根特征根为同号实根 节点特征根为同号实根32 鞍点鞍点一个特征根为正实根，另一个为负实根。一个特征根为正实根，另一个为负实根。中心点中心点一对共轭一对共轭 纯虚根。纯虚根。奇点（续）奇点（续）鞍点一个特征根为正实根，另一个为负实根。中心334、线性一阶系统的奇点：、线性一阶系统的奇点：只有原点是奇点只有原点是奇点 5、线性二阶系统的特殊情况：、线性二阶系统的特殊情况：奇点（续）奇点（续）当当b=0=0时，即时，即，此时奇点为横轴。，此时奇点为横轴。1）4、线性一阶系统的奇点：只有原点是奇点 5、线性二阶系统的特340奇点（续）奇点（续）0奇点（续）35 b 0:系统没有奇点。系统没有奇点。相轨迹有渐近相轨迹有渐近 线：线：0 b 0:系统没有奇点。0 b 0:系统没有奇点。系统没有奇点。相轨迹有渐近相轨迹有渐近 线：线：b 0:系统没有奇点。b 0:系统没有奇点。系统没有奇点。00 b 0:系统没有奇点。385）05）0396、非线性系统的奇点：、非线性系统的奇点：奇线奇线由上知，不同的奇点形式，系统在平衡点附近的由上知，不同的奇点形式，系统在平衡点附近的运动特性不同，线性系统可由奇点附近的运动特性运动特性不同，线性系统可由奇点附近的运动特性解析，可在某奇点附近进行解析，可在某奇点附近进行小偏差法近似，然后按线性二阶系统分析其类型。小偏差法近似，然后按线性二阶系统分析其类型。不解析，多含有用不解析，多含有用 分段折线表示的非线性分段折线表示的非线性因素，可将相平面分区，再分析，若对应的奇点位因素，可将相平面分区，再分析，若对应的奇点位于本区域内，则叫实奇点，否则为虚奇点。于本区域内，则叫实奇点，否则为虚奇点。若若6、非线性系统的奇点：奇线由上知，不同的奇点形式，系统40完全完全确定其性能。而非线性系统不能由奇点的形式确定其性能。而非线性系统不能由奇点的形式确定整个相平面上的运动状态，还需研究相平面上确定整个相平面上的运动状态，还需研究相平面上远离平衡点的相轨迹。远离平衡点的相轨迹。在离奇点较远的相平面上，非线性系统有时会在离奇点较远的相平面上，非线性系统有时会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线，特点的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线，最常见的形式是极限环。最常见的形式是极限环。1、极限环的定义：、极限环的定义：相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限 环，它对应的系统会产生自激振荡。环，它对应的系统会产生自激振荡。奇线（续）奇线（续）完全确定其性能。而非线性系统不能由奇点的形式奇线（续）412、极限环的类型：、极限环的类型：2）不稳定的极限环：）不稳定的极限环：环内的相轨迹和环外的环内的相轨迹和环外的相轨迹都逐渐远离极限环。相轨迹都逐渐远离极限环。3）半稳定的极限环：）半稳定的极限环：要么环内的相轨迹向极限要么环内的相轨迹向极限 环逼近，环外的远离而去；环逼近，环外的远离而去；1）稳定的极限环：）稳定的极限环：环内的相轨迹和环外环内的相轨迹和环外的相轨迹都向极限环的相轨迹都向极限环逼近，如右图。逼近，如右图。2、极限环的类型：2）不稳定的极限环：环内的相轨迹和环外42要么环外的相轨迹向极限要么环外的相轨迹向极限 环逼近，环内的远离而去。环逼近，环内的远离而去。3、说明：、说明：极限环将相平面分割成内部平面和外部平面，相极限环将相平面分割成内部平面和外部平面，相轨迹不能从内部直接穿过极限环而进入外部平面，轨迹不能从内部直接穿过极限环而进入外部平面，或者相反。或者相反。时的二阶系统的相轨迹虽然是一簇封闭的曲时的二阶系统的相轨迹虽然是一簇封闭的曲 线，但它不是极限环。线，但它不是极限环。只有稳定的极限环所对应的周期运动在实际系统只有稳定的极限环所对应的周期运动在实际系统运动过程中才可以观察得到。运动过程中才可以观察得到。奇线（续）奇线（续）要么环外的相轨迹向极限 环逼近，环内的远离而去。3、说明43将奇点类型的分析和极限环类型的判断结合起来，将奇点类型的分析和极限环类型的判断结合起来，就能对整个系统的运动特性做出分析。就能对整个系统的运动特性做出分析。例例4、已知一非线性系统、已知一非线性系统 试分析其运动特性。试分析其运动特性。解：解：ro奇线（续）奇线（续）将奇点类型的分析和极限环类型的判断结合起来，就能对整个系统的44最后得到以极坐标变量最后得到以极坐标变量描述的运动方程描述的运动方程当当时，为系统平衡点即奇点时，为系统平衡点即奇点（在原点（在原点的附近小偏差法近似）。为确定奇点的类型，的附近小偏差法近似）。为确定奇点的类型，需计算奇点处需计算奇点处 的一阶偏导数。的一阶偏导数。奇线（续）奇线（续）最后得到以极坐标变量描述的运动方程当时，为系统平衡点即45 将将在奇点附近线性化有在奇点附近线性化有在此可令在此可令奇线（续）奇线（续）将在奇点附近线性化有在此可令奇线（46 在此在此a=1,=1,b=1,=1,c=-1,=-1,d=1=1，则此时方程的特征根为一对，则此时方程的特征根为一对 具有正实部的共轭复数，所以奇点（具有正实部的共轭复数，所以奇点（0，0）为不稳）为不稳定焦点。定焦点。奇线（续）奇线（续）在此a=1,b=1,c=-1,d=1，则此时方程的特征根47 若若r11，所以圆外的相轨迹亦向单位圆逼近。所以圆外的相轨迹亦向单位圆逼近。，方程为，方程为即为即为时的相轨迹时的相轨迹为单位圆为单位圆且且奇线（续）奇线（续）若r148五、由相轨迹求取时间间隔：五、由相轨迹求取时间间隔：该系统的奇点为不稳定的焦点，说明平衡点的运动该系统的奇点为不稳定的焦点，说明平衡点的运动特性是不稳定的。而单位圆外的相轨迹是逼近单位圆特性是不稳定的。而单位圆外的相轨迹是逼近单位圆的，振荡幅值会越来越小。这说明：系统产生的是衰的，振荡幅值会越来越小。这说明：系统产生的是衰减振荡，且是有界的。减振荡，且是有界的。相轨迹能清楚地反映系统的状态变化，而确定时间相轨迹能清楚地反映系统的状态变化，而确定时间响应。周期运动的周期和过渡过程时间，都要涉及响应。周期运动的周期和过渡过程时间，都要涉及到由相轨迹确定时间到由相轨迹确定时间 t。常用下列三种方法：。常用下列三种方法：五、由相轨迹求取时间间隔：该系统的奇点为不稳定的焦点，说明49（由轨迹平均斜率求（由轨迹平均斜率求 t）：）：1、增量法、增量法设相轨迹上两点设相轨迹上两点的位移增量较小。的位移增量较小。设设为两点处为两点处的平均值，则的平均值，则相轨迹状态相轨迹状态变量变量（由轨迹平均斜率求 t）：1、增量法设相轨迹上两点的位移增50同理可求同理可求 以及时域指标。以及时域指标。注意：在选择相轨迹穿过横轴段的点时，应避免出注意：在选择相轨迹穿过横轴段的点时，应避免出最好是将其中一点选在横轴上。最好是将其中一点选在横轴上。现现 2、积分法（即面积法）、积分法（即面积法）根据相轨迹图，以根据相轨迹图，以 x 为横坐标，为横坐标，为纵坐标为纵坐标 ，曲线。曲线。画画出出同理可求 以及时域指标。注意：在选择相轨迹穿过横轴段的点51当时间轴由当时间轴由时有：时有：即为阴影面积，用即为阴影面积，用解析法或图解法均解析法或图解法均可求得此面积。可求得此面积。3、圆弧法、圆弧法 基本思路：基本思路：当时间轴由时有：即为阴影面积，用可求得此面积。3、圆弧法52在横轴上确定圆心和半径，用对应圆上的一段圆弧在横轴上确定圆心和半径，用对应圆上的一段圆弧近似表示相轨迹上的两点近似表示相轨迹上的两点 线，再计算系统沿着诸圆弧运动所需的时间。线，再计算系统沿着诸圆弧运动所需的时间。之间的曲之间的曲 方法：设圆心方法：设圆心 坐标坐标(A，0)，半径为半径为r，圆圆心到心到的连线与的连线与 x 轴轴在横轴上确定圆心和半径，用对应圆上的一段圆弧近似表示相轨迹上53正方向的夹角分别为正方向的夹角分别为弧上任一点弧上任一点正方向的夹角分别为弧上任一点54 用相平面法分析非线性系统时，通常会遇到两类问题。用相平面法分析非线性系统时，通常会遇到两类问题。一类是系统的非线性方程可解析处理的，称为非本质性非线一类是系统的非线性方程可解析处理的，称为非本质性非线性，即在奇点附近将非线性方程线性化，然后根据线性化方性，即在奇点附近将非线性方程线性化，然后根据线性化方程式中根的性质确定奇点的类型，并用图解法或解析法画出程式中根的性质确定奇点的类型，并用图解法或解析法画出奇点附近的相轨迹。另一类非线性方程是不可解析处理的，奇点附近的相轨迹。另一类非线性方程是不可解析处理的，称为本质性非线性。对于这类非线性系统，一般将非线性元称为本质性非线性。对于这类非线性系统，一般将非线性元件的特性作分段线性化处理，即把整个相平面分成若干个区件的特性作分段线性化处理，即把整个相平面分成若干个区域，使每一个区域成为一个单独的线性工作状态，有其相应域，使每一个区域成为一个单独的线性工作状态，有其相应的微分方程和奇点，再应用线性系统的相平面分析方法，求的微分方程和奇点，再应用线性系统的相平面分析方法，求得各个区域内的相轨迹，将他们拼接起来，就得到整个系统得各个区域内的相轨迹，将他们拼接起来，就得到整个系统的相平面图。的相平面图。用相平面法分析非线性系统时，通常会遇到两类问题55非线性系统的相平面分析（续）非线性系统的相平面分析（续）这些曲线中折线的各转折点，构成了相平面区这些曲线中折线的各转折点，构成了相平面区域的分界线，称为开关线。这种方法不仅能分析二域的分界线，称为开关线。这种方法不仅能分析二阶系统自由运动特性，也能分析系统在外界作用下阶系统自由运动特性，也能分析系统在外界作用下的运动特性，并能确定系统运动的性能指标，如运的运动特性，并能确定系统运动的性能指标，如运动时间、运动速度、超调量等。动时间、运动速度、超调量等。8.6.1 非本质性非线性系统非本质性非线性系统【例例1】求由下列方程所描述系统的相轨迹图，并分析该求由下列方程所描述系统的相轨迹图，并分析该 系统奇点的稳定性。系统奇点的稳定性。非线性系统的相平面分析（续）这些曲线中折线的56非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）解解 系统相轨迹微分方程为系统相轨迹微分方程为则求得系统的两个奇点为则求得系统的两个奇点为 为确定奇点类型，需计算各奇点处的一阶偏导数为确定奇点类型，需计算各奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程。及增量线性化方程。非本质性非线性系统（续）解 系统相轨迹微分方程为则求得系统57非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）(1)奇点（奇点（0，0）处）处:增量线性化方程为增量线性化方程为特征根为特征根为 故奇点（故奇点（0，0）为稳定焦点。）为稳定焦点。(2)奇点（奇点（-2，0）处）处:非本质性非线性系统（续）(1)奇点（0，0）处:增量线性化方58增量线性化方程为增量线性化方程为特征根为特征根为 故奇点（故奇点（-2，0）为鞍点。）为鞍点。非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）根据奇点的位置和奇点类型，根据奇点的位置和奇点类型，结合线性系统奇点类型和系结合线性系统奇点类型和系统运动形式的对应关系，绘统运动形式的对应关系，绘制本系统在各奇点附近的相制本系统在各奇点附近的相轨迹，应用等倾线法绘制其轨迹，应用等倾线法绘制其它区域的相轨迹，获得系统它区域的相轨迹，获得系统的相平面图。的相平面图。增量线性化方程为特征根为 故奇点（-2，0）为鞍点。非本质性59非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）图中相交于鞍点（图中相交于鞍点（-2，0）的两条相）的两条相轨迹为奇线，将相平面划分为两个轨迹为奇线，将相平面划分为两个区域，相平面中阴影线内区域为系区域，相平面中阴影线内区域为系统的稳定区域，阴影线外区域为系统的稳定区域，阴影线外区域为系统的不稳定区域。如果状态的初始统的不稳定区域。如果状态的初始点位于图中的阴影区域内，则其相点位于图中的阴影区域内，则其相轨迹将收敛于坐标原点，相应的系轨迹将收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。如果状态的初始点位统是稳定的。如果状态的初始点位于图中的阴影区域外，则其相轨迹于图中的阴影区域外，则其相轨迹会趋于无穷远处，表示相应的系统会趋于无穷远处，表示相应的系统是不稳定的。是不稳定的。非本质性非线性系统（续）图中相交于鞍点（-2，0）的两条相轨60由此可见，非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。由此可见，非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）【例例2】设一阶非线性系统的微分方程为设一阶非线性系统的微分方程为 试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。定性，并作出系统的相轨迹。所以系统有所以系统有3个平衡状态。个平衡状态。在每一个平衡点处，将系统线性化处理，省略在每一个平衡点处，将系统线性化处理，省略增量符号增量符号“”，则有：，则有：由此可见，非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。非本质性61非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）所以线性化方程为所以线性化方程为 其特征方程为：其特征方程为：非本质性非线性系统（续）所以线性化方程为 其特征方程为：62所以线性化方程为所以线性化方程为 其特征方程为：其特征方程为：所以线性化方程为所以线性化方程为 其特征方程为：其特征方程为：非本质性非线性系统（续）非本质性非线性系统（续）所以线性化方程为 其特征方程为：所以线性化方程为 其特征方程638.6.2 本质性非线性系统本质性非线性系统本质性非线性系统相平面分析法的步骤如下：本质性非线性系统相平面分析法的步骤如下：(1)(1)根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立根据非线性特性将相平面划分为若干区域，建立 每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性。每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性。每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性。每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性。(2)根据分析问题的需要，适当选择相平面坐标轴，根据分析问题的需要，适当选择相平面坐标轴，通常为通常为(3)根据非线性特性建立相平面上开关线方程。必须根据非线性特性建立相平面上开关线方程。必须 注意：开关线方程的变量应与坐标轴所选坐标变注意：开关线方程的变量应与坐标轴所选坐标变 量一致。量一致。(4)求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹。求解每个区域的微分方程，绘制相轨迹。8.6.2 本质性非线性系统本质性非线性系统相平面分析法的步64本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）（5）平滑的将各区域的相轨迹连起来，得到整个系）平滑的将各区域的相轨迹连起来，得到整个系 统的相轨迹。据此分析非线性系统的运动特性。统的相轨迹。据此分析非线性系统的运动特性。例例1、如图所示系统在、如图所示系统在t=0时加上一个幅值为时加上一个幅值为6的阶跃的阶跃 信号，系统地初状为信号，系统地初状为问经过多问经过多多少秒系统状态可到达原点。多少秒系统状态可到达原点。本质性非线性系统（续）（5）平滑的将各区域的相轨迹连起来，得65解：（解：（1）列写运动方程：）列写运动方程：又有又有c=r-e,代入初始条件有：代入初始条件有：本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）解：（1）列写运动方程：又有c=r-e,代入初始条件66则相轨迹为抛物线，从则相轨迹为抛物线，从A(6，0)出发到出发到B（2，-2）则相轨迹仍为抛物线，则相轨迹仍为抛物线，从从B点到点到C点（点（-1，1）本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）则相轨迹为抛物线，从A(6，0)则相轨迹仍为抛物线，本质性非67在在I区：区：代入初条代入初条，得，得则相轨迹从则相轨迹从c点到原点。点到原点。本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）在I区：代入初条，得则相轨迹从c点到原点。本质性非线性系68（2）从）从A到原点的到原点的本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）（2）从A到原点的本质性非线性系统（续）69 例例2、如图所示为带有死区的继电器非线性系统，设、如图所示为带有死区的继电器非线性系统，设试分析该系统的试分析该系统的运动特性。运动特性。本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）例2、如图所示为带有死区的继电器非线性系统，设试分析该系统70解：解：等倾线为一系列平行于等倾线为一系列平行于e轴的直线。轴的直线。本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）解：等倾线为一系列平行于e轴的直线。本质性非线性系统（续）71，与，与I区相反区相反.分析：分析：1）在直线在直线 e=a 和和 e=-a 处，相轨迹发生了转折，处，相轨迹发生了转折，此为开关线。此为开关线。本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续），与I区相反.分析：1）在直线 e=722）代入（代入（1）、（）、（2）、（）、（3)式，但式，但（1）、（）、（3）式均无解，）式均无解，而（而（2）式的解是）式的解是在在II区内区内上的所上的所有点都是奇点有点都是奇点奇线。奇线。3）则由初条确定的点则由初条确定的点出发，轨迹经过出发，轨迹经过最后最后终止在终止在点，而且在点，而且在 本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）2）代入（1）、（2）、（3)式，但（1）、（3）式均无解，73处继电器的工作状态都发生了转折。处继电器的工作状态都发生了转折。处为正向最大值误差，处为正向最大值误差，大值，大值，在终点在终点处仍有残余误差。处仍有残余误差。这是由于继这是由于继电器特性带有死区。电器特性带有死区。当误差的绝对值小于死区当误差的绝对值小于死区特性值时，非线性环节无输出，系统处于平衡特性值时，非线性环节无输出，系统处于平衡另外，另外，为负向为负向最最状态。状态。本质性非线性系统（续）本质性非线性系统（续）处继电器的工作状态都发生了转折。处为正向最大值误差，大值74