专升本《高等数学》课程应试策略课件

专升本专升本高等数学高等数学课程的应试策略课程的应试策略 辅导教师：闫新生 应试总体策略应试总体策略 一、应试前，对考题类型心中有数；二、应试前，对考试涉及的知识点心中有数；三、应试前，对每类题型的求解方法心中有数；四、应试前，对常用的数学知识公式、性质、法则心中有数 心中有数，坦然应试！往年考题题型及各题型所占分值往年考题题型及各题型所占分值往年考题题型及各题型所占分值往年考题题型及各题型所占分值 2001年 2002年 2003年 2004年 选择题 30分 50分 60分 50分 填空题 20分 30分 30分 30分 判断题 10分 10分 计算题 36分 40分 40分 40分 应用题 10分 14分 14分 14分 证明题 4分 6分 6分 6分 2002年以来，往年试卷的分值及考试时间一直保持不变（试卷总分150分，考试时间为150分钟。），历年题型见下表：考试知识点及每个知识点在考卷中的比例考试知识点及每个知识点在考卷中的比例 考试内容 所占比例 函数、极限与连续 约30%一元函数的微分学 约32%一元函数的积分学 约30%多元函数微积分 约30%向量代数与空间解析几何 约8%无穷级数 约10%常微分方程 约10%历年来，专升本考试的数学内容是固定的，总体上有四部分，它们分别是：一元函数的微积分；多元函数的微积分（包括空间解析几何知识）；常微分方程；无穷级数。具体内容及所占比例如下表：每类题型的求解方法指导每类题型的求解方法指导一、单项选择题的求解方法 方法一：直接求解法。即从题设条件出发，经过合理的演算、推 理得出结论，然后，观察选项中哪一个符合要求。举例：例1 当 时，无穷小 是比 的（）高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 指导：比较两个无穷小阶数的高低，方法是：求二者商的极限。注：请注意解题方法！这种题是每年必考题。例 2 设向量 则向量 与 的夹角为 （）、指导：求两向量的夹角时，可利用它们的数量积公式进行计算。例 级数 的敛散性为（）绝对收敛 条件收敛 发散 敛散性不能确定指导：这类题求解时，应首先看是否绝对收敛？很明显，其绝对值级数为：，的 级数，收敛方法二：逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验，从中找出符合题设的选项。举例：例 1 下列函数中，是函数 的原函数的是 （）、指导：作这个题就需要逐一验证，首先，你应明白何谓“原函数”？，然后逐一检验。如果，的一个原函数。，其余都不满足，故应选。注：原函数的概念也很重要，要牢记。例在区间上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（）、指导：该题的求解，应在掌握罗尔定理条件的基础上，对四个选项逐一验证。罗尔定理的条件是：上函数连续；内函数可导该题的四个选项中，、满足定理条件，而不满足。方法三：排除法。即首先排除明显错误的选项，逐步缩小选择范围，再进行比较和验证，最终选择一个正确答案。举例 例 1 已知 ，则 等于（）。指导 该题可用“方法一”-直接求解法寻求答案。只需作变换，令 ，即可得到 的关系式，进而得 。也可用 恒等变形的办法求得 。该题也可用排除法求解。由已知，当 时，会得 ，而将 代入4个选项中，分别得 、4、4、0，因此，选项A、D可排除。再令 ，会得 ，而将 代入B选项，得数9，因此B可排除，最后，选C.A、B、C、D、例 2 等于（）；A BC D指导：因该题是求微分的，结果中应含微分记号 ，故A、B选项可排除；再根据可变上限的积分求导性质，最终应选C.方法四：赋值验证法。即将条件中的变量或关系式，赋给一些合乎要求的数值或关系式，会得一结论；再观察选项中哪一个选项与命题结论相符。举例：例 1 满足方程 的函数 是（）A、B、C、D、指导：在方程中，令，可得，满足此条件的函数有和，又方程两边求导得，满足该条件的只有，故D正确。例已知，且，则函数在处（）A、导数存在，且 ；B、导数一定不存在；C、取得极大值 ；D、取得极小值。指导：取满足条件的函数，由该函数的性质知，A、B 、C全错，故选D例设，则等于（）；A、B、C、D、指导：由已知条件，将代入，可得，而在四个选项中，满足条件的只有B.方法五：图像法。即借助函数的图像直观地判断函数的性质、状态举例：例1 设 在区间 上可导，且 ，则函数 在 内（）；A、至少有两个零点；B、有且仅有一个零点；C、没有零点；D、零点的个数不确定指导：由于 ，知函数严格递增，又 ，于是，函数图像 如图，直观可看到B选项正确。例 2 函数 在点 处（）；A、无定义；B、不连续；C、连续不可导；D、连续又可导。指导：函数的图像如图，C选项正确。方法六：变量替换法。即通过变量替换，把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式，进而解答问题的方法。举例：例1 曲线 在 处（）；A、有极大值 B、有极小值 C、有拐点 D、无拐点指导：令 ，命题转化为判断 在 处的性态；的曲线形 状大家比较熟悉，如图，正确答案为C.例2 设级数 在点 处收敛，则级数在 处（）；A、绝对收敛；B、条件收敛；C、发散；D、敛散性不定指导：令 ，该命题可化为，级数 在 处收敛 问 处的敛散性；由绝对收敛定理知，A选项正确。二、填空题的求解方法 填空题往往考察某一知识点中的基本概念、基本性质、基本运算；因此，做这样的题需按照以下方法进行：方法一：紧扣知识点，顺藤摸瓜。即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么知识，然后再据这一知识的概念、性质、运算，推得结论进而得出答案。举例 例1 极限 ；指导：很明显，该题是一道极限计算题，如何求极限呢？总体方法是，先判断极限类型，然后按照这种类型的极限求法求极限。该极限可看到是 极限，于是，可用罗比塔法则、可用等价无穷小的替换，也可用重要极限等方法求极限。极限值是例 2 设 ，则 指导：该题是考察导数概念的题，要把导数定义中的极限与所给极限比较，进而求得极限。通过比较和恒等变形，可得极限为-3。例3 指导：该题含有求导符号，因此是求导运算题，又被求导的函数是积分上限函数，于是，求导时要利用积分上限函数的性质。被求导的函数是 与 复合而成的函数，故其导数为：方法二：注重技巧，少走弯路。即有些题型的求解是有技巧的，方法正确，易于求出结果，方法不恰当，解题就困难。几个重要结论：等等举例 例1 _ ;指导:该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果。请你一定要记住这些公式！请你一定要记住这些公式！例2 积分 指导：该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间，因此，使我们想到考虑被积函数的奇偶性；容易知道，被积函数是奇函数，故积分为0。例3 积分指导：该题入手方法同例2，具体如下：例4 设直线 在平面 内，则常 数 =；指导：直线在平面内，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直 从而，它们的数量积为零。三、判断题的求解方法 判断题常常考试容易模糊的概念、容易出错的运算、容易迷糊的性质。这类题的求解需注意以下几点：、理清概念。如：对于一元函数，对于多元函数，、牢记运算性质。如：如果 如果级数 对于一元函数 ，严格运算，注重细节。举例 例1 判断下列命题是否正确？、如果函数 在点 处无定义，则 不存在；、如果函数 在点 处不可导，则曲线 在 处无切线；、如果函数 在点 处的两个偏导数皆存在；那 么函数 在点 处全微分存在；、如果 ，则 。、如果 ，则级数 收敛；、如果函数 在 处取得极值，则 ；、如果点 是曲线 的拐点，则 ；、；、设 ，则 ；设 ，；提示：这类问题很多，请细心思考！四、计算题的求解方法 这几年，专升本试卷中计算题的类型是较固定的，每年都是8个题，且它们分别是：、求一元函数的极限；、求一元函数的导数；、求一元函数的不定积分；、求一元函数的定积分；、多元复合函数的求偏导；、二重积分的计算；、将函数展开成幂级数（或求幂级数的收敛区间）；、常微分方程的求解。、一元极限的求解方法：求极限时，应首先判断极限类型，然后才能选择合适的方法；这几年的求极限题皆为不定式极限，总体的方法是用罗比塔法则求极限；当然，在求极限过程中，也要考虑其它求极限的技巧，以便更快地求出极限来。举例 例1 求指导：首先看能否代入求极限，通过判断发现不能，该极限是 型不定式极限，可考虑用罗比塔法则求极限。（也可用等价无穷小替换求解）、一元函数的求导方法求一元函数的导数时，应首先看该函数的结构，判断是复合函数，还是四则运算产生的函数，还是幂指函数，还是隐函数，然后按相应的求导法则求导数。举例：例1 设指导：该函数是幂指函数，可用对数求导法求导数，也可用复合求导法则求导数。、求一元函数积分的方法 无论一元不定积分还是定积分，求积分时，首先要看被积函数的结构，看它属于哪个积分方法的可积类型，然后，按相应的方法积分。如：被积函数中含有根式时，要利用变换换元脱去根式进行积分；被积函数是对数或反三角函数时，用分部积分法积分等。举例：例1 求下列积分：指导对第一个积分容易看到，被积函数无微分关系，只能用分部积分法积分，且注意到：，故积分如下：对于第二个积分，被积函数特点是含有根式，于是，可用换元 积分法积分。具体如下：方法二：凑微分法。具体如下例2 求积分 指导这两个积分皆为定积分，从积分的特征看到，第一个积分是偶函数在对称区间上的积分，且被积函数可化简，然后用凑微分法积分；第二个积分，从特征看，需用分部积分法积分具体如下：解多元复合函数偏导数的求法指导：这几年，多元复合函数的偏导计算题，往往是含字母的抽象函数的求导，关键要弄明白变量间的关系，然后按变量间的关系连线图求导。举例 例 设 其中 皆具有二阶连续的偏 导数，求指导 首先应明确，求导次序是：先对 求偏导，然后对 求偏导；具体求导时，函数是两项的和，需分别求导向加；而每一项又是复合函数，需用复合求导法则求导。解 二重积分的计算 计算二重积分是一类很重要的运算，每年必考。计算的总体方法是：先画出积分区域；根据积分区域特征、被积函数特征，选择坐标系；在该坐标系内，把积分区域用不等式表示；把二重积分化为二次积分计算。举例例求积分，其中是圆在第一象限中的部分。解积分区域如图所示区域可表示为：于是，（在内，）幂级数的展开或运算指导：把函数展开为幂级数时，常常用间接的方法；这其中需要记几个常用函数的幂级数展开式，如：，利用它们的展开式，利用级数的运算，可间接地把一些函数展开成幂级数。举例例将函数展开成的幂级数，并求其收敛区间。指导首先，需把该分式函数分解为简单分式，然后，再展开成幂级数。解（让函数中出现）在将展开成幂级数时，其收敛区间为：；在将展开成幂级数时，其收敛区间为：，故，已知函数展开的级数的收敛区间是微分方程的求解指导微分方程求解的方法是：先判断方程的类型，然后，根据方程的特点，选择合适的求解方法。举例例求微分方程满足条件及的解。指导：该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，首先，求其齐次方程的通解，然后，构造非齐次方程的特解，进而，得到非齐次方程的通解。最后，将初始条件代入，求出满足条件的特解。解：方程的特征方程为：，于是，特征根为于是，有齐次方程的通解又，自由项 是特征方程的单根；故，可设方程的特解为 ，代入原方程得：原方程的通解为将初始条件代入，得满足条件的解：五、应用题的求解指导指导：这几年来，专升本考试的应用题皆为两类。一类是多元偏导数的应用（求实际中的极值或条件极值）；一类是一元定积分的应用（求平面图形的面积或旋转体的体积）。这些我们在平时辅导时已多次讲解具体题的求解。举例 例1 某工厂生产两种商品的日产量分别为 和 （单位：件）总成本函数（单位：元）如果商品的限额为，试求最小成本。指导：该题明显是要求函数，在条件：下的极值。方法一：可化为无条件极值；方法二利用拉格朗日乘数法。解令对上式求各个偏导数，并令其为零，有：解之，得：，因为这是唯一的驻点，于是，它就是取得最小值的点。最小成本为：例如图，把抛物线在横坐标及之间部分与及两直线所围成平面图形绕 轴旋转一周求旋转体体积；当 取何值时，上面所求体积等于三角形OPC绕 轴旋转而成的旋转体体积。六、证明题的求解指导指导：专升本考试证明题从历年看，有两类，一类是证明方程 根的存在性；一类是证明不等式的成立。证明方程根的存在性的方法是：证明方程有唯一（或几个）根的方法是：利用零点定理说明根的存在性；利用函数的单调性、极值等说明函数根的个数问题证明方程至少有一个（或几个）根的方法：证明至少有一个根，可利用零点定理；或者，将方程化为：的形式，然后利用罗尔定理证明。证明至少有几个根，需证明已知区间可分成几个小区间，每个小区间内至少有一个根。证明不等式成立的方法：利用函数的单调性证明不等式；利用最值情况证明不等式利用曲线的凸凹性证明不等式；利用微分中值定理证明。祝同学们考出好成绩！心想事成，马到成功！专升本专升本高等数学高等数学课程的应试策略课程的应试策略报告人：闫新生