资源描述
Ch4-1第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征用一个数描写随机变量某一方面的概率特性用一个数描写随机变量某一方面的概率特性用一个数描写随机变量某一方面的概率特性用一个数描写随机变量某一方面的概率特性q随机变量的平均取值随机变量的平均取值随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学期望数学期望数学期望数学期望.q 随机变量取值平均偏离平均值的情况随机变量取值平均偏离平均值的情况随机变量取值平均偏离平均值的情况随机变量取值平均偏离平均值的情况 方差方差方差方差.q 描述两个随机变量之间的某种关系的数描述两个随机变量之间的某种关系的数描述两个随机变量之间的某种关系的数描述两个随机变量之间的某种关系的数 协方差与相关系数协方差与相关系数协方差与相关系数协方差与相关系数.1 1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望1 数学期望的概念数学期望的概念数学期望的概念数学期望的概念 加权平均加权平均加权平均加权平均引例引例引例引例 测量了测量了测量了测量了5050个圆柱形零件的直径，分别为个圆柱形零件的直径，分别为个圆柱形零件的直径，分别为个圆柱形零件的直径，分别为 10 10cm cm 1515个个个个 ，9 9cm 7cm 7个，个，个，个，11 11cm 10cm 10个个个个 ，12 12cm 10cm 10个，个，个，个，8 8cm cm 8 8个个个个.则这则这则这则这5050个零件的平均直径为个零件的平均直径为个零件的平均直径为个零件的平均直径为Ch4-3从另一个角度看从另一个角度看从另一个角度看从另一个角度看 从这从这从这从这5050个零件中任取一个个零件中任取一个个零件中任取一个个零件中任取一个零件，它的尺寸为随机变量零件，它的尺寸为随机变量零件，它的尺寸为随机变量零件，它的尺寸为随机变量X,XX,X 的概率分布的概率分布的概率分布的概率分布为为为为X P 8 9 10 11 12则这则这则这则这5050个零件的平均直径为个零件的平均直径为个零件的平均直径为个零件的平均直径为称之为这称之为这称之为这称之为这5 5个数字的加权平均，数学期望的个数字的加权平均，数学期望的个数字的加权平均，数学期望的个数字的加权平均，数学期望的概念源于此概念源于此概念源于此概念源于此定义定义定义定义 设设设设 X X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为若级数若级数若级数若级数绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，则称其和为随机变量，则称其和为随机变量，则称其和为随机变量，则称其和为随机变量 X X 的的的的数学期望数学期望数学期望数学期望(Expectation)(Expectation)记作记作记作记作 E E(X X)Ch4-5定义定义定义定义 设设设设 X X 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为若广义积分若广义积分若广义积分若广义积分绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，则称此积分为随机变量，则称此积分为随机变量，则称此积分为随机变量，则称此积分为随机变量 X X 的的的的数学期望数学期望数学期望数学期望(Expectation)记作记作记作记作 E E(X X)例例 X PX P(),),求求求求E E(X X).解解解解例例 X X 服服服服 从从从从 0 1 0 1 分布，分布，分布，分布，求求求求E E(X X).例例 X N X N(,2 2),),求求求求E E(X X).解解解解Ch4-8注意注意注意注意：不是所有的随机变量都有数学期望：不是所有的随机变量都有数学期望：不是所有的随机变量都有数学期望：不是所有的随机变量都有数学期望例如：例如：例如：例如：CauchyCauchy分布的密度函数为分布的密度函数为分布的密度函数为分布的密度函数为但但但但发散发散发散发散它的数学期望不存在它的数学期望不存在它的数学期望不存在它的数学期望不存在Ch4-92 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望q 设设设设X X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为Y=gY=g(X X),),若级数若级数若级数若级数绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，则，则，则，则q 设设设设X X 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为f f(x x)Y=gY=g(X X),),绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，则，则，则，则若广义积分若广义积分若广义积分若广义积分Ch4-10q 设设设设(X,Y X,Y)为二维离散型随机变量，概率分布为为二维离散型随机变量，概率分布为为二维离散型随机变量，概率分布为为二维离散型随机变量，概率分布为Z=gZ=g(X,Y X,Y),),绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，则，则，则，则若级数若级数若级数若级数q 设设设设(X,Y X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,密度函数为密度函数为密度函数为密度函数为 f f(x,yx,y)Z=gZ=g(X,Y X,Y),),绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，则，则，则，则若广义积分若广义积分若广义积分若广义积分Ch4-11几个重要的随机变量函数的数学期望几个重要的随机变量函数的数学期望几个重要的随机变量函数的数学期望几个重要的随机变量函数的数学期望 X X 的的的的 k k 阶原点矩阶原点矩阶原点矩阶原点矩 X X 的的的的 k k 阶绝对原点矩阶绝对原点矩阶绝对原点矩阶绝对原点矩 X X 的的的的 k k 阶中心矩阶中心矩阶中心矩阶中心矩 X X 的的的的 方差方差方差方差Ch4-12 X,Y X,Y 的的的的 k+lk+l 阶混合原点矩阶混合原点矩阶混合原点矩阶混合原点矩 X,Y X,Y 的的的的 k+lk+l 阶混合中心矩阶混合中心矩阶混合中心矩阶混合中心矩 X,Y X,Y 的的的的 二阶混合原点矩二阶混合原点矩二阶混合原点矩二阶混合原点矩 X,Y X,Y 的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩 X,Y X,Y 的协方差的协方差的协方差的协方差 X,Y X,Y 的相关系数的相关系数的相关系数的相关系数Ch4-13例例例例 设设设设(X,Y X,Y)N N(0,1;0,1;0),(0,1;0,1;0),求求求求的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望.解解解解例例例例 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X X 吨吨吨吨 ，X X U U 2000,4000,2000,4000,每每每每出出出出售售售售一一一一吨吨吨吨可可可可赚赚赚赚3 3万万万万元元元元 ,售售售售不不不不出出出出去去去去，需需需需要要要要降降降降价价价价处处处处理理理理，则则则则每每每每吨吨吨吨亏亏亏亏损损损损1 1万万万万元元元元，问问问问应应应应该该该该生产这中商品多少吨生产这中商品多少吨生产这中商品多少吨生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？Ch4-173 3 数学期望的性质：数学期望的性质：数学期望的性质：数学期望的性质：q E E(C C)=)=C Cq E E(aX aX)=)=a Ea E(X X)q E E(X+Y X+Y)=)=E E(X X)+)+E E(Y Y)q 当当当当X,Y X,Y 相互独立时，相互独立时，相互独立时，相互独立时，E E(X Y X Y)=)=E E(X X)E E(Y Y).).q 若存在常数若存在常数若存在常数若存在常数 a a 使使使使 P P(X X a a)=1,)=1,则则则则 E E(X X)a a ；若存在常数若存在常数若存在常数若存在常数 b b 使使使使 P P(X X b b)=1,)=1,则则则则 E E(X X)b.b.注：逆命题不成立，即注：逆命题不成立，即注：逆命题不成立，即注：逆命题不成立，即 E E(X Y X Y)=)=E E(X X)E E(Y Y)X X，Y Y 不一定不一定不一定不一定 相互独立，相互独立，相互独立，相互独立，反例有兴趣见后续反例有兴趣见后续反例有兴趣见后续反例有兴趣见后续Ch4-18例例 X BX B(n,pn,p),),求求求求E E(X X).解解解解1 1例例 X BX B(n,pn,p),),求求求求E E(X X).解解解解2 2 用性质用性质用性质用性质 引入随机变量引入随机变量引入随机变量引入随机变量1 1 第第第第i i 次试验事件次试验事件次试验事件次试验事件A A发生发生发生发生0 0 第第第第 i i 次试验事件次试验事件次试验事件次试验事件A A不发生不发生不发生不发生则则易计算易计算故故故故Ch4-20P112 P112 常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布分布分布分布期望期望期望期望概率分布概率分布概率分布概率分布参数为参数为参数为参数为p p 的的的的 0-10-1分布分布分布分布pB(n,p)npP()几何分布几何分布Ch4-21分布分布分布分布期望期望期望期望概率密度概率密度概率密度概率密度区间区间区间区间(a,ba,b)上的上的上的上的均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布E()N(,2)Ch4-22例例例例 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y X,Y)的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为求求求求E E(X X),),E E(Y Y),),E E(X X+Y Y),),E E(X YX Y),),E E(Y/XY/X)解解解解 Ch4-23数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质Ch4-24数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质数学期望的性质注意：注意：注意：注意：X,Y X,Y 相互独立相互独立相互独立相互独立Ch4-25Ch4-27例例例例 将将将将 4 4 个球随机地放入个球随机地放入个球随机地放入个球随机地放入 4 4 个盒子中，每盒容纳个盒子中，每盒容纳个盒子中，每盒容纳个盒子中，每盒容纳 的球数无限，求空着的盒子数的数学期望的球数无限，求空着的盒子数的数学期望的球数无限，求空着的盒子数的数学期望的球数无限，求空着的盒子数的数学期望.解一解一解一解一 设设设设 X X 为空着的盒子数，则为空着的盒子数，则为空着的盒子数，则为空着的盒子数，则 X X 的概率分布为的概率分布为的概率分布为的概率分布为X X P P0 1 2 3Ch4-28解二解二解二解二 再引入再引入再引入再引入 X X i i ,i=,i=1,2,3,4 1,2,3,4Xi P0 1 Ch4-29例例例例 五个独立元件，五个独立元件，五个独立元件，五个独立元件，寿命分别为寿命分别为寿命分别为寿命分别为都服从参数为都服从参数为都服从参数为都服从参数为 的指数分布，若将它们的指数分布，若将它们的指数分布，若将它们的指数分布，若将它们 (1)(1)串联；串联；串联；串联；(2)(2)并联并联并联并联成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值.解解解解(1)(1)设整机寿命为设整机寿命为设整机寿命为设整机寿命为 N,N,即即即即 N EN E(5(5 ),),Ch4-30(2)(2)设整机寿命为设整机寿命为设整机寿命为设整机寿命为 Ch4-31例例 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验血.验血方案有验血方案有如下两种：如下两种：分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；分组化验分组化验,k 个人的血混在一起化验个人的血混在一起化验,若结果若结果为阴性为阴性,则只需化验一次则只需化验一次;若为阳性若为阳性,则对则对 k 个人的血逐个化验个人的血逐个化验,找出有病者找出有病者,此时此时 k 个个人的血需化验人的血需化验 k+1 次次.设每人血液化验设每人血液化验呈阳性的概率为呈阳性的概率为 p,且每人化验结果是相互独且每人化验结果是相互独立的立的.试说明选择哪一方案较经济试说明选择哪一方案较经济.解解 只须计算方案只须计算方案(2)所需化验次数的期望所需化验次数的期望.为简单计为简单计,设设 n 是是 k 的倍数，共分成的倍数，共分成 n/k 组组.(更一更一般见教材般见教材P130）设第设第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X i,则则Xi P 1 k+1 Ch4-33作业作业作业作业 p149 p149 习题四习题四习题四习题四 2 2，5、6（加法性质）、（加法性质）、9、11、12、思考思考：超几何分布的均值如何计算？测试测试 1.1.求求问，问，X与与Y是否独立？是否独立？2.2.假设由自动线加工的某种零件的假设由自动线加工的某种零件的假设由自动线加工的某种零件的假设由自动线加工的某种零件的直径直径X X(mm)(mm)N N(,1,1).).已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润T T(元元元元)与销与销与销与销售零件的内径售零件的内径售零件的内径售零件的内径 X X 有如下的关系：有如下的关系：有如下的关系：有如下的关系：求求求求 （1 1）平均利润；（平均利润；（2）问平均直径问平均直径问平均直径问平均直径 为何值为何值为何值为何值时，销售一个零件的平均利润最大？时，销售一个零件的平均利润最大？时，销售一个零件的平均利润最大？时，销售一个零件的平均利润最大？Ch4-39 假设由自动线加工的某种零件的内径假设由自动线加工的某种零件的内径假设由自动线加工的某种零件的内径假设由自动线加工的某种零件的内径 X X(mm)(mm)N N(,1,1).).已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润T T(元元元元)与销与销与销与销售零件的内径售零件的内径售零件的内径售零件的内径 X X 有如下的关系：有如下的关系：有如下的关系：有如下的关系：求求 （1）平均利润；（平均利润；（2）问平均直径问平均直径 为何值时，销售一个零件的平均利润最大为何值时，销售一个零件的平均利润最大？习题习题习题习题 1313Ch4-40解解解解平均利润：平均利润：Ch4-41即即可以验证，可以验证，可以验证，可以验证，故故故故时时时时销售一个零件的平均利润最大销售一个零件的平均利润最大销售一个零件的平均利润最大销售一个零件的平均利润最大
展开阅读全文