三重积分的变量代换-课件

三重积分的变量代换 一、三重积分的换元法例1、求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:其中解:令则1、利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标、直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面因此适用范围:1)积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分);2)被积函数中含有x2+y2(相应地,y2+z2,x2+z2)形式、其中为由例2、计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体、例3、计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成、与平面其中由抛物面原式=2、利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标、直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面因此有适用范围:1)积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面;2)被积函数含 x2+y2+z2 一类式子、例4、计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体、其中 与球面3、广义球坐标变换 直角坐标与广义球坐标的关系例13、3、9、椭球 的体积 内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离、围成;二、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意:、积分区域关于坐标面的对称性;、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性、解积分域关于三个坐标面都对称,被积函数是 的奇函数,解例7、求曲面所围立体体积、解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 轮换对称性:若积分区域的表达式中将 x,y,z 依次轮换,表达式不变,则称关于 x,y,z 轮换对称、此时有例8、设是由平面 x+y+z=1和三个坐标面所围成的 区域,求解:由轮换对称性,说明:二重积分也有轮换对称性、若积分区域 D 的表达式中将 x,y 依次轮换,表达式不变,则称 D 关于 x,y 轮换对称、此时有例9、设证:由轮换对称性,1、将用三次积分表示,其中由所提示:综合例子六个平面围成,2、设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标 3、计算所围成、其中 由分析:若用“先二后一”,则有计算较繁!采纳“先一后二”较好、所围,故可 表为 解:4、计算其中解:利用对称性考虑题练 习 题练习题答案感谢您的聆听！感谢您的聆听！