高中数学新课程中的数学史知识点评课件

高中数学新课程中数学史知识点评华中师范大学华中师范大学 郭熙汉郭熙汉一、引言一、引言二关于教学目的的点评：传授知识与发展能力二关于教学目的的点评：传授知识与发展能力三关于教学原则的三关于教学原则的点评点评：具体与抽象相结合：具体与抽象相结合四、关于教学方法的四、关于教学方法的点评点评：情境、形态与形式化：情境、形态与形式化五、关于思维方法的五、关于思维方法的点评点评：返朴归真：返朴归真高中数学新课程中数学史知识点评华中师范大学 郭熙汉一、引言1运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。一、引言一、引言 米山国藏在其著作数学的精神、思想和方法数学的精神、思想和方法中，对他自己所教过的学生作如此评价：他们离开学校之后，如果没有机会应用，不到两年时他们离开学校之后，如果没有机会应用，不到两年时间就会把所学的数学知识几乎全部忘掉。间就会把所学的数学知识几乎全部忘掉。不管他们从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于脑际不管他们从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于脑际的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法以的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法以及着眼点，却随时随地发生作用，并使他们终生受益。及着眼点，却随时随地发生作用，并使他们终生受益。这样的教育，才是最高最好的教育。这样的教育，才是最高最好的教育。关于教育和教学的问题，历来都是人们倍加关注的。关于教育和教学的问题，历来都是人们倍加关注的。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好2Conte，Auguste（17981857）由于个体知识的发生与历史上人类知识由于个体知识的发生与历史上人类知识的发生是一致的，因而对孩子的教育必须是的发生是一致的，因而对孩子的教育必须是符合历史规律的教育。符合历史规律的教育。法法 孔德孔德运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Conte，Auguste 由于个体知识的发生与历史上3运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。科学的教学方法是用知识诱导人去做科学科学的教学方法是用知识诱导人去做科学的思考，而不是一开头就叫人去碰冷漠的、经的思考，而不是一开头就叫人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统过科学洗练的系统 德德 克莱因克莱因 Klein,Felix（1849 1925）运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好4运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。教育工作者的任务就是，让孩子的思维经教育工作者的任务就是，让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段但不是历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段但不是跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我们的跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我们的指南。指南。法法 庞加莱庞加莱Poincare，Heri（1854 1912）运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好5运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。鉴于以上大家们的观点，我们来探讨如何在数学教育中发挥数学史的指南作用。数学史，是一门独立的学科。它以数学学科产生、发展的历史作为研究对象，阐明其历史进程，揭示其一般规律，它是科学的一个分支，又是历史学的一个分支。数学教育，是一项有目的、有计划、有组织的社会实践活动。它以传授数学学科知识和培养数学学科人才为宗旨，以促进社会进步，促进科学与技术的发展为目标，它是整个社会教育的一部分。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好6运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。数学教育学的理论和数学史的知识共同显示：学生学习和掌握数学知识的过程，与数学学科自身产生和发展的过程，是非常一致的。前者是后者快速、集中的再现。从数学教育的教学目的、教学原则、教学方法和思维方法四个方面都能体现：数学教学应该遵循数学发展的规律。我们不妨用简单的数学史料和现实来说明，运用数学史的资料和研究成果于数学教学之中，可以使这样的数学教学方法成为“科学的教学方法”，使这样的数学教育成为“最高、最好的教育”。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好7运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。所谓知识，广义地理解为人类在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和。在教学中向学生传授的知识属于其中之一，学生接授这些知识有一个形成认知能力和识别能力的过程：由不知到知，由知少到知多，由知其然到知其所以然。通过直接引用原始的、生动的、体现知识系统产生、发展过程的科学史的史料，把学生带到发现、创立这些知识的过程之中，从而为优化上述形成认知能力和识别能力的过程创造有益的外部条件。二关于教学目的的点评：传授知识与发展能力二关于教学目的的点评：传授知识与发展能力运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好8运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例例1 关于欧拉公式关于欧拉公式 若P为满足下列条件的多面体：(a)P的任何两个顶点可以用一串棱相连；(b)P上任何由直线段（不一定是P的棱）构成的圈，使P分成两片。则对于P 有 ve+f=2，其中v顶点数，e棱数，f面数。Leonard Euler（17071783）运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好9运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。证明提要：由(a)，P的全体顶点与棱构成一个图。不难证在任何图中可以找到含有全体顶点的树形子图。可选择一个树形 T，使它包含P 某些棱，以及 P 的全体顶点。构作T的一种对偶：对于P 的每个面 A 上给出 的一个顶点；的两个顶点，有一条棱相连，当且仅当它们相应的面 A，E在 P 内有一条不属于T 的棱公共。是连通的。否则，的某两个顶点不能用 的一串棱相连，而必然被T 内的一个圈分开。由 T 不含任何圈，故 必连通。是树。否则，内有圈,则按(b)，这个圈把 P 分成两片,每一片含有 T 至少一个顶点，任何欲把T的分属两片的 两个顶点相连的一串棱，必遇隔离圈，因此这一串棱不能全在 T 内，与T 连通矛盾。由于 v(T)-e(T)=1，v()-e()=1，可得 v(T)-e(T)+e()+v()=2，而 v(T)=v，e(T)+e()=e，v()=f，所以 v-e+f=2 得证。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好10 上述证明有两点得意之处：其一，比大多数对 P 的面数用归纳法精致；其二，给出了比 Euler 公式更多的知识，稍进一步，可证 P 是由两个盘沿它们的边界粘合而成，这是 P 的一个重要的拓扑性质。然而，学生反应如何？我们相信，学生面对着这个“冷漠的、经过科学洗练的”证明，而努力去联想凸多面体的形象，接受这个定理可能不存在太大的问题。然而，学生往往会因(a)、(b)两个条件而踌躇不前，也就是说，完全接受这个定理还不能一次性到位。而数学史告诉我们，学生的踌躇也不是没有道理的。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。上述证明有两点得意之处：然11 Euler公式开始并没有(a)、(b)两个条件，1750年，Euler在给Goldbach写的一封信中提出 v e+f=2 时，对多面体没有任何限制；运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。1847年，von Staudt 最后给出上述定理的表述与证明。1813年，LHuilier 发现 ve+f=4 以及 ve+f=0 的情形；Euler公式开始并没有(a)、(b)两个12运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。所谓能力，一般地理解为人们对某项任务胜任与否的主观条件。教学中所要发展的学生的能力，其表现形式为：对所学知识能融会贯通，举一反三，运用自如。遵循知识的演绎逻辑，指导学生反复训练，以期熟能生巧，从已有知识演绎出新知识固然有效。科学史中更多，更引人入胜的是，由诸多平凡之见归纳出超越平凡的新知识。上述欧拉公式(a)、(b)两个条件的产生就是很好的例证，我们看到上述证明是严格的演绎证明，而历史事实中却是生动的归纳探索。归纳的对象也许只是一些特例，但是其中的“思维方法、研究方法、推理方法以及着眼点”却无拘无束，正是在这无拘无束之中产生新知识的生长点。当然，我们并不是要引导学生去重复历史的曲折过程，而是借鉴历史启发学生的思维，从而调动学生的学习能动性，以发展学生的能力。无论是传授知识，还是发展能力，数学教学都应该遵循数学知识系统产生、发展的历史进程和一般规律。可见，在实现教学目的方面，数学史能为数学教学提供裨益。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好13例例2 关于一元二次方程的求根公式关于一元二次方程的求根公式 1直接开方法：直接开方法：2配方法：配方法：3公式法：公式法：现在的初中数学教科书现在的初中数学教科书：运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例2 关于一元二次方程的求根公式 1直接开方法：214 历史：历史：巴比伦泥板中的基本问题：巴比伦泥板中的基本问题：1求一个数使它与它的倒数之和等于一个已知数。求一个数使它与它的倒数之和等于一个已知数。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。历史：运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数152“已知两个数之和与两个数之积，求此两数。已知两个数之和与两个数之积，求此两数。”运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。2“已知两个数之和与两个数之积，求此两数。”运用数学史的资16人们推测巴比伦人发现上述问题的解法非常简单：人们推测巴比伦人发现上述问题的解法非常简单：运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。人们推测巴比伦人发现上述问题的解法非常简单：运用数学史的资料17关于一元二次方程的求解关于一元二次方程的求解 原本第原本第 2 卷卷 命题命题 11：“分已知线段为两部分，使它和一分已知线段为两部分，使它和一部分所成矩形等于另一部分上的正方形。部分所成矩形等于另一部分上的正方形。”设设 AB=a，AH=x，应有应有 a(a-x)=x x+ax-a=0作正方形作正方形 ABCD 取取AE=ED 延长延长EA，使使EF=EB 作正方形作正方形AFGH AH 为所求。为所求。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。EuclidB.C330B.C275关于一元二次方程的求解作正方形 ABCD运用数学史的资料和研18运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。原本运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好19求解方程求解方程 x+10 x=39 的正根的正根 几何示意：几何示意：解法步骤：解法步骤：运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。al Khowarizmi（780850）求解方程 x+10 x=39 的正根 20运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。数学的抽象性，给数学教育带来不少困难：其一，由于概念抽象而枯躁，难以引起学生的兴趣；其二，由于方法抽象而适应性广，难于掌握其本质。数学教育中贯彻“具体与抽象相结合”的原则时，教师往往大量列举实例，让学生从中领悟出那些抽象知识的内容，如此之举无可厚非。不过，不能仅在概念的外延上徘徊，更应该在深入地揭示概念的内涵上下工夫。抽象的概念，或者出于来自实践的具体对象，或者以经过抽象的相对具体的问题为依托。这些具体对象的被认识，这些相对具体的问题被解决，推进了概念的逐级抽象。数学史往往就是这样显示出科学概念内涵的凝聚和形成。三关于教学原则的点评：具体与抽象相结合三关于教学原则的点评：具体与抽象相结合运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好21例例3 中国古代关于球体积的计算公式与祖暅原理。中国古代关于球体积的计算公式与祖暅原理。V1：V2=4：V2：V=4：取取 3 则则实测：公元前后实测：公元前后改进：公元改进：公元3世纪世纪V3：V=4：刘徽（3世纪）运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例3 中国古代关于球体积的计算公式与祖暅原理。V1：V22运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。推导：公元推导：公元6世纪世纪运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好23运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例例4 关于抽象概念关于抽象概念无穷远点无穷远点 现代数学中，对无穷远点的抽象定义有许多方法，诸如仿射几何的定义，双曲几何的定义以及拓扑学的定义等等。毫不夸张地讲，每一种定义都不容易理解。不妨看以下定义：(x a)+(y b)=r (x1-ax3)+(x2-bx3)=(r x3)x=x1/x3 y=x2/x3圆上的无穷远点为 x1 2+x2 2=0，x3=0，其坐标为(1，i，0)、(1，-i，0)或正比于它们的三个数。对于这样抽象概念的教学，实在是难以举出比它本身更具体的实例。让我们回到历史事实中去吧。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好24运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。概念的概念的缘起起 15世纪，在欧洲文艺复兴时期，意大利数学家阿尔贝蒂（Alberti，Leone Battista 1404 1472）在其著作论绘画（Della Pittura 1435）中，给出了所谓“透视法”的基本原理，提出“投射”、“截影”。一个严重的问题出现了：景物的线条 AB与 CD是平行线，而截影对应的线条 AB与CD是要相交的。为了寻找它们的交点在 AB与 CD上相应的原像，成为无穷远点概念的缘起。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好25运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。概念的引入概念的引入 1639年，笛沙格（Desargures，Gerard 1593 1662）的论锥面截一平面所得结果的初稿在巴黎正式出版，其中论述了射影法，更重要的是引入无穷远点，即上图中截影线条AB与CD交点的原像。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好26运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。与笛沙格有所不同，开普勒（Kaple，Johannes 1571 1630）在1604年的天文学的光学部分中也引入了无穷远点。如下图，开普勒将无穷远点Qe作为这两条平行线e与L的公共点。这样开普勒就可以断言，过点P的每一条直线都有L上的一个点于之对应。而且，直线e与L在左边也有一个无穷远点公共，而直线e继续绕点P旋转时，直线e与L的交点从左边移向Qa。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好27运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。开普勒的这种观念也为圆锥曲线统一表达式的产生奠定了理论基础。概念的引申概念的引申 作为无穷远点概念内涵的引申，开普勒认为，所有这些交点是连续的。也就是说，直线的两“端”无限延长在 “无穷远处”会合。所以，直线被赋予圆的性质，即圆心在无穷远，半径为无穷大的圆。这在直观经验上是不被人们所接受的，但是在逻辑上是完全合理的，只须有无穷远元素即可。通过无穷远点的概念，开普勒能够顺理成章地说明几何图形之间可以连续地从一个变换为另一个。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好28运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。概念的表达式概念的表达式 一个数学概念无论它多么抽象，不能只存在于数学家的头脑中，必须表达出来。普吕克（Plcker，Julius 1801 1868）在解析几何的发展（1828、1831）第二卷中，提出了一个齐次坐标叫“三线坐标”。如图，任意点P的坐标是从该点到三角形三边带正负号的垂直距离，各距离数可以乘以同一个常数。把这个三角形的一条边推到无穷远，成为无穷远直线。这就等价于把通常直角坐标系中的坐标x、y，换成x=x1/x3，y=x2/x3，曲线方程对 x1、x2、x3 是齐次的。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好29运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。利用这种齐次坐标，普吕克可以给出无穷远线、无穷远圆上的无穷远点及其概念的代数表述，射影几何学中的无穷远元素就有确切的表示了。这样，就得到例例2开始的定义。对于抽象的“无穷远点”，如果在教学中利用上述历史资料，显示出抽象的数学概念内涵的凝聚和形成的具体过程，那么学生就会更更容易体验与理解它，我们何乐而不为呢！运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好30运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。犹如克莱因所说：“科学的教学方法是用知识诱导人去做科学的思考，而不是一开头就叫人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统”那么，用什么知识去诱导学生做科学的思考呢？其实，这涉及到现在人们常常谈论的许多观念，譬如，数学过程中要注重创设数学问题情境，或者在教学中要把数学知识的学术形态转变为教学形态，或者在教学中要注意适度形式化更注重数学的本质。不管从哪个意义上讲，数学史都能为你提供有参考价值的材料，目的就是改进教学方法，促进学生的有效学习。四、关于教学方法的点评：情境、形态与形式化四、关于教学方法的点评：情境、形态与形式化运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好31例例5 不可分量原理与微积分方法雏形不可分量原理与微积分方法雏形 十六、十七世纪，围绕四大问题：求面积、求速度、求切线、求极值，数学家们做出了非常杰出的工作，这些工作与微积分方法的形成关系密切，逐渐形成微积分方法的雏形，为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了基础。Keple求圆面积运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Keple,Johannes(15711630)例5 不可分量原理与微积分方法雏形运用数学史的资料和研究32Galilei求瞬时速度运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Galilei，Galilieo（15641642）Galilei求瞬时速度运用数学史的资料和研究成果，可以帮助33 1635年，Cavalieri 在用新的方法推进连续体的不可分量的几何学中正式提出“不可分量原理”。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。线段是无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”。Cavalieri，Francesco Bonaventure（1598 1647）1635年，Cavalieri 在用新的方34 Torricelli 继承、发展了Galilei、Cavalieri 的思想方法，把“不可分量”原理用得淋漓尽致。如图，由 xy=k（k0），x=0，y=0，x=m 所围的图形绕 y 轴旋转一周，所成几何体的体积。任取垂直于 y 轴的截面MN，可有 S侧=2OLLM=2k S截=(OA/2)=2k 一一对应，由不可分量原理，得 V=2k m 运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Torricelli，Evangelista（1608 1647）Torricelli 继承、发展了Galil35 Cavalieri 利用这种“不可分量”，进行长度、面积、体积的计算及其相关的推理，但是，他未能对“不可分量”作出严格的论述。数学家们对此褒贬不一。1644年，Cavalieri本人发现了关于“不可分量”的悖论。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。以上内容虽然是微积分以前的工作，但是它与微积分有着重要的联系，其中既有教学的思想观念问题，又有教学的方式方法问题，还可以探讨微积分的教育形态问题，它对学生理解微积分本质和掌握微积分方法的帮助是显而易见的。Cavalieri 利用这种“不可分量”，36 关于思维方法，有许多学者从各个方面都有很好的研究并得到很好的成果。我们这里要强调：数学史中可以发掘出许多质朴的数学思维方法，把我们带回到自然的、生动的、活泼的思考之中，可以称之为“返朴归真”。1906年，数学史家发现了阿基米德(Archimees B.C287B.C212)给当时亚历山大里亚图书馆馆长厄拉多塞(Eratosthenes B.C284B.C192)的一封信，信中提出了根据力学或物理学的原理来解决数学问题的方法，并且给出求球体积、抛物线弓形面积、旋转圆锥曲线体的体积等示例。我们称这种独特的方法为阿基米德的数理方法，后来人们将这封信冠以方法一名。以下我们来欣赏一例：运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。rchimides（B.C287B.C212）五、关于思维方法的点评：返朴归真五、关于思维方法的点评：返朴归真 关于思维方法，有许多学者从各个方面都有很好的37例例 6 rchimides 的数理方法：平衡法。的数理方法：平衡法。GP=EG GT GP=(ET-GT)GT GP+GT=ET GT GP+GK=GM GT(GP+GK)GM=GM GT(GP+GK)FT =GM GT(GP+GK )FT=GM GT即 (V球+V锥)FT=V柱 OT V球+V锥=（1/2）V柱V锥=（1/3）V柱故 V球=（1/6）V柱=（1/6）D运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例 6 rchimides 的数理方法：平衡法。GP 38运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Archimedes在此之后，又给出详尽、严格的数学证明。他还就这种方法给 Eratosthenes 写信说：一旦这种方法确立之后，或者我的同时代人，或者我的后代人，就会利用它去发现另外一些定理，而这些定理是我没有想到的。18世纪中叶，DBernoulli 由物理学推测到三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解；19世纪中，Riemann 由电学理论，确立了在每一个封闭的 Riemann 曲面上都存在与通常有别的代数函数。Bernoulli,Daniel(17001782)Riemann,Georg Friedrich Bernhard（1826 1866）运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好39例例7 研究无穷的有效方法：重返数（研究无穷的有效方法：重返数（sh）与量）与量(ling)关于无穷的问题，至今还是人们非常关心的问题，而且还有许多不解之谜！长期以来，人们不愿意接受无穷大，不能够理解无穷小。那是为什么呢？我们得从最基础的数（sh)与量(ling)谈起。当我们数（sh）正整数1，2，3，一直延续到无穷大，它的意思只不过是说，不存在一个最大的正整数。因为不管我们数(sh)过的数有多么大，总可以再加上 1，比它更大。同样，当我们把一条直线无穷尽地分下去，也只是说不管已经把这条直线分成多少等份，我们仍然可以再把它分成更多的等份。不可否认，我们在这里除了碰到了“无穷大”和“无穷小”的问题之外，还有一个“连续性”的概念问题。但是，无穷大也好，无穷小也罢，还有连续性，我们都不能够或者很难把它们描述出来。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例7 研究无穷的有效方法：重返数（sh）与量(ling40 德国数学家高斯（Gsuss,Carl Friedrich 17771885）曾经设法把上述烦恼集中起来：设想一条直线是由无穷多个点组成。他只是想用“无穷多”表明，不管在一条直线上已经标出了多少点，总可以在其中相邻两点之间再标出一点，并且这个过程可以没完没了地继续下去。德国另一位数学家康托（Contor,Georg18451918）却不接受这种“没完没了”的解释。康托认为，直线上的无穷多个点是可以作为“真实的”东西表现出来的，他希望能够用一些“确实”是无穷大的集合来进行运算。他想研究在一条直线上出现的“点的总体”，或者直线上一部分的“点的总体”。他还想找到一种工具，用以“度量”无穷集合。这样，康托成为一种被称为“点集论”的新思想的创始人。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Gauss,Carl Friedrich（1777 1855）Cantor，GeorgeFerdinand Philip（1845 1918）德国数学家高斯（Gsuss,Carl Fri41 康托研究无穷集合的途径非常简单，那就是重新返回到数(sh)与量(ling)，用来探讨无穷集合的工具也毫无奥妙，那就是“一一对应”地数（sh）和“两两相等”地量(ling)。然而，康托的理论所得出的真知灼见却是令人惊奇，叹为观止。难怪，希尔伯特曾经在讲述了下面关于有无穷张床位的旅店的故事后，说康托就是这家旅店的老板，并称赞康托是世界上最会数（sh）数（sh）的人。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。Hilbert,David（1862 1943）康托研究无穷集合的途径非常简单，那就是重新返42 希尔伯特旅店有无穷张床位，已客满，现又来了可数无穷位客人，请你安排他们全部都住进这个旅店。按下图的方案可以安排：运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。希尔伯特旅店有无穷张床位，已客满，现又来了可数无穷位客43例例8 关于连续统的势关于连续统的势 把 0，10，1 正方形与 0，1 线段上的点建立一一对应。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。例8 关于连续统的势运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数44 克莱因在其著作高观点下的初等数学中说得好：“数学的情况有如造型艺术，向先贤们学习不但有益，而且必要。但是，如果局限于学习因袭的东西，只是由书本学到继续前进，就会产生所谓的学院体系。与此相对立，我提出劝告：保持一流大师的遗风，回到固有的生动，活泼的思考，回到自然。”总而言之，运用数学史的资料和研究成果于数学教学之中，可以使这样的数学教学方法成为“科学的教学方法”，使这样的数学教育成为“最高、最好的教育”。运用数学史的资料和研究成果，可以帮助运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学数学教育成为教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。克莱因在其著作高观点下的初等数学中说得好：“数45谢谢大家谢谢大家!请批评指正请批评指正!运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。谢谢大家!运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“46高中数学高中数学 选修选修3-1数学史选讲介绍数学史选讲介绍 一教育价值 数学教育学的理论和数学史的知识共同显示：学生学习和掌握数学的过程，与数学自身产生和发展的过程，是非常一致的。前者是后者快速、集中的再现。无论从数学教育的教学目的、教学原则，还是从教学方法、教学手段都能体现：数学教育应该遵循数学发展的规律，数学史知识和数学史研究的成果融入数学课程是有益的。普通高中数学课程标准（实验）（以下简称标准）指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等课程。这是标准提出的课程的基本理念之八体现数学的文化价值，也是“数学史选讲”的教育价值之所在。高中数学 选修3-1 一教育价值47二教学要求 在高中阶段，并不要求中学生系统地学习数学史。因此，数学史选讲也就不必着意追求整个数学或某数学分支历史发展的完整性和系统性，也不必过多强调数学史研究的专业性和学术性。只要求围绕所选的专题，通过生动、丰富的历史事例，向学生介绍数学发展过程中若干重要的事件，重要的人物和重大的成果，使学生初步了解数学产生、发展的大致过程，体会数学对人类文明发展的作用，感受数学家们严谨的治学态度和锲而不舍的探索精神，从而提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，增强学好数学的信心。二教学要求48三内容结构 根据标准提供的内容,选择其中相关的专题，以体现“不追求系统性和完整性”的原则，构成本选讲的内容。第1章 襁褓中的数学襁褓中的数学早期算术与几何早期算术与几何 介绍早期数学知识的积累。扼要地论述了数学的起源，主要介绍古埃及纸草书、巴比伦泥板书和中国古代周髀算经中的数学知识。涉及到数、形概念的形成，记数法，勾股定理以及与测量术相关的知识，使中学生感受到早期数学的气息。第2章 理性数学的开端理性数学的开端古希腊数学古希腊数学 介绍古希腊数学。这是讲述理性数学的开端，主要介绍古希腊的几位著名数学家毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德和丢番图等。涉及到不可公度比的发现，欧几里得的原本，阿基米德的数理方法以及丢番图的缩写代数。其中，选取了正五边形边与对角线不可公度性，讲解不可公度比的发现，比较直观。在阿基米德的数理方法之后，有“人物聚焦”专门介绍了阿基米德的故事。三内容结构49第3章 夺目的瑰宝夺目的瑰宝 不懈的拼搏不懈的拼搏 介绍中国古今数学成就。我们选择九章算术中的“方程术”，秦九韶的“大衍求一术”代表算法特征，介绍了刘徽“割圆术”中严格的推理以及祖冲之的成就。我们还附了一个“阅读材料”介绍“祖暅原理”，为了让学生对中国现代数学有所了解，在这一章还介绍了现代中国数学家的奋力拼搏。第4章 数与形的结合数与形的结合解析几何学的产生解析几何学的产生 介绍解析几何的产生。为了强调数形结合的意义，我们主要介绍解析几何创立者最原始的工作。这样，对数形结合的方法和意义的了解，可能会更生动。在论述了笛卡儿的贡献之后，设有一个“人物聚焦”介绍笛卡儿。在讲述了解析几何的扩展之后，我们也以“人物聚焦”形式介绍了欧拉。第3章 夺目的瑰宝 不懈的拼搏50第5章“人类精神的卓越胜利人类精神的卓越胜利”微积分的产生和完善微积分的产生和完善 介绍微积分的产生和完善。这里有一个很难处理的问题，那就是要不要讲微积分基础严密化。不要似乎有点缺憾，要又如何写呢？中学生读不懂怎么办？我们采取的办法是，估计中学生能都懂的内容就尽可能讲清楚，可能不懂的就简单带过去或者能不提的就不提。第6章 超越时代的抽象超越时代的抽象从方程求解到群论从方程求解到群论 介绍解方程的历史。我们将解方程的历史分为三个阶段，一是一次、二次方程的求解，主要说明代数开始是拄着几何的拐杖出台的；二是三次、四次方程的求解，主要说明代数是如何建立起自己的准则的；三是初等代数又是如何向抽象代数发展的。涉及到中学生较为熟悉的数学家阿尔-花拉子米、韦达，也涉及到中学生不太熟悉的年轻数学家阿贝尔和伽罗瓦，介绍他们的事迹对中学生是有益的，所以本章的“人物聚焦”是阿贝尔和伽罗瓦。第5章“人类精神的卓越胜利”微积分的产生和完善51第7章 偶然中的必然偶然中的必然概率与统计概率与统计 介绍概率与统计的产生和发展。这是由于中学数学中增添了概率与统计的内容，所以我们主要着眼于提高学生学习概率与统计的兴趣，介绍一些生动、有趣的故事。第8章 数学大厦的基石数学大厦的基石集合论和数学基础集合论和数学基础 介绍集合论与数学基础的问题。这个问题是浅不了，又深不得，不讲似乎也是不行的。所以我们非常谨慎地只选取了集合的势和罗素悖论两个问题作简要介绍，算作向中学生提出这方面的问题，以引发进一步的思考，或者算作开拓中学生数学的视野。第7章 偶然中的必然概率与统计52第9章 历经千年的变革历经千年的变革从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何 介绍非欧几里得几何学的由来。主要是向读者提出关于数学中的公理的问题，可以纠正一些错误的想法，帮助中学生正确地认识数学的本质。在这一章最后的“人物聚焦”介绍了天才的数学家高斯。第10 章 无限风光在前峰无限风光在前峰计算机与现代数学计算机与现代数学 讲到现代数学与电子计算机。这个话题与中学生好象是很近的，但事实上很多人对现代数学与电子计算机并不清楚，包括我们自己。所以在本章我们很模糊地，或者似是而非地介绍一些这方面的知识。也许就会有人对此感兴趣，非弄清楚不可，而投身于此项研究之中，我们何乐而不为！第9章 历经千年的变革从欧氏几何到非欧几何53 关于各专题的内容，一方面尽可能减少纯史料的介绍，也避免有争议的提法、分析和评论。另一方面尽可能体现思想性，突出数学思想或方法的产生、发展的轨迹，突出数学家追求真理、刻苦钻研、锲而不舍的精神。此外，对于有一些内容必须向中学生介绍，但中学生很可能不懂的，采取宏观描述，充分强调其意义，而不去追究其细节内容的讲述。关于各章后面的问题研究，本来可以考虑有两部分内容，一是数学学科知识方面的，一是数学文化知识方面的。考虑到选修“数学史选讲”的学生，可能大多数以后不一定是学数学专业，更不一定是学数学史专业的。他们只需要通过本课程的学习，从数学的历史发展线索，感受数学的魅力，提高对数学的兴趣，帮助他们进一步理解曾经不太清楚的数学思想和数学方法，拓宽他们的数学视野，有益于他们学好其他知识，从事其他工作。所以，我们只保留了或者增添了有关数学文化方面的问题，而完全删去了有关数学学科知识方面的问题。关于各专题的内容，一方面尽可能减少纯史料的介绍，54四课时安排建议 本选讲可以由教师逐章讲授，也可以部分由教师讲授，其余部分利用课余时间，指导学生阅读，组织学生讨论。课堂教学时间约18学时，具体分配如下：第1章介绍早期数学知识的积累，约1学时；第2章介绍古希腊数学，约2学时；第3章介绍中国古今数学成就，约3学时；第4章介绍解析几何的产生，约1学时；第5章介绍微积分的产生和完善，约3学时；第6章介绍解方程的历史，约2学时；第7章介绍概率与统计的产生和发展，约1学时；第8章介绍集合论与数学基础的问题，约1学时；第9章介绍非欧几里得几何学的由来，约2学时；第10 章介绍电子计算机与现代数学，约2学时。四课时安排建议55五内容分析引言引言 在引言中，我们强调数学的重要性，又突现出它与数学不好学的矛盾。面对这个矛盾，提出换一种方式来看待数学和数学问题。希望把那些知道数学重要而想学好数学，正在犹豫的同学，那些因为学习数学有困难，几乎失去信心的同学，甚至那些一提起数学就害怕的同学的注意力吸引过来。推出数学史选讲，唤起他们去寻找新感觉的意识，从而走出困境。这里特别要注重调动学生的好奇心和求知欲。五内容分析56第第1章章 襁褓中的数学襁褓中的数学早期算术与几何早期算术与几何 本章讲述的是襁褓中的数学，也就是刚刚出世的数学，所以我们指出这是早期的算术与几何。11 纸草书中记录的数学12 泥板书中记录的数学13 周髀算经 及赵爽注14 十进位值制记数法第1章 襁褓中的数学早期算术与几何57第第2章章 理性数学的开端理性数学的开端古希腊数学古希腊数学 本章讲述的是古希腊数学，这是所谓理性数学的开端，或论证数学的开端。古希腊数学的成就很多，古希腊时代的数学家也很多，我们只能从中选择最具有代表性的成就和数学家向中学生作介绍。21 毕达哥拉斯学派与不可公度比22 欧几里得与原本23 阿基米德的数理方法24 丢番图与算术第2章 理性数学的开端古希腊数学58第第3章章 夺目的瑰宝夺目的瑰宝 不懈的拼搏不懈的拼搏本章讲述的是我国古今数学，由于我国数学的发展经历了一个曲折的过程，历史上我国的古代数学曾经是世界领先的，从明朝中叶开始我国的古代数学发展停滞、落后，直到1919年五四运动以后，我国的近代数学研究才正式开始，我国的数学家才开始在现代数学领域做出成绩。因此，本章的内容定位于两个方面，一是中国古代数学夺目的瑰宝，一是中国现代数学家学习并赶超世界先进数学的不懈的拼搏。31 九章算术与刘徽注32 我国古代著名数学家祖冲之33 大衍求一术34 现代中国数学家的奋力拼搏第3章 夺目的瑰宝 不懈的拼搏59第第4章章 数与形的结合数与形的结合解析几何学的产生解析几何学的产生本章讲述的是解析几何学的产生，从十七世纪上半叶起，几何学这个从古埃及肇始到古希腊兴盛的数学分支，开始出现了两个发展方向。一个是以笛沙格、帕斯卡为代表的数学家关心曲线研究中的一般方法，并且主要采用几何学的概念和方法，诸如，投射、截影等，创立了最初的射影几何学；另一个是以笛卡儿、费马为代表的数学家也关心曲线研究的一般方法，但主要采用代数学的概念和方法，诸如变量、方程等，创立了早期的解析几何学。这两个方向的发展，都是数学中最富有创造性、最富有成效的设想之一。我们在这里只能向中学生介绍解析几何学的创立。41 费马的坐标几何42 笛卡儿及其对解析几何的贡献43 解析几何的扩展第4章 数与形的结合解析几何学的产生60第第5章章“人类精神的卓越胜利人类精神的卓越胜利”微积分的产生和完善微积分的产生和完善本章讲述的是微积分的产生和完善，微积分的产生被称为人类创造精神的卓越胜利，微积分的完善被誉为人类数学思想的成熟，是人类的创造精神和严格精神都高度发扬的结晶。在中学是否讲授微积分，在中学如何讲授微积分，一直是个有争议的问题，有争议的原因还是在于无穷小这个困扰人们两千多年的概念。对于无穷小我们采取从实例引入，尽可能不用形式化语言和符号，让中学生通过大量的实例逐步理解其意义。所以在章头语中，我们从面积计算问题切入。51 微积分思想的萌芽52 微积分方法的雏形54 微积分基础的严密化 第5章“人类精神的卓越胜利”微积分的产生和完善61第第6章章 超越时代的抽象超越时代的抽象从方程求解到群论从方程求解到群论 本章讲述的是解方程的历史，也可以说是初等代数学的发展史。通过本章的学习，可以帮助中学生进一步理解代数学的真谛，理解从具体到抽象是如何发展过来的。对于初等代数学的发展要注意把握两条主线，一是符号代数的发展，一是解方程的发展。本章按解方程的主线展开，这样中学生更容易理解。61 一次、二次方程的求解62 三次、四次方程的求解63 伽罗瓦与群论 第6章 超越时代的抽象从方程求解到群论62第第7章章 偶然中的必然偶然中的必然概率与统计概率与统计本章讲述的是概率与统计，概率论与统计学的知识在中学数学中是新增的内容，介绍概率与统计的历史发展是非常必要的。71 概率论轶事三则本节介绍的是概率论起源之一的赌博问题的由来，法国数学家帕斯卡给费马的信和法国数学家布丰投针试验的故事，介绍这些内容一方面告诉中学生概率论研究的是一类随机现象，而这些随机现象就在我们身边，另一方面通过这些生动的故事引起中学生学习概率论的兴趣。72 统计无处不在本节介绍了统计活动和统计学的形成，统计活动起源很早，自从有了国家就有了统计活动。统计学的思想也是远古即存，但是作为一门学科却历史很短，然而统计学的发展却是相当快的。我们应该强调的是，那些默默无闻的统计学家们已经改变了我们的世界，他们不是由发现新的事实或技术，而是改变了我们推理和试验的方法，以及我们对这个世界的观念的形成方式。由此，让中学生感到作为现代社会的公民，也要学好统计学。第7章 偶然中的必然概率与统计63第第8章章 数学大厦的基石数学大厦的基石集合论和数学基础集合论和数学基础本章讲述的是有关数学基础的问题，如果把整个数学知识系统比作一座高楼大厦，那么我们这里讲的问题就是这座大厦的基石。大家知道，集合论是现代数学的基础，正如数学家格利松所说，集合论是数学的最根本的探讨，真正的数学家只考虑完全以集合论术语给出其最终形式的那种问题。但是，集合论却存在着严重的问题尚未被我们认识，期待着我们去努力探索。问题的另一面，正如法国布尔巴基学派的学者所认为的，我们相信数学注定会生存下去，这座壮丽大厦的主要部分永远不会因为一个矛盾的突然出现而坍塌,但我们只能说这种信念是基于经验的。也就是说，本章开头的两段引语正好体现了本章的教学目的。81 无穷集合与势82 罗素悖论 第8章 数学大厦的基石集合论和数学基础64第第9章章 历经千年的变革历经千年的变革从欧氏几何到非欧几何从欧氏几何到非欧几何91 从欧几里得到兰伯特本节介绍的是从古希腊的欧几里得到18世纪的兰伯特，历代数学家为了证明欧几里得第5公设所付出的艰辛。虽然他们的工作是徒劳的，但是他们执着的精神是可佳的，而且他们也不乏给后人以有益的启示。92 非欧几里得几何学的创立本节介绍的是非欧几里得几何学的创立，由于非欧几里得几何学的有关叙述中学生不懂，所以我们在这里主要是讲故事。而这些故事都是有意义的，中学生从中可以看到数学家们如何为追求真理锲而不舍地工作，为捍卫真理义无返顾地奋斗。第9章 历经千年的变革从欧氏几何到非欧几何65第第10章章 无限风光在前峰无限风光在前峰计算机与现代数学计算机与现代数学本章讲述的是计算机与现代数学的话题，20世纪数学发展区别于以往任何时代的最大特征，应该是电子计算机的产生及迅猛发展。电子计算机把人类带入了信息时代，它作为人脑的延伸，不仅能解决大量计算问题，而且使数学的证明也能获得一定的机械化。这对数学产生了不可估量的影响，无论是对应用数学，还是对纯粹数学都提出了更新、更深刻的问题。我们在本章有限的篇幅里，介绍了数学家对计算工具的追求，算法和用计算机证明。其中特别介绍了我国著名的数学家吴文俊，开辟了一条定理机器证明的代数化途径，使中国数学家在数学机械化方面处于国际领先地位。第10章 无限风光在前峰计算机与现代数学66谢谢大家谢谢大家!请批评指正请批评指正!运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育最高、最好的教育”。谢谢大家!运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“67