计算方法期末复习课件

考试范围课堂中重点讲述内容课堂例题作业习题考试范围课堂中重点讲述内容1第一章 绪论关于有效数字的位数问题若近似值x 的误差限是某一数位的半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有n位，则称x 有n 位有效数字定义第一章 绪论关于有效数字的位数问题若近似值x 的误差限是某2证明：例问：有几位有效数字？请证明你的结论。有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。类似题目：作业中习题一的一、二 题。证明：例问：有几位有效数字？请证明你的结论。有4 3第二章 插值与拟合拉格朗日插值N次拉格朗日插值多项式公式余项牛顿插值Hermit 插值二次曲线拟合第二章 插值与拟合拉格朗日插值4一、一、n次次拉格朗日插值拉格朗日插值niyxLiin,.,0,)(=求求 n 次插值多项式次插值多项式 使得使得已知:f(xi)=yi (i=0,1,n)k=0,1,n.结论:n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式n次拉格朗日插值基函数次拉格朗日插值基函数一、n次拉格朗日插值niyxLiin,.,0,)(=5设节点设节点 ,f(x)在在 a,b 上具有上具有 n+1阶导数，阶导数，Ln(x)是其是其n次次Lagrange插值多项式，插值多项式，则对则对 其中 Lagrange插值余项定理插值余项定理设节点 6解利用三点二次Lagrange插值.记则f(x)的二次Lagrange插值多项式为 插值法计算 ，并估计误差。例1：已知插值法计算 ，并估计误差。例1：已知7计算方法期末复习课件8误差估计误差估计9差商的计算-差商表二、牛顿插值多项式差商的计算-差商表二、牛顿插值多项式10计算方法期末复习课件11例 已知x=0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,2,5，作三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数值为6，作四次Newton插值多项式.解 首先构造差商表 xi f(xi)一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10三次Newton插值多项式为例 已知x=0,2,3,5对应的函数值为y=1,3,12增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120四次Newton插值多项为增加x4=6，f(x4)=6作差商表13三、Hermit插值已知：构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：（*）三、Hermit插值已知：构造一个次数3的多项式H3(x14两点三次Hermit插值已知：构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：（*）两点三次Hermit插值已知：构造一个次数3的多项式H3(15两点三次Hermit插值（续1）直接设待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数使之满足5 5两点三次Hermit插值（续1）直接设待定系数将使计算复杂，16两点三次Hermit插值（续2）其中其中都是次数为都是次数为3 3的多项式的多项式则则H3 3(x)是一个次数是一个次数 3 3的多项式且满足插值条件的多项式且满足插值条件（*）两点三次Hermit插值（续2）其中都是次数为3的多项式则H17基函数求法：基函数求法：求求3 3基函数求法：求3同理同理19设 由0(x0)=1，得 ,于是同理有设定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值多项式H3(x)存在且唯一。定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值21四、拟合四、拟合22(2)12(2)1223例题例 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟合上述数据.例题例 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示24解方程组得所以二次拟合多项式为解：设所求的二次拟合多项式为则有如下方程组解：设所求的二次拟合多项式为则有如下方程组25第三章、数值积分与数值微分第三章、数值积分与数值微分26一、等距节点求积公式梯形公式 Simpson公式一、等距节点求积公式梯形公式 Simpson公式27四、代数精度的概念定义定义2 2：若一个求积公式对若一个求积公式对f(x)=1,x,x2,x m均均精确成立，而对精确成立，而对f(x)=x m+1不精确成立不精确成立,则称此求积则称此求积公式具有公式具有m次代数精度次代数精度.四、代数精度的概念28验证:梯形公式 1次代数精度辛甫生公式 3 次代数精度 定理:求积公式至少有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。换言之，n+1个节点的插值型求积公式 至少具有 n 次代数精度验证:定理:求积公式换言之，n+1个节点的插值型求积公式29例例 设有求积公式设有求积公式求求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度式的代数精度解：（解：（3个未知系数需三个方程）个未知系数需三个方程）令求积公式分别对令求积公式分别对f(x)=1、x、x2精确成立。即精确成立。即 解之得解之得A0=A2=1/3，A1=4/3，例 设有求积公式30二、复合求积法复合梯形公式复合Simpson公式二、复合求积法复合梯形公式复合Simpson公式31例：利用函数表分别利用复合梯形公式、复合Simpson公式计算积分 的近似值，例：利用函数表分别利用复合梯形公式、复合Simpson32将区间 8等分，用复合梯形公式,得到解：问题：8等分对应于逐次二分的次数为几次？将区间 8等分，用复合梯形公式,得到解：问题：833将区间 4等分，用复合Simpson公式,得到将区间 4等分，用复合Simpson公式,得到34三、龙贝格算法三、龙贝格算法35通过上述通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，个积分值序列求积分近似值的方法，称之为称之为Romberg算法。算法。4个积分值序列：个积分值序列：梯形值序列梯形值序列Simpson值序列值序列Romberg值序列值序列Cotes值序列值序列通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法，4个积分值序列：梯36图3.3.1计算停止准则计算停止准则:同一行或同一列相邻两数之差的同一行或同一列相邻两数之差的绝对值不超过预先给定的误差绝对值不超过预先给定的误差.Romberg 算法：算法：图3.3.1计算停止准则:同一行或同一列相邻两数之差的 Ro37例：例：用用Romberg算法求解定积分：算法求解定积分：误差限：误差限：1.0e-5 解：解：（要求两分三次，保留要求两分三次，保留5位有效数字）位有效数字）例：用Romberg算法求解定积分：误差限：1.0e-5 38 解：按解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：公式的求积步骤进行计算，结果如下：解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：39计算方法期末复习课件40四、数值微分四、数值微分41第四章、非线性方程的数值解法重点：迭代法第四章、非线性方程的数值解法重点：迭代法42一、简单迭代法一、简单迭代法43收敛定理局部收敛定理收敛定理局部收敛定理44例设例设F(x)=x+c(x2-3)，应如何选取，应如何选取c才能使才能使迭迭xk+1=F(xk)代具有局部收敛性？代具有局部收敛性？解解:方程方程x=F(x)的根为的根为 ，函数，函数F(x)在根附近具有连续一阶导数，又在根附近具有连续一阶导数，又 F(x)=1+2cx,，解，解 得得 解解 得得 从而要使迭代从而要使迭代xk+1=F(xk)具有局部收敛性，具有局部收敛性，则则 .例设F(x)=x+c(x2-3)，应如何选取c才能使迭xk45计算方法期末复习课件46例例 已知迭代公式已知迭代公式 收敛于收敛于 证明该迭代公式平方收敛。证明该迭代公式平方收敛。证证:迭代公式相应的迭代函数为迭代公式相应的迭代函数为将将 代入，代入，故迭代公式故迭代公式平方收敛平方收敛。例 已知迭代公式 47二、牛顿迭代法二、牛顿迭代法48计算方法期末复习课件49第五章、线性方程组的数值解法第五章、线性方程组的数值解法50直接求解：高斯消去法高斯列主元消去法矩阵的三角分解法：Doolittle 分解法 迭代法雅克比迭代法高斯-赛德尔迭代法SOR迭代法雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性判断（1.充要条件求解矩阵特征值，2.严格占优）直接求解：51例例:用矩阵的直接三角分解法解方程组用矩阵的直接三角分解法解方程组或或 用用 Doolittle 分解法分解法例:用矩阵的直接三角分解法解方程组或 用 Doolittle52计算方法期末复习课件53计算方法期末复习课件54计算方法期末复习课件55计算方法期末复习课件56Jacobi迭代矩阵的特征方程的推导迭代矩阵的特征方程的推导Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程的推导迭代矩阵的特征方程的推导Jacobi迭代矩阵的特征方程的推导Gauss-Seidel57第七章、常微分方程的数值解法第七章、常微分方程的数值解法58尤拉法及改进尤拉法尤拉法及改进尤拉法59计算方法期末复习课件60 三三 改进尤拉公式改进尤拉公式 Step 1:先用先用显式尤显式尤拉公式作拉公式作预测预测，算出，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2:再将再将 代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正，得到，得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy改进尤拉公式改进尤拉公式 这是一种显式格式这是一种显式格式,它可以表示为嵌套形式它可以表示为嵌套形式。改进尤拉公式改进尤拉公式 三 改进尤拉公式 Step 1:先用显式尤拉公式作预测61例：用改进尤拉公式求解初值问题例：用改进尤拉公式求解初值问题 要求取步长h=0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位.解 设f(x,y)=-y-y2sinx,x0=1,y0=1,xi=x0+ih=1+0.2i,改进改进尤拉公式为 例：用改进尤拉公式求解初值问题 62 于是有 由y0=1计算得 于是有63注意：审题举例：1.拟合多项式的次数2.题中要求使用的公式：“复合”梯形or梯形公式，“复合”simpson or Simpson。3.保留的有效位数注意：审题举例：1.拟合多项式的次数2.题中要求使用64