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第1111讲反比例函数及其应用1考点一考点二考点三考点四考点一考点一反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质(高频)1.定义如果两个变量y与x的关系可以表示成 (k为常数,k0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k0)称为反比例函数的比例系数.2.表达式的确定待定系数法求表达式的步骤:(1)设出反比例函数表达式(2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b);(3)将P(a,b)代入表达式得k=ab;(4)确定反比例函数表达式为2考点一考点二考点三考点四3.图象性质(1)反比例函数 (k0,k为常数)的图象是双曲线,且关于原点对称.(2)反比例函数的图象性质3考点一考点二考点三考点四(3)反比例函数值比较大小的方法直接代入求解:将各自对应的横坐标值代入反比例函数表达式求出y值,直接比较;增减性判断:先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性,再看两点是否在同一分支上,若不在同一分支上,则可直接判断,若在同一分支上,利用增减性判断.4考点一考点二考点三考点四考点二考点二反比例函数反比例函数k的几何意义的几何意义1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PMPN=|y|x|=|xy|.y=,xy=k.S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则SEOF=,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为 .5考点一考点二考点三考点四3.计算与双曲线y=上点有关的图形面积 6考点一考点二考点三考点四考点三考点三反比例函数与一次函数结合反比例函数与一次函数结合(高频)如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为,.1.在,部分,反比例函数图象位于一次函数图象上方,则不等式ax+b 的解集为xxb或0 x 的解集为xbxxa.7考点一考点二考点三考点四考点四考点四反比例函数的实际应用反比例函数的实际应用1.利用反比例函数的性质解决实际问题的步骤(1)分析问题中的数量关系,列出函数关系式.(2)研究自变量的取值范围.(3)研究所得的函数.(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值.(5)解决提出的实际问题.2.实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数图象应是双曲线的一部分.8命题点1命题点2命题点3命题点1反比例函数与一次函数结合1.(2015安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求AOB的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,且x1x2,y1y2,指出点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由.9命题点1命题点2命题点3(3)点M在第三象限,点N在第一象限.8分理由:当x1x2y2,不合题意,舍去;当x10 x2时,此时y10,y1y2;当0 x1y2,不合题意,舍去.综上所述,点M在第三象限,点N在第一象限.12分10命题点1命题点2命题点32.(2013安徽,9,4分)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是(D )A.当x=3时,ECEMC.当x增大时,ECCF的值增大D.当y增大时,BEDF的值不变11命题点1命题点2命题点3解析由题意,知BEC和DCF都是等腰直角三角形.时,ECCF的值随x的增大而增大,所以C选项错误;因为BEDF=BCCD=xy=9,即BEDF的值不变,所以D选项正确.故选D.12命题点1命题点2命题点3命题点3反比例函数的应用提示:(2012安徽,21,12分)见第8讲考题体验感悟第4题.13例1(2017浙江温州)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且AOD=30,四边形OABD与四边形OABD关于直线OD对称(点A和A,B和B分别对应),若AB=1,反比例函数y=(k0)的图象恰好经过点A,B,则k的值为.考法1考法2考法3考法4考法考法1反比例函数表达式反比例函数表达式14考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了待定系数法求函数的解析式,即把符合要求的点的坐标(或一对x,y值)代入函数解析式,就可以求出解析式中的未知系数.对于反比例函数,只需知道一个点的坐标(或一对x,y值)就可以求出它的解析式.151.(2017辽宁沈阳)点A(-2,5)在反比例函数y=(k0)的图象上,则k的值是(D)A.10B.5C.-5D.-10考法1考法2考法3考法4对应训练2.(2017浙江绍兴)如图,RtABC的两个锐角顶点A,B在函数y=(x0)的图象上,ACx轴,AC=2,若点A的坐标为(2,2),则点B的坐标为(4,1).16考法1考法2考法3考法4解析:如图,分别过点A,B向x轴作垂线,垂足依次为C,D.17考法1考法2考法3考法4考法考法2反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质例2(2016山西)已知点(m-1,y1),(m-3,y2)是反比例函数y=(m”“=”或“解析m0,m-3m-10,即点(m-1,y1)和(m-3,y2)在反比例函数y=的图象位于第二象限的双曲线上.反比例函数y=(my2.18考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了反比例函数的图象和性质;在利用反比例函数的性质比较大小时,一定要注意已知的点是否在同一个象限,若在同一个象限内,则根据函数增减性比较,如本题;若不在同一个象限内,则要根据函数值的范围进行比较,如点(-2,y1),(3,y2)在反比例函数y=-的图象上,由于k=-1,则图象位于第二、四象限,又点(-2,y1)在第二象限,y10,点(3,y2)在第四象限,y20y2.19考法1考法2考法3考法4对应训练4.(2017山东潍坊)已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab0.这个函数图象所在的每个象限内,y的值随x的值增大而减小.20考法1考法2考法3考法4考法考法3反比例函数的应用反比例函数的应用例3(2016浙江金华)在四边形ABCD中,B=90,AC=4,ABCD,DH垂直平分AC,点H为垂足.设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()21考法1考法2考法3考法4答案D 方法总结本题考查了反比例函数的应用,函数的应用关键是找出自变量和函数之间存在的数量关系,而求几何图形中变量和函数之间的关系往往是通过找两个变量之间的几何关系,如变量与函数是两个相似三角形的对应边或某个图形的底边和高等,从而通过相似三角形性质或某个图形的面积进行求解.22考法1考法2考法3考法4对应训练23考法1考法2考法3考法48.(2017湖北荆门)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,等边三角形AOB的边长为6,点C在边OA上,点D在边AB上,且OC=3BD,反比例函数y=(k0)的图象恰好经过点C和点D.则k的值为(A)24考法1考法2考法3考法4解析:如图,分别过点C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,F,则OCEBDF,且相似比为3.25考法1考法2考法3考法4考法考法4反比例函数与一次函数的结合反比例函数与一次函数的结合例4(2016湖北武汉)已知反比例函数y=.(1)若该反比例函数的图象与直线y=kx+4(k0)只有一个公共点,求k的值;(2)如图,反比例函数y=(1x4)的图象记为曲线C1,将C1向左平移2个单位长度,得曲线C2,请在图中画出C2,并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积.26考法1考法2考法3考法4分析(1)两个函数图象只有一个公共点,说明将两个函数解析式组成方程组,通过消元转化为一元二次方程时,该一元二次方程有两个相等的实数根.(2)反比例函数图象扫过的面积虽然不是规则的图形的面积,但可以根据平移的特征转化为规则的平行四边形的面积.解(1)=kx+4,kx2+4x-4=0.两个函数图象只有一个公共点,=16+16k=0,k=-1.(2)曲线C2如图所示.根据平移的特征,C1平移至C2处所扫过的面积=23=6.27考法1考法2考法3考法4方法总结一次函数图象与反比例函数图象交点的个数与求交点的横坐标方程(以自变量为未知数的一元二次方程)的根的情况相对应,即有两个交点方程有两个不相等实数根;有一个交点方程有两个相等的实数根;没有交点方程没有实数根.28考法1考法2考法3考法4对应训练 9.(2017江苏徐州)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k0)与y=(m0)的图象相交于点A(2,3),B(-6,-1),则不等式kx+b 的解集为(B)A.x-6B.-6x2C.x2D.x-6或0 x2解析:由函数图象,知当-6x2时,一次函数图象在反比例函数图象的上方,所以当kx+b 时,x的取值范围是-6x2.29考法1考法2考法3考法410.(2017广西贵港)如图,过C(2,1)作ACx轴,BCy轴,点A,B都在直线y=-x+6上,若双曲线y=(x0)与ABC总有公共点,则k的取值范围是2k9.30考法1考法2考法3考法411.(2017河南)如图,一次函数y=-x+b与反比例函数y=(x0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1).(1)填空:一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)点P是线段AB上一点,过点P作PDx轴于点D,连接OP,若POD的面积为S,求S的取值范围.31
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