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第一章整式的乘除第一章整式的乘除 初中数学（北师大版）初中数学（北师大版）七年级 下册第一章整式的乘除初中数学（北师大版）知识点一知识点一单项式与单项式的乘法单项式与单项式的乘法法则运算步骤举例单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式(1)系数相乘,结果作为积的系数;(2)相同字母的幂相乘,所得结果作为积的因式;(3)只有一个单项式里含有的字母,连同字母的指数作为积的一个因式-4a23b3a=(-4)3(a2a)b3=-12a3b3知识详解(1)单项式乘单项式的结果仍是单项式.(2)法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则.(3)相同字母的幂相乘,是同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加”来计算,不要与合并同类项混淆.(4)单项式乘单项式的法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.(5)注意运算顺序:先算乘方,再算乘法知识点一单项式与单项式的乘法法则运算步骤举例单项式2例1计算:(1)4xy2;(2)(0.3x3y4)2(-0.2x4y3)2;(3)5x(-2.25axy)(-3x2y2).解析解析(1)4xy2=x1+2y2+1z=-2x3y3z.(2)(0.3x3y4)2(-0.2x4y3)2=0.09x6y80.04x8y6=(0.090.04)x6+8y8+6=0.0036x14y14.(3)5x(-2.25axy)(-3x2y2)=5(-2.25)(-3)a1+1x1+1+1+2y1+2=a2x5y3.例1计算:(1)4xy2;(3)5x(-2.253知识点二知识点二单项式与多项式的乘法单项式与多项式的乘法法则字母表示举例单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加a(m+n+k)=am+an+ak4a2(3ab2-5ab3)=4a23ab2-4a25ab3=12a3b2-20a3b3知识详解(1)单项式与多项式相乘的实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式的问题,不可漏乘.(2)计算时要注意符号问题,多项式中的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号.(3)对于混合运算,应注意运算顺序,先算积的乘方与幂的乘方,再算乘法,最后有同类项时,必须合并,从而得到最简结果.(4)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与多项式的项数相同,这可以用来检验在运算中是否漏乘某些项知识点二单项式与多项式的乘法法则字母表示举例单项式4例2计算:(1)a(3a-2);(2)(-2x2);(3)(-4a3+12a2b-7a3b3)(-4a2).解析(1)a(3a-2)=3a2-2a.(2)(-2x2)=(-2x2)xy+(-2x2)y2=-x3y-2x2y2.(3)(-4a3+12a2b-7a3b3)(-4a2)=(-4a3)(-4a2)+12a2b(-4a2)-7a3b3(-4a2)=16a5-48a4b+28a5b3.例2计算:解析(1)a(3a-2)=3a2-2a.5知识点三知识点三多项式与多项式的乘法多项式与多项式的乘法法则字母表示举例多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(x-3y)(x+7y)=xx+x7y+(-3y)x+(-3y)7y=x2+4xy-21y2知识详解(1)计算时一定要按顺序相乘,做到不重不漏,在合并同类项之前,积的项数应等于两个多项式的项数之积,如(a+b)与(x+y+z)的乘积的项数,在合并前应是23=6项.(2)注意确定积中每一项的符号,多项式中的每一项都包括它前面的符号.(3)多项式乘多项式的积中,有同类项的要合并同类项例3计算:(3x-2y)(2a+3b).解析解析原式=3x2a+3x3b+(-2y)2a+(-2y)3b=6ax+9bx-4ay-6by.知识点三多项式与多项式的乘法法则字母表示举例多项式6题型题型将多项式看成整体进行乘法计算将多项式看成整体进行乘法计算例计算:(a+b)(a-b)4(a+b)4(b-a)5.解析解析原式=(a+b)4(a-b)4(a+b)4(b-a)5=(a+b)4(b-a)4(a+b)4(b-a)5=(a+b)4(a+b)4(b-a)4(b-a)5=(a+b)8(b-a)9.点拨点拨将多项式看成整体进行乘法运算时,一般会遇到互为相反数的乘方运算,此时为了不出现符号运算的错误,通常遵循两个原则:(1)少数服从多数;(2)偶次方服从奇次方,如本题中将(a-b)4化为(b-a)4.题型将多项式看成整体进行乘法计算解析原式=(a+7知识点一知识点一单项式与单项式的乘法单项式与单项式的乘法1.第一宇宙速度是7.9103米/秒,卫星以此速度运行5103秒走过的路程为()A.3.95106米B.3.95105米C.39510米D.3.95107米答案答案D走过的路程为7.91035103=39.5106=3.95107米,故选D.知识点一单项式与单项式的乘法答案D走过的路82.计算:2x3(-2xy)=.答案答案x7y4解析解析2x3(-2xy)=2x3(-2xy)=x7y4.3.计算:(1)2x35x2=;(2)3x2y5(-2xy2z)=.答案答案(1)10 x5(2)-6x3y7z解析解析(1)2x35x2=(25)(x3x2)=10 x5.(2)3x2y5(-2xy2z)=3(-2)(x2x)(y5y2)z=-6x3y7z.2.计算:2x3(-2xy)=.答案94.计算:(1)(-6a2b);(2)(-x2y2)(3xy)2;(3)-a2b3abc.解析解析(1)(-6a2b)=(-6)(a4a2)(b3b)=2a6b4.(2)(-x2y2)(3xy)2=(-x2y2)(9x2y2)=-9x4y4.(3)-a2b3abc=-a3b4c.4.计算:解析(1)(-6a2b)=(-6)(a105.先化简,再求值:(-3a3x)(-2a2x2)2+7(ax)3(a2x)2-a7x5,其中x=-2,a=-1.解析解析原式=(-3a3x)4a4x4+7a3x3a4x2-a7x5=-12a7x5+7a7x5-a7x5=-6a7x5.当a=-1,x=-2时,原式=-6(-1)7(-2)5=-192.5.先化简,再求值:(-3a3x)(-2a2x2)2+7(11知识点二知识点二单项式与多项式的乘法单项式与多项式的乘法6.(2018河南郑州金水月考)计算(-3xy2)(2y2-xyz+1)的结果是()A.-3xy4+3x2y3+3xy2B.-6xy4+3x2y3z-3xy2C.-6xy4-3x2y3z-3xy2D.-6xy4+3x2y2z答案答案B(-3xy2)(2y2-xyz+1)=-6xy4+3x2y3z-3xy2,故选B.7.(2017甘肃白银五中月考)计算:-2a2-5a(a2b-ab2).解析解析原式=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2=-6a3b+3a2b2.知识点二单项式与多项式的乘法答案B(-3x12知识点三知识点三多项式与多项式的乘法多项式与多项式的乘法8.(x+1)(2x-3)的计算结果是()A.2x2+x-3B.2x2-x-3C.2x2-x+3D.x2-2x-3答案答案B(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3.故选B.9.如果一个长方形的长为(4a2-2a+1),宽为(2a+1),则这个长方形的面积为()A.8a3-4a2+2a-1B.8a3+4a2-2a-1C.8a3-1D.8a3+1答案答案DS长方形=(4a2-2a+1)(2a+1)=8a3+4a2-4a2-2a+2a+1=8a3+1.故选D.知识点三多项式与多项式的乘法答案B(x+11310.计算:(1)(2x+1)(3x-1);(2)(3x+5a)(a-3x);(3)(2x-5y)(3x-y);(4)(x+y)(x2-2x-3).解析解析(1)原式=6x2-2x+3x-1=6x2+x-1.(2)原式=3ax-9x2+5a2-15ax=3ax-15ax-9x2+5a2=-12ax-9x2+5a2.(3)原式=6x2-2xy-15xy+5y2=6x2-17xy+5y2.(4)原式=x3-2x2-3x+x2y-2xy-3y.10.计算:(1)(2x+1)(3x-1);解析(1)原式141.小明做了四道单项式乘法题,其中他做对的一道是()A.3x22x3=5x5B.3a34a3=12a9C.2m23m3=6m3D.3y36y3=18y6答案答案D3x22x3=6x5;3a34a3=12a6;2m23m3=6m5;3y36y3=18y6.故选D.2.计算:3x2(7x2-4x+2)-5x(2x-1)=.答案答案21x4-12x3-4x2+5x解析解析3x2(7x2-4x+2)-5x(2x-1)=21x4-12x3+6x2-10 x2+5x=21x4-12x3-4x2+5x.1.小明做了四道单项式乘法题,其中他做对的一道是()答153.计算图1-4-1的面积.图1-4-1解析解析面积=bt+(a-t)t=at+bt-t2.3.计算图1-4-1的面积.解析面积=bt+(a-t)t=161.如果a2+a=1,那么(a-5)(a+6)的值为.答案答案-29解析解析(a-5)(a+6)=a2+a-30.因为a2+a=1,所以(a-5)(a+6)=1-30=-29.2.计算:(1)(m+2n)(m-2n);(2)(-a+b)(-a-b).解析解析(1)原式=m2-2mn+2mn-4n2=m2-4n2.(2)原式=a2+ab-ab-b2=a2-b2.1.如果a2+a=1,那么(a-5)(a+6)的值为173.计算:2m2(-2mn).解析解析2m2(-2mn)=(m2mnm2n3)=2m5n4.4.先化简,再求值:(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y),其中x=9,y=.解析解析原式=2x2+xy+4xy+2y2-(3x2+6xy-xy-2y2)=-x2+4y2.当x=9,y=时,原式=-92+4=-80.3.计算:2m2(-2mn).解析2m2(-2mn181.若(-x2ym)2(kxn+1y)=-2x6y3,则(km)n等于()A.-2B.2C.4D.-4答案答案A因为(-x2ym)2(kxn+1y)=x4y2mkxn+1y=kx5+ny2m+1=-2x6y3,所以k=-2,5+n=6,2m+1=3,所以n=1,m=1.所以(km)n=(-2)11=-2,故选A.2.定义为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc.例如:=14-23=-2.化简=.答案答案4a+12解析解析原式=(a+2)(a+3)-(a-2)(a+3)=a2+5a+6-a2-a+6=4a+12.1.若(-x2ym)2(kxn+1y)=-2x6y3,则(193.设x,y为任意实数,定义运算:x*y=(x+1)(y+1)-1,得到下列五个命题:x*y=y*x;x*(y+z)=x*y+x*z;(x+1)*(x-1)=(x*x)-1;x*0=0;(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1.其中正确的命题的序号是.答案答案3.设x,y为任意实数,定义运算:x*y=(x+1)(y+120解析解析x*y=xy+x+y=y*x,故正确;x*(y+z)=(x+1)(y+z+1)-1=xy+xz+x+y+z,x*y+x*z=(x+1)(y+1)-1+(x+1)(z+1)-1=xy+xz+2x+y+z,故错误;(x+1)*(x-1)=(x+2)x-1=x2+2x-1,(x*x)-1=(x+1)(x+1)-1-1=x2+2x-1,故正确;x*0=x,故错误;(x+1)*(x+1)=(x+2)(x+2)-1=x2+4x+3,x*x+2*x+1=(x+1)(x+1)-1+3(x+1)-1+1=x2+5x+3,故错误.故答案为.4.请说明对任意正整数n,式子n(n+5)-(n+2)(n-3)的值必定能被6整除.解析x*y=xy+x+y=y*x,故正确;4.请说明对21解析解析n(n+5)-(n+2)(n-3)=n2+5n-(n2-3n+2n-6)=n2+5n-n2+n+6=6n+6=6(n+1).n为正整数,n+1为正整数,n(n+5)-(n+2)(n-3)的值必定能被6整除.解析n(n+5)-(n+2)(n-3)22一、选择题一、选择题1.(2018江西抚州临川第一实验学校月考,2,)若(y+3)(y-2)=y2+my+n,则()A.m=5,n=6B.m=1,n=-6C.m=1,n=6D.m=5,n=-6答案答案B(y+3)(y-2)=y2+y-6=y2+my+n,m=1,n=-6.2.(2018江苏扬州树人学校期中,7,)如果(x2-mx+1)(x+2)的积中不含x的二次项,那么m的值是()A.1B.-1C.-2D.2答案答案D原式=x3+2x2-mx2-2mx+x+2=x3+(2-m)x2-2mx+x+2,由题意得2-m=0,则m=2.一、选择题答案B(y+3)(y-2)=y2+y-623二、解答题二、解答题3.2016江苏昆山期中,19(2),计算:-2xy3x2y-x2y(-3xy+xy2).解析解析原式=-6x3y2+3x3y2-x3y3=-3x3y2-x3y3.二、解答题解析原式=-6x3y2+3x3y2-x3y3241.(2018湖南郴州龙市中学月考,9,)化简x2y3的结果为()A.-x3y3B.x3y3C.-2x3y3D.2x3y3答案答案C原式=x2xy3=-2x3y3.2.(2016北京石景山期末,17,)计算:-6ab.解析解析原式=-12a3b2+2a2b3.3.(2016山东济南商河期末,18,)计算:3x(x-y)-(2x-y)(x+y).解析解析原式=3x2-3xy-(2x2+2xy-xy-y2)=x2-4xy+y2.1.(2018湖南郴州龙市中学月考,9,)化简x2y25一、选择题一、选择题1.(2017台湾省中考,3,)计算6x(3-2x)的结果,与下列哪一个式子相同()A.-12x2+18xB.-12x2+3C.16xD.6x答案答案A6x(3-2x)=18x-12x2,故选A.2.(2017湖北武汉中考,5,)计算(x+1)(x+2)的结果为()A.x2+2B.x2+3x+2C.x2+3x+3D.x2+2x+2答案答案B(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.一、选择题答案A6x(3-2x)=18x-12x26二、填空题二、填空题3.(2018天津中考,13,)计算2x4x3的结果等于.答案答案2x7解析解析原式=2x4+3=2x7.4.(2015湖南常德中考,11,)计算:b(2a+5b)+a(3a-2b)=.答案答案5b2+3a2解析解析b(2a+5b)+a(3a-2b)=2ab+5b2+3a2-2ab=5b2+3a2.二、填空题答案2x7解析原式=2x4+3=2x7.4.271.(2016贵州毕节中考,3,)下列运算正确的是()A.-2(a+b)=-2a+2bB.(a2)3=a5C.a3+4a=a3D.3a22a3=6a5答案答案DA.原式=-2a-2b;B.原式=a6;C.a3与4a不是同类项,不能合并;D.原式=6a5.故选D.2.(2015福建福州中考,12,)计算(x-1)(x+2)的结果是.答案答案x2+x-2解析解析(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2.1.(2016贵州毕节中考,3,)下列运算正确的是(281.定义运算:ab=a(1-b),下面给出了关于这种运算的几个结论:2(-2)=6;ab=ba;若a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab;若ab=0,则a=0.其中正确结论的序号是.答案答案1.定义运算:ab=a(1-b),下面给出了关于这种运算的29解析解析2(-2)=21-(-2)=6,正确.ba=b(1-a)ab,错误.a+b=0,(aa)+(bb)=a(1-a)+b(1-b)=a-a2+b-b2=-a2-b2,由a+b=0,得b=-a,-a2-b2=-2a2,2ab=2a(-a)=-2a2,(aa)+(bb)=2ab,正确.当ab=0时,a=0或b=1,错误,故填.解析2(-2)=21-(-2)=6,正确.302.三角形表示运算3abc,方框xywz表示运算-4xywz,求n2m5的值.解析解析由题意得,n2m5=(33mn)(-4n2m5)=9mn(-4m5n2)=9(-4)m1+5n1+2=-36m6n3.2.三角形表示运算3abc,方框xywz表示运算-4xy311.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;(1)根据以上规律,则(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=;(2)你能否由此归纳出一般性规律:(x-1)(xn+xn-1+x+1)=;(3)根据(2)求出1+2+22+234+235的结果.解析解析(1)根据题意得(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1.(2)根据题意得(x-1)(xn+xn-1+x+1)=xn+1-1.(3)原式=(2-1)(1+2+22+234+235)=236-1.1.观察下列各式:解析(1)根据题意得(x-1)(x6+x322.化简:2(m-1)m+m(m+1)(m-1)m-m(m+1).若m是任意整数,请观察化简后的结果,你发现原式表示一个什么数?解析解析原式=2(m2-m+m2+m)(m2-m-m2-m)=22m2(-2m)=-8m3.发现:原式=(-2m)3,即无论m取什么整数,原式表示一个偶数的立方.2.化简:2(m-1)m+m(m+1)(m-1)m-m33
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