一次函数与二元一次方程组教材课件

两条直线互相平行，有两条直线互相平行，有 交交点；点；两条直线重合，有两条直线重合，有 交交点；点；两条直线相交，有两条直线相交，有 交交点；点；0个个无数个无数个一个一个x+y=5这是什么？这是什么？一次函一次函数数这是怎么这是怎么回事？回事？二元一次方二元一次方程程方程方程x+y=5可以转化为可以转化为任意一个二元一次方程都可以转化任意一个二元一次方程都可以转化成成y=kx+b的形式的形式,所以每个二元一次所以每个二元一次方程都对应一个一次函数方程都对应一个一次函数.归纳归纳:思考思考：是不是任意的二元一次方程是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？都能进行这样的转换呢？y=5-x师生互动师生互动(1)方程方程X+Y=5的解有的解有 无数多个解无数多个解,(0,5)、(5,0)、(1,4)等等.(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它它们都在函数们都在函数Y=5-X上吗上吗?(0,5)、(5,0)、(1,4)都都在函数在函数Y=5-XY=5-X的图象上的图象上.(3)在一次函数在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点的图象上任取一个点,它的坐标适它的坐标适合合方程方程X+Y=5吗吗?在一次函数在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点的图象上任取一个点(0,5),它的它的 坐坐标适合标适合方程方程X+Y=5.过过(0,5)、(5,0)两点的直线图象与两点的直线图象与一次函一次函数数Y=5-X 的的图象图象相同相同.(4)以以方程方程X+Y=5的解的解为坐标的所有的点所组为坐标的所有的点所组成的图象与一次函数成的图象与一次函数Y=5-X的图象的图象相同吗相同吗?知识源于悟益智的“机会”师师:通过以上结论通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程你能分析研究出二元一次方程与一次函数图象的关系吗与一次函数图象的关系吗?生生:二元一次方程二元一次方程的解的解就是一次函数图象的就是一次函数图象的点点的坐的坐标标;一次函数图象上的点的坐标就是一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程二元一次方程的解的解.二元一次方程与一次二元一次方程与一次函数的基本关系函数的基本关系x+y=5 y=5-x2x-y=1 y=2x-1x=0y=5x=5y=0 x=0y=-1x=0.5y=0O4312yx23451-1-2-4-3-4-3-2-1-5y=2x-1y=5-xP(2,3)P(2,3)x+y=52x-y=1x=2y=3的解做一做做一做2)交点坐标交点坐标(2,3)与方程组与方程组 的解有什么关系？的解有什么关系？X+Y=5；2X-Y=1。1)在同一直角坐标系中分别在同一直角坐标系中分别作一次函数作一次函数Y=5-X和和Y=2X-1的图象的图象,这两个图象有交点这两个图象有交点吗吗?在同一直角坐标系中一次函数在同一直角坐标系中一次函数Y=5-X和和Y=2X-1的图象有交点，交点坐标是的图象有交点，交点坐标是（2，3）。）。交点的横纵坐标即为方程组交点的横纵坐标即为方程组的解。的解。方程组方程组 的解是的解是 X+Y=5；2X-Y=1。X=2；Y=3。交点坐标交点坐标(2,3)是方程组是方程组 的解的解X+Y=5；2X-Y=1。这说明可以利用相应两个函数图象的交点坐这说明可以利用相应两个函数图象的交点坐标值求对应方程组的近似解。标值求对应方程组的近似解。O4312yx23451-1-2-4-3-4-3-2-1-5P(2,2)P(2,2)y=2x-2x=2y=2 所以方程组的解为所以方程组的解为:由（由（2）得）得 y=2x-2x=0时y=-2x=1时y=0 当当可作可作出出Y=2X-2的图象的图象 x=0时y=1x=-2时y=0 当当解 由（由（1）得）得 可作可作出出 的图象的图象x-2y=-2（1）2x-y=2 （2）例例1:用图象法解二元一次方程组用图象法解二元一次方程组过点过点(0,1)，(-2,0)过点过点(0,-2)，(1,0)观察图象得交点为观察图象得交点为(2,2)1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则方程组 的解为 .2、若二元一次方程组 的解为 ,则函数 与 的图象的交点坐标为 .（2，2）3 3根根据据下下列列图图象象，你你能能说说出出是是哪哪些些方方程程组组的的解解?这这些些解是什么解是什么?11xy0-21xy0求求直直线线 与与 直直线线的的交交点点坐坐标标。你你有有哪哪些些方方法法?与与同同伴伴交交流流，并并一一起起分分析析各各种种方方法的利弊法的利弊 解法思路解法思路2：由解方程组，得到交点坐标：由解方程组，得到交点坐标(把形把形的问题归结为数的解决，便捷准确的问题归结为数的解决，便捷准确)解法思路解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值值(因作图误差可能有较大差别因作图误差可能有较大差别)归纳归纳1 一次函数与二元一次方程都表示的一次函数与二元一次方程都表示的是数量关系，只是呈现的形式不同是数量关系，只是呈现的形式不同。归纳归纳2二元一次方程的解对应着相应的直二元一次方程的解对应着相应的直线上点的坐标；直线上点的坐标也线上点的坐标；直线上点的坐标也对应着相应的二元一次方程的解。对应着相应的二元一次方程的解。归纳归纳3二元一次方程组中的两个二元一次方程二元一次方程组中的两个二元一次方程分别对应着两个一次函数，也就对应着分别对应着两个一次函数，也就对应着两条直线；两条直线；二元一次方程组的解实际上就是对应二元一次方程组的解实际上就是对应的两条直线的交点坐标。的两条直线的交点坐标。例例3：老师为了教学，需要在家上网查资料。电信公司：老师为了教学，需要在家上网查资料。电信公司 提供了两种上网收费方式：提供了两种上网收费方式：方式方式 A：按上网时间以每分钟：按上网时间以每分钟 0.1 元计费；元计费；方式方式 B：月租费：月租费 20 元，再按上网时间元，再按上网时间 以每分钟以每分钟 0.05 元计费。元计费。请请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？一次函数一次函数 与与 二元一次方程组二元一次方程组oy/元x/分20400200y1=0.1xy 2=0.05x+204030在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像：在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像：当 x=400 时,y1=y2当当当当 x x400400 时时时时,y y1 1 y y2 2当当 0 x400 时时,y1 y2 y1=0.1x y2=0.05x+20解法解法1：设上网时间为设上网时间为 x 分，若按方式分，若按方式 A 则收则收 元；元；若按方式若按方式 B 则收则收 元。元。y1=0.1x y2=0.05x+20由函数图像得：由函数图像得：当当 时，时，y0，即选方式即选方式 省钱；省钱；当当 时，时，y=0，即选方式即选方式A、B ；当当 时，时，y0，即选方式即选方式 省钱；省钱；400y=0.05x+20 200yx解法解法2 2：设上网时间为：设上网时间为x x分，方式分，方式B B与方式与方式 A A两种计费的差两种计费的差额为额为y y元元,则则y y随随x x变化的函数关系式为变化的函数关系式为 .化简得化简得 。在直角坐标系中画出这个函数的图像：在直角坐标系中画出这个函数的图像：y=(0.05x+20)0.1xy=0.05x+200 x400X=400X400AB一样一样下面两种移动电话计费方式：下面两种移动电话计费方式：方式一方式一方式二方式二月租费月租费30元/月0本地通话费本地通话费0.30元/分 0.40元/分用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。用函数方法解答如何选择计费方式更省钱。方式一费用方式一费用：y1=0.3x+30方式二方式二方式二方式二费用费用：y2=0.4x两种计费差额为两种计费差额为：y=y1y2=0.1x+30当当 0 x 300 分时分时，y0，y1y2，方式二省钱方式二省钱当当 x=300 分时分时，y=0，y1=y2，方式一、二一样方式一、二一样 当当 x 300分时分时，y0，y1y2，方式一省钱方式一省钱300030 xy一次函数一次函数 与与 二元一次方程组二元一次方程组知识的升华小结 拓展1)二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程的解是一次函数上点的坐标二元一次方程的解是一次函数上点的坐标;一次函一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.2)二元一次方程组的解法总共学习了哪几种二元一次方程组的解法总共学习了哪几种?加减法加减法;代入法代入法;图象法图象法.3)方法归纳方法归纳用图象法解二元一次方程组用图象法解二元一次方程组优点优点:方法简便方法简便,形象直观形象直观;体现了数形结合思想体现了数形结合思想.不足不足:一般情况下求出的是近似数一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代要想精确还要用代 数方法数方法,进行细致计算进行细致计算.一次函数一次函数 与与 二元一次方程组二元一次方程组x-y=02x+y=51、用图象法解方程组、用图象法解方程组2x+y=42x-3y=12（1）（2）八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组探究学习探究学习(1)把二元一次方程把二元一次方程y-x=1写成一次函数写成一次函数y=_的形式的形式活动一活动一活动一活动一:探究一次函数与二元一次方程的关系探究一次函数与二元一次方程的关系探究一次函数与二元一次方程的关系探究一次函数与二元一次方程的关系2、你能找出方程的几组解吗、你能找出方程的几组解吗?3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么你发现了什么?x+11、画出一次函数、画出一次函数y=x+1的图像的图像4、以二元一次方程、以二元一次方程y-x=1的所有解为坐标的点的所有解为坐标的点都在一次函数都在一次函数y=x+1的图像上吗？的图像上吗？探究探究xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+1八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组即即:二元一次方程二元一次方程 (数数)相应的相应的一次函数的图象一条直线一次函数的图象一条直线 (形形)对应对应 结结论论:以以二元一次方程的二元一次方程的解解为为坐标的点坐标的点都在相应都在相应的的函数图象上函数图象上.反过来反过来,一次函数图象上的一次函数图象上的点的坐标点的坐标都是相应的都是相应的二二元一次方程的解元一次方程的解.八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组(1)在同一直角坐标系中画出方程在同一直角坐标系中画出方程 y+x=1对应对应的直线的直线探究学习探究学习活动二活动二活动二活动二:探究一次函数与二元一次方程组的关系探究一次函数与二元一次方程组的关系探究一次函数与二元一次方程组的关系探究一次函数与二元一次方程组的关系是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？所对应的二元一次方程组的解？y=-x+1探究探究xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+1y=-x+1(0,1)x+y=1-x+y=1y=x+1y=-x+1(0,1)自变量为何值时，自变量为何值时，这两个一次函数的这两个一次函数的值相等值相等？函数值是？函数值是什么？什么？八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组归纳总结归纳总结:从数的角度看：从数的角度看：从形的角度看：从形的角度看：求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解自变量为何值时，两个函数的自变量为何值时，两个函数的值相等并求函数值值相等并求函数值求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标是确定两条直线交点的坐标1、以方程、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在 一次函数一次函数 _的图像上。的图像上。2、方程组、方程组 的解是的解是 ，由此可知一，由此可知一次函数次函数 与与 的图像必有一个交点，的图像必有一个交点，且交点坐标是且交点坐标是 。x-yx-y=43x-y=13x-y=16一次函数一次函数 与与 二元一次方程组二元一次方程组体验成功喜悦体验成功喜悦活动三活动三:巩固练习巩固练习y=2x-1x=x=6y=2y=2y=x+4 y=-3x+16(6，2)八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组3、根据下列图象，你能说出它表示哪个方、根据下列图象，你能说出它表示哪个方程组的解？这个解是什么？程组的解？这个解是什么？11xyoy=2x-1y=-3x+4活动三活动三:巩固练习巩固练习八年级 数学第十一章 函数11.3用函数观点看方程用函数观点看方程(组组)与不等式与不等式一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组2x+y=42x-3y=124:用图象法解方程组：用图象法解方程组：解：解：由由得得:由由得得:作出图象：作出图象：观察图象得：交点为观察图象得：交点为(3,-2)方程组的解为方程组的解为x=3y=-2xoyy=-2x+4y=2/3x-4八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组u二元一次方程组的二元一次方程组的解解与以这两与以这两个方程所对应的一次函数图象的个方程所对应的一次函数图象的交点坐标交点坐标相对应。相对应。由此可得由此可得:二二元一次方程组的图象解法元一次方程组的图象解法.写函数，作图象，找交点，下结论写函数，作图象，找交点，下结论八年级 数学一元函数与二元一次方程组一元函数与二元一次方程组yoxx-y=02x+y=5作出图象：作出图象：观察图象得：交点观察图象得：交点(1.7,1.7)方程组的解为方程组的解为x=1.7y=1.7精确！精确！图象法：图象法：你有哪些方法？你有哪些方法？3、解方程组、解方程组代数法：代数法：x=5/3y=5/3 方程组的解为方程组的解为用作图象的方法可以直观地获得问题用作图象的方法可以直观地获得问题的的结果结果,但有时却难以准确但有时却难以准确.为了获得准确为了获得准确的结果的结果,我们一般用代数方法我们一般用代数方法.近似！近似！作作 业业必做题：必做题：一次函数一次函数 与与 二元一次方程组二元一次方程组1、课本、课本129页第页第6题和第题和第8题。题。2 2、上海世博会以、上海世博会以、上海世博会以、上海世博会以“城市，让生活更美好城市，让生活更美好城市，让生活更美好城市，让生活更美好”为主题。为了为主题。为了为主题。为了为主题。为了响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲班每小时植树班每小时植树班每小时植树班每小时植树2020棵，乙班每小时植树棵，乙班每小时植树棵，乙班每小时植树棵，乙班每小时植树2424棵。由于某些原棵。由于某些原棵。由于某些原棵。由于某些原因，甲班植完因，甲班植完因，甲班植完因，甲班植完8 8棵后，乙班才开始，你认为哪个班植树棵棵后，乙班才开始，你认为哪个班植树棵棵后，乙班才开始，你认为哪个班植树棵棵后，乙班才开始，你认为哪个班植树棵树多？树多？树多？树多？思考思考:我们知道我们知道,在同一平面内在同一平面内,两条直线的位置关系是两条直线的位置关系是相交和平行相交和平行,若两条直线平行若两条直线平行,则它们所对应的方程组的则它们所对应的方程组的解会怎么样解会怎么样?(选做）选做）谢谢倾听敬请指导动脑筋动脑筋 某一天，小明和小亮同时从家里出发去县城，速度分别为某一天，小明和小亮同时从家里出发去县城，速度分别为2.5千米千米/时，时，4千米千米/时时.小亮家离县城小亮家离县城25千米，小明家在小亮家去县千米，小明家在小亮家去县城的路上，离小亮家城的路上，离小亮家5千米千米.（1）你能分别写出小明、小亮离小亮家的距离你能分别写出小明、小亮离小亮家的距离y(千米千米)与行与行走时间走时间x（小时）的函数关系吗？（小时）的函数关系吗？小明离小亮小明离小亮家的距离家的距离y=2.5x+5小亮离自己家小亮离自己家的距离的距离y=4x（2）在同一直角坐标系中分别画出上述两个函数的图象，在同一直角坐标系中分别画出上述两个函数的图象，如下图表示如下图表示.x(小时小时)y(千米千米)5102025303512345670y=4xy=2.5x+5（2）你能从图中看出，在出发后几个小时小亮追上小明吗？你能从图中看出，在出发后几个小时小亮追上小明吗？x(小时小时)y(千米千米)5102025303512345670y=4xy=2.5x+5p两条射线的交点两条射线的交点P P的横坐标约为的横坐标约为3.33.3，因，因此在出发后约此在出发后约3.33.3小时，小时，小亮追上了小明小亮追上了小明.x(小时小时)y(千米千米)5102025303512345670Mly=4xy=2.5x+5（2）你能从图中看出，谁先到达县城吗？你能从图中看出，谁先到达县城吗？如图所示，过如图所示，过M(0(0，25)25)作作射线射线l与与x轴平行，它先与射轴平行，它先与射线线y=4=4x相交，这表明小亮相交，这表明小亮先到达县城先到达县城.上述例子的第上述例子的第(3)(3)个问题中，小亮追上小明的时间是个问题中，小亮追上小明的时间是所绘直角坐标系中两条射线所绘直角坐标系中两条射线 y=2.5 x+5 与与 y=4 x 的交的交点点P的横坐标，而交点的横坐标，而交点P的坐标是下述二元一次方程组的的坐标是下述二元一次方程组的解：解：上述例子就是通过在同一个直角坐标系中，分别画出上述例子就是通过在同一个直角坐标系中，分别画出y=2.5 x+5 与与 y=4 x 的图象，求出交点坐标，从而得出的图象，求出交点坐标，从而得出二元一次方程组的近似值二元一次方程组的近似值.这种解二元一次方程组的方法叫做这种解二元一次方程组的方法叫做图像法图像法.利用函数图象解方程组：利用函数图象解方程组：如图，在同一直角坐标系内作出一次函数如图，在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x的的图象图象l1 和一次函数和一次函数 图象图象l2。由由2x-y=0可得可得 y=2x由由3x+2y=7可得可得观察图形得观察图形得l1与与l2的交点为（的交点为（1，2）所以方程组所以方程组 的的解为解为解：解：例：例：求求直线直线y=3x+9与直线与直线y=2x-7的交点坐的交点坐标，你有哪些方法？这些方法有哪些标，你有哪些方法？这些方法有哪些利弊？利弊？将方程组中各方程化为将方程组中各方程化为y=kx+b的形式的形式 画出各个一次函数的图象画出各个一次函数的图象 由交点坐标得出方程组的解。由交点坐标得出方程组的解。图象法解方程组的步骤：图象法解方程组的步骤：根据下列图象，你能说出是哪根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解？这些解是什么？些方程组的解？这些解是什么？数学问题之间的转化数学问题之间的转化解方程组解方程组求两条直线求两条直线的交点坐标的交点坐标求自变量为何值求自变量为何值时函数值相等，时函数值相等，函数值为多少？函数值为多少？y1=0.1xy/元元x/分分0y2=0.05x+202040040 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式式A以每分以每分0.1元的价格按上网时间记费；方式元的价格按上网时间记费；方式B除收月除收月基费基费20元外再以每分元外再以每分0.05元的价格按上网时间记费。元的价格按上网时间记费。如何选择收费方式能使上网者更合算？如何选择收费方式能使上网者更合算？解：设上网时间为解：设上网时间为x分，若按方式分，若按方式A则收则收y1=0.1x元；若按方式元；若按方式B则则收收 y2=0.05x+20元。元。解方程组解方程组 y=0.1x y=0.05x+20得得 x=400 y=40所以两图象交于点所以两图象交于点(400，40).由图象易知：由图象易知：当当0 x x400400时时，即选择方式，即选择方式A省钱；省钱；当当x=400时，即选择方式时，即选择方式A，B没有区别；没有区别；当当x400时，即选择方式时，即选择方式B省钱。省钱。画出函数图象。画出函数图象。0 x x400400y1 y2 x400y1 y2y1=y2 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式式A以每分以每分0.1元的价格按上网时间记费；方式元的价格按上网时间记费；方式B除收月除收月基费基费20元外再以每分元外再以每分0.05元的价格按上网时间记费。元的价格按上网时间记费。如何选择收费方式能使上网者更合算？如何选择收费方式能使上网者更合算？解：设上网时间为解：设上网时间为x分，若按方式分，若按方式A则收则收y1=0.1x元；若按方式元；若按方式B则收则收y2=0.05x+20元方式元方式B与方式与方式A两种记费的差额为两种记费的差额为y元则元则y随随x变化的变化的函数关系为函数关系为y=y2-y1=(0.05x+20)-0.1x=-0.05x+20画出函数图象。画出函数图象。y0 x20y=-0.05x+20解方程解方程-0.05x+20=0，得出直得出直线线 y=-0.05x+20与与x轴的交点轴的交点为（为（400，0）。）。400由图象易知：由图象易知：当当0 x x400400时时，y 0，即选择方式即选择方式A省钱；省钱；当当x=400时，时，y=0，即选择方式即选择方式A，B没有区别；没有区别；当当x400时，时，y 0，即选择方式即选择方式B省钱。省钱。