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立体几何复习空间角空间角立体几何复习1直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角直线与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角空间的角21.在立体几何中，在立体几何中，“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样定义的？是怎样定义的？直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，分别引直线a/a，b/b，我们把相交直线，我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角（或直角）叫做异面（或直角）叫做异面直线所成的角直线所成的角.范围：范围：(0o,90o 复习引入复习引入Oa ab1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？直线a32.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的？是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角.范围：范围：0o,90o OAP2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？平面43.在立体几何中在立体几何中,二面角二面角是怎样定义的？是怎样定义的？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角二面角的大小用什么来度量？二面角的大小用什么来度量？二面角平面角二面角平面角范围：范围：00，.3.在立体几何中,二面角是怎样定义的？从一条直线出发的5空间角空间角作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形在三角形中计算中计算做大题步骤：做大题步骤：空间角作(找)-证-指出-算-结论关键在三角6（一）异面直线所成的角（一）异面直线所成的角：范围是（范围是（0 0，/2./2.平移直线成相交直线平移直线成相交直线:(1)(1)利用中位线利用中位线,平行四边形平行四边形;(2)(2)补形法补形法.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键关键在三角形中计算在三角形中计算（一）异面直线所成的角：范围是（0，/2.平移直线成相交7空间角空间角(线线角线线角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论例例1.在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1空间角(线线角)作(找)-证(指出)-算-结论例8空间角空间角(线线角线线角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论例例1.在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1E空间角(线线角)作(找)-证(指出)-算-结论例9空间角空间角(线线角线线角)例例1.在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1E空间角(线线角)例1.在正方体AC1中，求(1)直线A1B和10空间角空间角(线线角线线角)例例1.在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角A1EABDCB1D1C1空间角(线线角)例1.在正方体AC1中，求(1)直线A1B和11空间角空间角(线线角线线角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论例例1.在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1OFEH空间角(线线角)作(找)-证(指出)-算-结论例12 (二二)直线与平面所成的角直线与平面所成的角 ：范围是范围是00，/2./2.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算在三角形中计算OAP法一：确定射影的方法法一：确定射影的方法(找斜足和垂足找斜足和垂足):):法二：等体积法法二：等体积法(垂足位置不确定时垂足位置不确定时):):h (二)直线与平面所成的角 ：范围是0，/213例例2如如图图所所示示，AB是是圆圆柱柱的的母母线线，BD是是圆圆柱柱底底面面圆圆的的直直径径，C是是底底面面圆周上一点，且圆周上一点，且ABBC2，CBD45，（1）求直线）求直线AD与平面与平面BCD所成角的正弦值所成角的正弦值.（2）求直线）求直线BD与平面与平面ACD所成角的所成角的正弦值正弦值.OAPh射影法：等体积法：空间角空间角(线面角线面角)例2如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C 棱上一点定义法棱上一点定义法：常取等腰三角形底边常取等腰三角形底边(棱棱)中点中点.面上一点垂线法面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另自二面角的一个面上一点向另 一面引垂线，再由垂足向棱作垂线一面引垂线，再由垂足向棱作垂线 空间一点垂面法空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二自空间一点作与棱垂直的平面，截二 面角得两条射线，这两条射线所成的角面角得两条射线，这两条射线所成的角.二二面面角角平平面面角角的的画画法法 (三三)二面角二面角：范围是范围是00，.特别关注等腰三角形的中线特别关注等腰三角形的中线 棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.面上一15斜面面积和射影面积的关系公式斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积为原斜面面积,为射影面积为射影面积,为斜面与射影所成为斜面与射影所成二面角的平面角二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形这个公式对于斜面为三角形,任意多边任意多边形都成立形都成立.ABCOD当当二面角的二面角的平面角平面角不易作出时，可用面积法不易作出时，可用面积法直接求平面角的余弦值直接求平面角的余弦值.斜面面积和射影面积的关系公式：ABCOD当二面角的平面角16例例3:正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,求求:(1)二面角二面角A1-AD-B的大小的大小.(2)二面角二面角A-BD-A1的正切值的正切值;ABCDA1B1C1D1O作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论ABCOD空间角空间角(二面角二面角)例3:正方体ABCDA1B1C1D1中,求:ABCDA1B17例例3:正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,求求:(1)二面角二面角A1-AD-B的大小的大小.(2)二面角二面角A-BD-A1的正切值的正切值;ABCDA1B1C1D1O作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论思考：思考：1.二面角二面角A1-BD-C的正切值是多少？的正切值是多少？ABCOD空间角空间角(二面角二面角)2.二面角二面角A1-BD-C1的正切值是多少？的正切值是多少？例3:正方体ABCDA1B1C1D1中,求:ABCDA1B18变式：如图所示，变式：如图所示，ABC为正三角形，为正三角形，EC平面平面ABC，BDCE，且，且CE=CA=2BD，M为为EA的中点的中点.求：求：ABCEDMF思考：平面思考：平面EAD和平面和平面BAC所成的二面角的平面角的余弦值所成的二面角的平面角的余弦值（2）二面角）二面角A-DE-C的平面角的余弦值的平面角的余弦值ABCOD（1）二面角）二面角D-AC-B的平面角的余弦值的平面角的余弦值PQ变式：如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BD19课堂小结：课堂小结：利用作图将空间问题利用作图将空间问题转化转化为平面问题来研究角为平面问题来研究角 一作一作(找找)-二证二证(指出指出)-三算三算-四下结论四下结论求空间角大题的步骤：求空间角大题的步骤：课后大家再去好好揣摩一下该如何作图课后大家再去好好揣摩一下该如何作图课堂小结：利用作图将空间问题转化为平面问题来研究角一作(找)20变式：如图所示，变式：如图所示，ABC为正三角形，为正三角形，EC平面平面ABC，BDCE，且，且CE=CA=2BD，M为为EA的中点的中点.求：求：ABCEDMF思考：思考：1.平面平面EAD和平面和平面BAC所成的二面角的平面角的余弦值所成的二面角的平面角的余弦值（2）二面角）二面角A-DE-C的平面角的余弦值的平面角的余弦值ABCOD（1）二面角）二面角D-AC-B的平面角的余弦值的平面角的余弦值 2.平面平面CDM和平面和平面CAB所成的二面角的平面角的余弦值所成的二面角的平面角的余弦值PQ变式：如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BD21
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