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第22讲 图形与证明1学习目标（学习目标（1分钟）分钟）1.了解定义、命题、定理的含义，会区分命了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论。题的条件和结论。2.会识别互逆命题及其真假。会识别互逆命题及其真假。3.体会反证法的含义。体会反证法的含义。4.掌握用综合法证明的格式，体会证明的过掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。程要步步有据。5.掌握一些证明的依据掌握一些证明的依据(公理，定理）。公理，定理）。学习目标（1分钟）1.了解定义、命题、定理的含义，会区分命2学习指导（学习指导（1分钟）分钟）1.阅读并完成中考必备阅读并完成中考必备P143“重点梳重点梳理与归纳理与归纳”知识要点填空，掌握：知识要点填空，掌握：（1）命题的结构，真假。）命题的结构，真假。（2）命题的证明步骤。）命题的证明步骤。（3）什么是互逆命题与互逆定理？）什么是互逆命题与互逆定理？（4）用反证法证明命题的步骤。）用反证法证明命题的步骤。（5）证明的依据有哪些？（公理、定理、定义）证明的依据有哪些？（公理、定理、定义）2.阅看阅看P143-144 例例1、例、例2.3.完成完成P142“课前检测课前检测”14学生自学（学生自学（8分钟）分钟）学习指导（1分钟）1.阅读并完成中考必备P143“重点梳3自学检测（自学检测（10分钟）分钟）1.下列语句是命题的是下列语句是命题的是 ()A.直线直线AB平行于直线平行于直线CD；B你好，广东！你好，广东！C.画出画出AOB的平分线的平分线OC；D.对顶角相等对顶角相等2.下列命题中是假命题的是（）下列命题中是假命题的是（）A过已知直线上一点及该直线外一点的直线与过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；已知直线必是相交直线；B同旁内角互补；同旁内角互补；C直角的补角是直角；直角的补角是直角；D垂线段最短垂线段最短3.命题命题“全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的逆命题是的逆命题是 ，这个命题是，这个命题是 命题（填命题（填“真真”或或“假假”）DB面积相等的三角形是全等三角形。假面积相等的三角形是全等三角形。假自学检测（10分钟）1.下列语句是命题的是 ()44.用反证法证明用反证法证明“经过同一条直线上的三个点不经过同一条直线上的三个点不能画一个圆能画一个圆”,第一步假设第一步假设_.5.把把“垂直于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行”改写成改写成“如果如果，那么，那么”的形式为：的形式为：_6.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形吗？同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）图说明）.经过同一直线上的三个点能画一个圆经过同一直线上的三个点能画一个圆如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线互相平行。如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线互相平行。已知：如图，梯形已知：如图，梯形ABCD中，中，ADBC，B=C.求证：梯形求证：梯形ABCD是等腰梯形。是等腰梯形。ABCDE4.用反证法证明“经过同一条直线上的三个点不能画一个圆”,5点拨（点拨（5分钟）分钟）一、命题的结构与其真假一、命题的结构与其真假命题：判断一件事情的句子。命题：判断一件事情的句子。由由题设（条件）题设（条件）和和结论结论组成。组成。常用的书写格式：常用的书写格式：“如果如果那么那么”.真命题真命题:条件与结论都成立。条件与结论都成立。假命题假命题：条件成立，结论不成立。（：条件成立，结论不成立。（举反例举反例）二、互逆命题与互逆定理二、互逆命题与互逆定理原命题是真命题，其逆命题不一定为真命题。原命题是真命题，其逆命题不一定为真命题。一个定理的逆命题不一定为真命题一个定理的逆命题不一定为真命题.点拨（5分钟）一、命题的结构与其真假二、互逆命题与互逆定理6三三、证明一个命题的一般步骤、证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论弄清题设和结论;(2)根据题意画出相应的图形根据题意画出相应的图形;(3)根据题设和结论写出已知根据题设和结论写出已知,求证求证;(4)分析证明思路分析证明思路,写出证明过程写出证明过程.（用反证法证明命题的一般步骤）（用反证法证明命题的一般步骤）三、证明一个命题的一般步骤:71.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等;3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等;4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.四、本套教材的公理四、本套教材的公理:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平8当堂训练（当堂训练（20分钟）分钟）1.下列命题中是真命题的是下列命题中是真命题的是().A 如果如果a=b,那么那么a=b;B 一元二次方程一元二次方程ax+bx+c=0(a0),如果有实数解如果有实数解,那么那么b-4ac0;C 线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;D 经过半径外端的直线是圆的切线经过半径外端的直线是圆的切线2.“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是的逆命题是。3.写出命题写出命题“半圆或直径所对的圆周角为直角半圆或直径所对的圆周角为直角”的的逆命题逆命题 ，它是，它是一个一个 命题（填命题（填“真真”或或“假假”）。）。C两个角相等的三角形是等腰三角形。两个角相等的三角形是等腰三角形。900的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆。的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆。真真当堂训练（20分钟）1.下列命题中是真命题的是(94.已知下列命题：已知下列命题：同位角相等；同位角相等；若若ab0，则则 ；对角线相等且互相垂直的四边对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；形是正方形；抛物线抛物线y=x2-2x与坐标轴有与坐标轴有3个个 不同交点；不同交点；边长相等的多边形内角都相等边长相等的多边形内角都相等.从从中任选一个命题是真命题的概率为（中任选一个命题是真命题的概率为（）A.B.C.D.5.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个 内角小于或等于内角小于或等于 60。第一步应假设第一步应假设 。三角形三个内角都大于三角形三个内角都大于60A4.已知下列命题：同位角相等；若ab0，则 106.已知四边形已知四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O,给出下列四个论断给出下列四个论断:OAOCABCDBADDCBADBC请你从中选择两个论断作为条件请你从中选择两个论断作为条件,以以“四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形”作为结论作为结论,完成下列各题：完成下列各题：构造一个真命题，画图并给出证明；构造一个真命题，画图并给出证明；构造一个假命题，举反例加以说明构造一个假命题，举反例加以说明.1）如图）如图1，当满足，当满足 OAOC ADBC两个条件时，两个条件时，四边形四边形ABCD为平行四边形。为平行四边形。证明：证明：AD BC OAD=OCB 又又OA=OC，AOD=COBOAD与与OCB全等，全等，AD=BC故，四边形故，四边形ABCD为平行四边形为平行四边形（当然上述不是唯一答案）（当然上述不是唯一答案）2）假命题：如图）假命题：如图2，当满足，当满足ABCD ADBC两个条件时，两个条件时，四边形四边形ABCD为平行四边形。为平行四边形。显然存在等腰梯形满足上述显然存在等腰梯形满足上述的两个条件。的两个条件。6.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四11选做题选做题7.选做题7.128.如图，梯形如图，梯形ABCD中，中，AD/BC，ADDC，M为为AB的中点。的中点。（1）求证：）求证：MD=MC；（2）平移）平移AB使使AB与与CD相交，且保持相交，且保持AD/BC与与 ADDC，M仍为仍为AB的中点（如图的中点（如图2）试问）试问（1）的结论是否仍然成立？请证明你的结论。）的结论是否仍然成立？请证明你的结论。ABCDM图图2AB CDM图图1EF8.如图，梯形ABCD中，AD/BC，ADDC，M为AB139.已知正方形已知正方形ABCD和正方形和正方形AEFG有一个公共顶点有一个公共顶点A,点点G、E分别在线段分别在线段AD、AB上。上。(1)如图如图1,连结连结DF、BF,若将正方形若将正方形AEFG绕点绕点A按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转,判断命题判断命题:“在旋转的过程中在旋转的过程中线段线段DF与与BF的长始终相等。的长始终相等。”是否正确是否正确,若正确若正确请说明理由请说明理由,若不正确请举反例说明。若不正确请举反例说明。(2)若将正方形若将正方形AEFG绕点绕点A按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转,连结连结DG,在旋转的过程中在旋转的过程中,你能否找到一条线段的你能否找到一条线段的长与线段长与线段DG的长的长 始终相等。并以始终相等。并以 图图2为例说明理由为例说明理由。9.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共顶点A,点G14（1）不正确）不正确若将正方形若将正方形AEFG绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转45，这时点这时点F落在边落在边AB上上根据根据“垂线段最短垂线段最短”的性质可知的性质可知DFAD，而而ADAB，BF是是AB的一部分，的一部分，因此有因此有DFBF，即此时线段即此时线段DF与与BF的长不相等的长不相等（1）不正确15（2）连结）连结BE，BEDG理由如下理由如下：因为四边形因为四边形ABCD，AEFG是正方形，是正方形，所以所以ADAB，AGAE，又又DAGGAB90，GABBAE90，所以所以DAGBAE，因此因此ABE可以看作是由可以看作是由ADG绕点绕点A顺时针旋转而得，故顺时针旋转而得，故BEDG也可用也可用全等三角形全等三角形证明，如下：证明，如下：连结连结BE，则线段，则线段BE=DG，理由是：理由是：DA=AB，DAG=BAE，AG=AE，DAGBAE（SAS）所以所以DG=BE（2）连结BE，BEDG理由如下：也可用全等三角形证明16
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