中考数学专题三几何证明ppt课件

专题三几何证明专题三几何几何证明是平面几何中的一个重要明是平面几何中的一个重要问题,它它对培养培养学生学生逻辑思思维能力有着很大作用能力有着很大作用.几何几何证明有两种基本明有两种基本类型型:一是平面一是平面图形的数量关系形的数量关系;二是有关平面二是有关平面图形的位形的位置关系置关系.这两两类问题常常可以相互常常可以相互转化化,如如证明平行关系明平行关系可可转化化为证明角相等或角互明角相等或角互补的的问题.几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维考点一考点一 证明明线段相等或角相等段相等或角相等 两条两条线段或两个角相等是平面几何段或两个角相等是平面几何证明中最基本明中最基本也是最重要的一种相等关系也是最重要的一种相等关系.很多其他很多其他问题最后都可化最后都可化归为此此类问题来来证.证明两条明两条线段或两角相等最常用的段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性方法是利用全等三角形的性质,其他如其他如线段中垂段中垂线的性的性质、角平分、角平分线的性的性质、等腰三角形的判定与性、等腰三角形的判定与性质等也等也经常用到常用到.考点一 证明线段相等或角相等 【示范【示范题1 1】(2017(2017湖州中考湖州中考)已知正方形已知正方形ABCDABCD的的对角角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O.O.(1)(1)如如图1,E,G1,E,G分分别是是OB,OCOB,OC上的点上的点,CE,CE与与DGDG的延的延长线相相交于点交于点F.F.若若DFCE,DFCE,求求证:OE=OG.:OE=OG.【示范题1】(2017湖州中考)已知正方形ABCD的对角线(2)(2)如如图2,H2,H是是BCBC上的点上的点,过点点H H作作EHBC,EHBC,交交线段段OBOB于点于点E,E,连接接DHDH交交CECE于点于点F,F,交交OCOC于点于点G.G.若若OE=OG,OE=OG,求求证:ODG=OCE;:ODG=OCE;当当AB=1AB=1时,求求HCHC的的长.(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EHBC,交线段OB【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)欲证明欲证明OE=OG,OE=OG,只要证明只要证明DOGDOGCOECOE即可即可.(2)(2)欲证明欲证明ODG=OCE,ODG=OCE,只要证明只要证明ODGOCEODGOCE即即可可;设设CH=x,CH=x,由由CHEDCH,CHEDCH,可得可得 ,即即HCHC2 2=EHEHCD,CD,由此构建方程即可解决问题由此构建方程即可解决问题.【思路点拨】(1)欲证明OE=OG,只要证明DOG【自主解答】【自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,ACBD,OD=OC,DOG=COE=90,ACBD,OD=OC,DOG=COE=90,OEC+OCE=90,OEC+OCE=90,DFCE,OEC+ODG=90,ODG=OCE,DFCE,OEC+ODG=90,ODG=OCE,DOGCOE(ASA),OE=OG.DOGCOE(ASA),OE=OG.【自主解答】(1)四边形ABCD是正方形,(2)OG=OE,DOG=COE=90,OD=OC,(2)OG=OE,DOG=COE=90,OD=OC,ODGOCE,ODG=OCE.ODGOCE,ODG=OCE.设设CH=x,CH=x,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AB=1,AB=1,BH=1-x,DBC=BDC=ACB=45,BH=1-x,DBC=BDC=ACB=45,EHBC,BEH=EBH=45,EH=BH=1-x,EHBC,BEH=EBH=45,EH=BH=1-x,(2)OG=OE,DOG=COE=90,OD=OCODG=OCE,ODG=OCE,BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH,BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH,EHBC,EHC=HCD=90,CHEDCH,EHBC,EHC=HCD=90,CHEDCH,HC ,HC2 2=EH=EHCD,xCD,x2 2=(1-x)=(1-x)1,1,解得解得x=x=或或 (舍弃舍弃),HC=.),HC=.ODG=OCE,【特【特别提醒】提醒】本本题考考查了正方形的性了正方形的性质、全等三角形的判定和性、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性相似三角形的判定和性质.在几何在几何图形中形中,证明明线段段(或或角角)相等的一般思路是相等的一般思路是证明明线段段(或角或角)所在的三角形全所在的三角形全等等;求求线段的段的长时,可构造直角三角形利用勾股定理求可构造直角三角形利用勾股定理求解解,有有时利用相似三角形的利用相似三角形的对应边成比例构造方程求解成比例构造方程求解.【特别提醒】【变式式训练】如如图,在在RtABCRtABC中中,C=90,A=30,AB,C=90,A=30,AB的垂直平分的垂直平分线分分别交交AB,ACAB,AC于点于点D,E.D,E.(1)(1)求求证:AE=2CE.:AE=2CE.(2)(2)求求证:DE=EC.:DE=EC.【变式训练】【证明】【证明】(1)(1)连接连接BE,BE,在在ABCABC中中,C=90,A=30,C=90,A=30,ABC=90-A=60,ABC=90-A=60,DEDE是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线,AE=BE,AE=BE,ABE=A=30,CBE=ABC-ABE=30,ABE=A=30,CBE=ABC-ABE=30,在在RtBCERtBCE中中,BE=2CE,AE=2CE.,BE=2CE,AE=2CE.【证明】(1)连接BE,(2)(2)由由(1)(1)知知CBE=ABE=30,CBE=ABE=30,DEAB,C=90,DEAB,C=90,DE=CE.DE=CE.(2)由(1)知CBE=ABE=30,【知【知识归纳】1.1.掌握分析、掌握分析、证明几何明几何问题的常用方法的常用方法:(1)(1)综合法合法(由因由因导果果):):从已知条件出从已知条件出发,通通过有关定有关定义、定理、公理的定理、公理的应用用,逐步向前推逐步向前推进,直到直到问题的解决的解决.【知识归纳】(2)(2)分析法分析法(执果索因果索因):):从命从命题的的结论考考虑,推敲使其成推敲使其成立需要具立需要具备的条件的条件,然后再把所需的条件看成要然后再把所需的条件看成要证的的结论继续推敲推敲,如此逐步往上逆求如此逐步往上逆求,直到已知事直到已知事实为止止.(2)分析法(执果索因):从命题的结论考虑,推敲使其成立需要(3)(3)两两头凑法凑法:将分析与将分析与综合法合并使用合法合并使用,比比较起来起来,分析分析法利于思考法利于思考,综合法易于表达合法易于表达,因此因此,在在实际思考思考问题时,可合并使用可合并使用,灵活灵活处理理,以利于以利于缩短短题设与与结论的距离的距离,最后达到最后达到证明目的明目的.(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于2.2.掌握构造基本掌握构造基本图形的方法形的方法:复复杂的的图形都是由基本形都是由基本图形形组成的成的,因此要善于将复因此要善于将复杂图形分解成基本形分解成基本图形形.在在更多更多时候需要构造基本候需要构造基本图形形,在构造基本在构造基本图形形时往往需往往需要添加要添加辅助助线,以达到集中条件、以达到集中条件、转化化问题的目的的目的.2.掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,考点二考点二 证明直明直线平行或垂直平行或垂直 在两条直在两条直线的位置关系中的位置关系中,平行与垂直是两种特殊平行与垂直是两种特殊的位置的位置.证两直两直线平行平行,可用同位角、内可用同位角、内错角或同旁内角或同旁内角的关系来角的关系来证,也可通也可通过边对应成比例、三角形中位成比例、三角形中位线定理定理证明明.证两条直两条直线垂直垂直,可可转化化为证一个角等于一个角等于90,90,或利用两个或利用两个锐角互余角互余,或等腰三角形或等腰三角形“三三线合一合一”来来证.考点二 证明直线平行或垂直 【示范【示范题2 2】(2017(2017南充中考南充中考)如如图,在正方形在正方形ABCDABCD中中,点点E,GE,G分分别是是边AD,BCAD,BC的中点的中点,AF=AB.,AF=AB.(1)(1)求求证:EFAG.:EFAG.【示范题2】(2017南充中考)如图,在正方形ABCD(2)(2)若点若点F,GF,G分分别在射在射线AB,BCAB,BC上同上同时向右、向上运向右、向上运动,点点G G运运动速度是点速度是点F F运运动速度的速度的2 2倍倍,EFAG,EFAG是否成立是否成立(只只写写结果果,不需不需说明理由明理由)?)?(3)(3)正方形正方形ABCDABCD的的边长为4,P4,P是正方形是正方形ABCDABCD内一点内一点,当当S SPABPAB=S=SOABOAB时,求求PABPAB周周长的最小的最小值.(2)若点F,G分别在射线AB,BC上同时向右、向上运动,点【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)由正方形的性质得出由正方形的性质得出AD=AB,AD=AB,EAF=EAF=ABG=90ABG=90,证出证出 ,得出得出AEFAEFBAG,BAG,由相由相似三角形的性质得出似三角形的性质得出AEF=AEF=BAG,BAG,再由角的互余关系再由角的互余关系和三角形内角和定理证出和三角形内角和定理证出AOE=90AOE=90即可即可.【思路点拨】(1)由正方形的性质得出AD=AB,EAF=(2)(2)证明证明AEFBAG,AEFBAG,得出得出AEF=BAG,AEF=BAG,再由角的互再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论余关系和三角形内角和定理即可得出结论.(2)证明AEFBAG,得出AEF=BAG,再由角(3)(3)过点过点O O作作MNAB,MNAB,交交ADAD于点于点M,M,交交BCBC于点于点N,N,则则MNAD,MNAD,MN=AB=4,MN=AB=4,由三角形的面积关系得出点由三角形的面积关系得出点P P在线段在线段MNMN上上,当当P P为为MNMN的中点时的中点时,PAB,PAB的周长最小的周长最小,此时此时PA=PB,PM=PA=PB,PM=MN=2,MN=2,连接连接EG,EG,则则EGAB,EG=AB=4,EGAB,EG=AB=4,证明证明AOFAOFGOE,GOE,得出得出 ,证出证出 ,得出得出AM=AM=AE=,AE=,由勾股定理求出由勾股定理求出PA,PA,即可得出答案即可得出答案.(3)过点O作MNAB,交AD于点M,交BC于点N,则MN【自主解答】【自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AD=AB,EAF=ABG=90,AD=AB,EAF=ABG=90,点点E,GE,G分别是边分别是边AD,BCAD,BC的中点的中点,AF=AB.,AF=AB.AEFBAG,AEF=BAG,AEFBAG,AEF=BAG,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,AOE=90,EFAG.AOE=90,EFAG.【自主解答】(1)四边形ABCD是正方形,(2)(2)成立成立.理由如下理由如下:根据题意得根据题意得:又又EAF=ABG,AEFBAG,EAF=ABG,AEFBAG,AEF=BAG,AEF=BAG,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,BAG+EAO=90,AEF+EAO=90,AOE=90,EFAG.AOE=90,EFAG.(2)成立.理由如下:(3)(3)过点过点O O作作MNAB,MNAB,交交ADAD于点于点M,M,交交BCBC于点于点N,N,如图所示如图所示,则则MNAD,MN=AB=4,MNAD,MN=AB=4,PP是正方形是正方形ABCDABCD内一点内一点,S,SPABPAB=S=SOABOAB,点点P P在线段在线段MNMN上上,当当P P为为MNMN的中点时的中点时,PAB,PAB的周长最的周长最小小,此时此时PA=PB,PM=MN=2,PA=PB,PM=MN=2,(3)过点O作MNAB,交AD于点M,交BC于点N,如图所连接连接EG,PA,PB,EG,PA,PB,则则EGAB,EG=AB=4,EGAB,EG=AB=4,AOFGOE,AOFGOE,MNAB,MNAB,由勾股定理得由勾股定理得:PA=:PA=PABPAB周长的最小值周长的最小值=2PA+AB=2PA+AB=连接EG,PA,PB,则EGAB,EG=AB=4,【特【特别提醒】提醒】本本题是四是四边形的形的综合合题目目,考考查了正方形的性了正方形的性质、相似、相似三角形的判定与性三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理、三角形内角和定理、直角三角形的性直角三角形的性质等知等知识,证明三角形相似是解决明三角形相似是解决问题的关的关键.【特别提醒】【变式式训练】如如图所示所示,在四在四边形形ABCDABCD中中,A=C=90,BE,DF,A=C=90,BE,DF分分别平分平分ABC,ADC.ABC,ADC.判断判断BE,DFBE,DF是否平行是否平行,并并说明理由明理由.【变式训练】【解析】【解析】BEDF.BEDF.理由如下理由如下:A=C=90,ABC+ADC=180.A=C=90,ABC+ADC=180.BEBE平分平分ABC,DFABC,DF平分平分ADC,ADC,1=2=ABC,3=4=ADC.1=2=ABC,3=4=ADC.2+4=(ABC+ADC)=180=90.2+4=(ABC+ADC)=180=90.又又1+CEB=90,4=CEB.BEDF.1+CEB=90,4=CEB.BEDF.【解析】BEDF.理由如下:考点三考点三 证明明线段和差的段和差的问题 【示范【示范题3 3】如如图,正方形正方形ABCDABCD中中,E,F,E,F分分别在在BC,DCBC,DC上上,且且EAF=45.EAF=45.试说明明:BE+DF=EF.:BE+DF=EF.考点三 证明线段和差的问题 【思路点拨】【思路点拨】把把ABEABE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ADG,ADG,根根据旋转的性质可得据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,BE=GD,AE=AG,再根据再根据EAF=45EAF=45求求出出FAG=45FAG=45,然后证明然后证明AEFAEF与与AGFAGF全等全等,根据全等根据全等三角形对应边相等可得三角形对应边相等可得EF=GF,EF=GF,即即EF=GD+FD,EF=GD+FD,即可证明即可证明EF=BE+DF.EF=BE+DF.【思路点拨】把ABE逆时针旋转90得到ADG,根据旋转【自主解答】【自主解答】如图如图,把把ABEABE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ADG,ADG,BE=GD,AE=AG,BE=GD,AE=AG,EAF=45,EAF=45,FAG=90-45=45,FAG=90-45=45,EAF=FAG,EAF=FAG,在在AEFAEF和和AGFAGF中中,【自主解答】如图,把ABE逆时针旋转90得到ADG,AEFAGF(SAS),AEFAGF(SAS),EF=GF,EF=GF,即即EF=GD+DF,EF=GD+DF,BE+DF=EF.BE+DF=EF.AEFAGF(SAS),【特【特别提醒】提醒】本本题考考查了正方形四了正方形四边均相等均相等,且各内角均且各内角均为直角的性直角的性质,考考查了全等三角形的了全等三角形的证明明,本本题把把ABEABE逆逆时针旋旋转90,90,构建全等三角形构建全等三角形AEFAEF与与AGFAGF是解是解题的关的关键.【特别提醒】【变式式训练】如如图,已知正方形已知正方形ABCDABCD中中,对角角线AC,BDAC,BD交于交于O O点点,过O O点作点作OEOFOEOF分分别交交DCDC于于E,E,交交BCBC于于F,FECF,FEC的角平分的角平分线EPEP交交直直线ACAC于于P.P.(1)(1)求求证:OE=OF.:OE=OF.(2)(2)写出写出线段段EF,PC,BCEF,PC,BC之之间的一个等量关系式的一个等量关系式,并并证明你明你的的结论.【变式训练】【解析】【解析】(1)(1)正方形正方形ABCDABCD中中,对角线对角线AC,BDAC,BD交于交于O O点点,ACBD,ACBD,BOC=DOC=90,BOC=DOC=90,BOF+FOP=90,BOF+FOP=90,OEOF,FOE=90,OEOF,FOE=90,EOC+FOP=90EOC+FOP=90【解析】(1)正方形ABCD中,对角线AC,BD交于O点,BOF=EOC,BOF=EOC,又又OB=OC,OBF=OCE=45,OB=OC,OBF=OCE=45,BOFCOE,BOFCOE,OE=OF.OE=OF.BOF=EOC,(2)EF+CP=BC.(2)EF+CP=BC.证明证明:BOFCOE,:BOFCOE,OE=OF,OEF=OFE=45.OE=OF,OEF=OFE=45.FECFEC的角平分线的角平分线EPEP交直线交直线ACAC于于P,P,FEP=CEP.FEP=CEP.OEP=OEF+FEP,OPE=ACD+CEP,OEP=OEF+FEP,OPE=ACD+CEP,又又OEF=ACD=45,OEP=OPE.OEF=ACD=45,OEP=OPE.(2)EF+CP=BC.OE=OP.OE=OP.EF=OE=OP,EF=OE=OP,BC=OC=(OP+PC),BC=OC=(OP+PC),EF+CP=BC.EF+CP=BC.OE=OP.