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“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第三十一讲1主讲教师:高等数学 第三十一讲1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。高阶线性微分方程解的结构 第六节一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 第七章 2高阶线性微分方程解的结构 第六节一、线性齐次方程解的结构 二“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y自由项P(x),Q(x),f(x)均为 x 的已知函数,P(x),Q(x)为变系数形如形如3n 阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.时,“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。证毕一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.4证毕一、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.5说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数6定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关7两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为8定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例19例19“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例2：已知方程1、验证是方程的特解。2、问是否是方程的解，解解 1、三个函数分别代入方程可知均为方程的特解。解解 2、由解的叠加定理可知是方程的解，只有一个常数，其含有两个真正的任意常数，则是方程的通解。特点：（常数）（函数）若是、是否是通解。但其实质是：则不是通解。10例2：已知方程1、验证是方程的特解。2、问是否是方程的解，解“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得11二、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.定理定理4 若是非齐次是非齐次微分方程两个相异的特解，则是对应齐次齐次微分方程的解。12是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如,方“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。定理定理 5.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理5 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.13定理 5.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。定理定理6.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解14定理6.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例3.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 15例3.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例4.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)16常数,则该方程的通解是().设线性无关“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。P331 1（8）,3,作业作业17P331 1（8）,3,作业17“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。定理定理7、若函数是方程的解。且分别是与的解。推论：推论：若是方程的解，则18定理7、若函数是方程的解。且分别是与的解。推论：若是方程的解
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