弹性力学PPT课件第六讲-空间问题的解答

第六讲第六讲空间问题的解答空间问题的解答第六讲空间问题的解答本讲将介绍空间问题求解的基本方法按位移本讲将介绍空间问题求解的基本方法按位移求解和按应力求解。主要内容如下：求解和按应力求解。主要内容如下：1 1、按位移求解空间问题；、按位移求解空间问题；2 2、按位移求解空间问题的应用（半空间体受、按位移求解空间问题的应用（半空间体受重力和均布压力、半空间体在边界上受法向集中力）重力和均布压力、半空间体在边界上受法向集中力）；3 3、按应力法求解空间问题；、按应力法求解空间问题；本讲学习指南本讲学习指南本讲将介绍空间问题求解的基本方法按位移求解和按应力求解本章学习指南本章学习指南 弹性力学一般空间问题的未知数为弹性力学一般空间问题的未知数为1515个：个：6 6个应力个应力分量、分量、6 6个应变分量、个应变分量、3 3个位移分量。基本方程数为个位移分量。基本方程数为1515个，此外还有边界条件和变形协调方程。个，此外还有边界条件和变形协调方程。空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的；本方程、边界条件和求解方法均是类似的；空间问题的两种基本解法（按位移和按应力）与平空间问题的两种基本解法（按位移和按应力）与平面问题相比，在思路和步骤上极其相似，可参照平面面问题相比，在思路和步骤上极其相似，可参照平面问题来学习和理解；问题来学习和理解；对于空间问题，位移法比应力法更重要。它能适用对于空间问题，位移法比应力法更重要。它能适用于各种边界条件，并且基本未知函数数目相对更少；于各种边界条件，并且基本未知函数数目相对更少；本章学习指南 弹性力学一般空间问题的未知数为15个：6个应力q 按位移求解空间问题按位移求解空间问题q 半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力q 半空间体在边界上受法向集中半空间体在边界上受法向集中q 按应力求解空间问题按应力求解空间问题主要内容主要内容 按位移求解空间问题主要内容6.1 按位移求解空间问题按位移求解空间问题按位移求解：按位移求解：以以 3 个位移分量为基本未知函数，个位移分量为基本未知函数，从从 15 个基本方程和边界条件中消去应力分量和应变个基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含分量，导出只含 3 个位移分量的基本微分方程和边个位移分量的基本微分方程和边界条件，由此解出位移分量。然后根据几何方程和界条件，由此解出位移分量。然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。物理方程求应变分量和应力分量。6.1 按位移求解空间问题按位移求解：以 3 个位移分量为按位移求解空间问题具体过程按位移求解空间问题具体过程以以 3 个位移分量为基本未知函数。为了消元，其它个位移分量为基本未知函数。为了消元，其它 12 个未知个未知函数须用函数须用 3 个位移分量表示；个位移分量表示；1、应变用位移表示：、应变用位移表示：直接采用几何方程直接采用几何方程；2、应力用位移表示：、应力用位移表示：将几何方程代入用应变表示的物理方程，将几何方程代入用应变表示的物理方程，得到用位移表示的物理方程得到用位移表示的物理方程；3、求解位移的最基本方程：、求解位移的最基本方程：将上述弹性方程代入平衡微分方将上述弹性方程代入平衡微分方程，可得用位移表示的平衡微分方程，程，可得用位移表示的平衡微分方程，它是按位移求解的最它是按位移求解的最基本方程；基本方程；4、边界条件用位移表示：、边界条件用位移表示：代入应力边界条件，得到用位移表代入应力边界条件，得到用位移表示的应力边界条件；对于位移边界条件，其形式不变；示的应力边界条件；对于位移边界条件，其形式不变；按位移求解空间问题具体过程以 3 个位移分量为基本未知函数按位移求解空间问题总结按位移求解空间问题总结（1 1）使位移分量在区域内满足用位移表示的平衡使位移分量在区域内满足用位移表示的平衡微分方程微分方程；（2 2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件件或位移边界条件。上述条件也是位移解的校核条件。上述条件也是位移解的校核条件。求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，也可求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，也可以进一步求应力分量。以进一步求应力分量。空间问题按位移求解的方法，位移满足条件为：空间问题按位移求解的方法，位移满足条件为：按位移求解空间问题总结（1）使位移分量在区域内满足用位移按位移求解空间问题总结按位移求解空间问题总结 总之，其位移满足条件为总之，其位移满足条件为：（1）在区域内满足平衡微分方程在区域内满足平衡微分方程；（2）在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条）在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件。件。上述条件也是位移解的校核条件。上述条件也是位移解的校核条件。求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，进而求求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，进而求出应力分量。出应力分量。空间轴对称问题按位移求解：空间轴对称问题按位移求解：此类问题基本方程和基本未此类问题基本方程和基本未知函数都简化为知函数都简化为 10 个。按位移求解的推导过程与上面完全相个。按位移求解的推导过程与上面完全相同，只不过方程的个数及具体形式不同。并且，其边界面多同，只不过方程的个数及具体形式不同。并且，其边界面多为坐标面，边界条件相对简单。为坐标面，边界条件相对简单。按位移求解空间问题总结 总之，其位移满足条件为：空间轴对q 按位移求解空间问题按位移求解空间问题q 半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力q 半空间体在边界上受法向集中半空间体在边界上受法向集中q 按应力求解空间问题按应力求解空间问题主要内容主要内容 按位移求解空间问题主要内容6.2 半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力如图所示，有半空间体，密度为如图所示，有半空间体，密度为r r，在水平边界上均布压力在水平边界上均布压力q。显然，它属于空间问题。坐标系显然，它属于空间问题。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数为三个位移分量，其基本未知函数为三个位移分量，必须满足：必须满足：（1 1）在区域内满足用位移表示的在区域内满足用位移表示的平衡微分方程平衡微分方程；（2 2）同时在边界上满足用位移表同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件示的应力边界条件或位移边界条件。6.2 半空间体受重力和均布压力如图所示，有半空间体，密度半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力1 1、如图可知，该问题具有对称性，如图可知，该问题具有对称性，任何任何x和和y面均为对称面，而面均为对称面，而x和和y向向的的位移本身不对称于任意垂直平面，位移本身不对称于任意垂直平面，故可作如下假设：故可作如下假设：2 2、将上述位移代入用位移表示的平衡微分方程，前两式自然将上述位移代入用位移表示的平衡微分方程，前两式自然满足，第三式经整理后成为如下的常微分方程满足，第三式经整理后成为如下的常微分方程：积分得：积分得：半空间体受重力和均布压力1、如图可知，该问题具有对称性，任何半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力3 3、求应力分量：将所求得的位移代入用位移表示的物理方程，求应力分量：将所求得的位移代入用位移表示的物理方程，整理得：整理得：为了求得常数为了求得常数B，必须利用位移边界条件。为此假定半空间必须利用位移边界条件。为此假定半空间体在距边界为体在距边界为h处没有位移，即有如下位移边界条件：处没有位移，即有如下位移边界条件：4、由边界条件确定选定常数由边界条件确定选定常数A和和B代入可解得常数代入可解得常数A：由此解得常数由此解得常数B，进而求得所有的应力进而求得所有的应力分量、应变分量、位移分量。分量、应变分量、位移分量。上边界面上的边界条件为：上边界面上的边界条件为：半空间体受重力和均布压力3、求应力分量：将所求得的位移代入用q 按位移求解空间问题按位移求解空间问题q 半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力q 半空间体在边界上受法向集中半空间体在边界上受法向集中q 按应力求解空间问题按应力求解空间问题主要内容主要内容 按位移求解空间问题主要内容6.3 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力如图所示，有半空间体，体力不计，在水平边界上受法向集中力如图所示，有半空间体，体力不计，在水平边界上受法向集中力F。显然，它属于空间轴对称问题，其显然，它属于空间轴对称问题，其对称轴就是集中力的作用线。坐标系对称轴就是集中力的作用线。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数只有两个位移分量，其基本未知函数只有两个位移分量，且与环向坐标且与环向坐标 j j 无关，只是径向坐标无关，只是径向坐标 r r 和轴向坐标和轴向坐标 z 的函数。它们必须满的函数。它们必须满足：足：1 1、在区域内满足用位移表示的空间在区域内满足用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程轴对称问题的平衡微分方程；6.3 半空间体在边界上受法向集中力如图所示，有半空间体，半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力由于集中力作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：由于集中力作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：（1 1）不包含原点，则在）不包含原点，则在r r0，z=0 的边界面上，没有任何法向和的边界面上，没有任何法向和切向面力作用，因而应力边界条件为切向面力作用，因而应力边界条件为2 2、在边界上满足如下边界条件：在边界上满足如下边界条件：（2 2）在原点附近，可以看成是一局部的小边界面。在此小边界处）在原点附近，可以看成是一局部的小边界面。在此小边界处有面力的作用，而面力可以向原点静力等效为作用于原点的主失量有面力的作用，而面力可以向原点静力等效为作用于原点的主失量为为 F，主矩为，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来进行处理，取一个的情形。按照圣维南原理来进行处理，取一个 0 0 到到 z 的的平板脱离体，考虑其静力平衡条件，得到一个平衡方程；由平板脱离体，考虑其静力平衡条件，得到一个平衡方程；由于轴对称，其余平衡条件自然满足。于轴对称，其余平衡条件自然满足。3 3、解答解答：见教材的公式：见教材的公式P82P82。半空间体在边界上受法向集中力由于集中力作用在原点，本题的边半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力上述解答其应力分布特征如下：上述解答其应力分布特征如下：1 1、在离开集中力作用点非常远处，应力非常小；在靠近集中在离开集中力作用点非常远处，应力非常小；在靠近集中力作用点处，应力非常大。力作用点处，应力非常大。2 2、水平截面上的应力与弹性参数无关，因而在任何材料的弹水平截面上的应力与弹性参数无关，因而在任何材料的弹性体中都是同样分布。其它截面上的应力一般都随泊松比而变。性体中都是同样分布。其它截面上的应力一般都随泊松比而变。3 3、水平截面上的全应力都指向集中力的作用点。水平截面上的全应力都指向集中力的作用点。利用上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答，根据叠利用上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答，根据叠加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和应力解答。加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和应力解答。半空间体在边界上受法向集中力上述解答其应力分布特征如下：利用q 按位移求解空间问题按位移求解空间问题q 半空间体受重力和均布压力半空间体受重力和均布压力q 半空间体在边界上受法向集中半空间体在边界上受法向集中q 按应力求解空间问题按应力求解空间问题主要内容主要内容 按位移求解空间问题主要内容6.4 按应力求解空间问题按应力求解空间问题按应力求解：按应力求解：以以 6 6 个应力分量为基本未知函数，从个应力分量为基本未知函数，从 1515 个基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分个基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含量，导出只含 6 6 个应力分量的基本微分方程和边界个应力分量的基本微分方程和边界条件，由此解出应力分量。然后根据物理方程和几何条件，由此解出应力分量。然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量。方程求应变分量和位移分量。6.4 按应力求解空间问题按应力求解：以 6 个应力分量为按应力求解空间问题具体过程按应力求解空间问题具体过程以以 6 个应力分量为基本未知函数。为了消元，其它个应力分量为基本未知函数。为了消元，其它 9 个未知函数须个未知函数须用用 6 个应力分量表示；个应力分量表示；1、三个平衡微分方程，只包含应力分量，它是按应力求解的最基本三个平衡微分方程，只包含应力分量，它是按应力求解的最基本方程；方程；2、从几何方程中消除位移分量：利用几何方程，进行有关数学运算，从几何方程中消除位移分量：利用几何方程，进行有关数学运算，可得到可得到6个应变分量之间的关系式，即变形协调方程或相容方程，即个应变分量之间的关系式，即变形协调方程或相容方程，即教材中的式教材中的式(8-14b)；3、将物理方程代入上述相容方程将物理方程代入上述相容方程，可得用应力分量表示的相容方程，可得用应力分量表示的相容方程(8-14d)；4、假设全部边界都为应力边界条件，则在边界上应满足应力边界条假设全部边界都为应力边界条件，则在边界上应满足应力边界条件件；按应力求解空间问题具体过程以 6 个应力分量为基本未知函数按应力求解空间问题总结按应力求解空间问题总结空间问题按应力求解的方法：空间问题按应力求解的方法：使使6个应力分量在区域个应力分量在区域内满足内满足3个平衡微分方程个平衡微分方程，满足，满足6个相容方程；同时在个相容方程；同时在边界上满足边界上满足3个应力边界条件。此外，若为多连体，还个应力边界条件。此外，若为多连体，还必须满足位移单值条件。必须满足位移单值条件。求解出应力分量后，代入物理方程求应变分量，代入求解出应力分量后，代入物理方程求应变分量，代入几何方程求位移分量。几何方程求位移分量。按应力求解空间问题总结空间问题按应力求解的方法：使6个应力按应力求解空间问题总结按应力求解空间问题总结关于空间问题的相容方程的几点说明：关于空间问题的相容方程的几点说明：（1 1）弹性体在满足连续性和小变形条件下，可导出几何方）弹性体在满足连续性和小变形条件下，可导出几何方程，并进而导出应变之间的相容方程。因此相容方程是物体程，并进而导出应变之间的相容方程。因此相容方程是物体变形后保持连续性的必然结果。变形后保持连续性的必然结果。位移完全确定时，应变可完位移完全确定时，应变可完全确定。全确定。（2 2）应变完全确定时，位移不能完全确定。应变完全确定时，位移不能完全确定。但如果应变分但如果应变分量满足相容方程，则其所对应的位移分量必然存在，并可通量满足相容方程，则其所对应的位移分量必然存在，并可通过积分求出。因此，过积分求出。因此，应变满足相容方程是对应的位移存在且应变满足相容方程是对应的位移存在且连续的必要条件。连续的必要条件。按应力求解空间问题总结关于空间问题的相容方程的几点说明：