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高等数学高等数学第一节函数第二节极限的概念第三节无穷小量与无穷大量第四节极限的运算法则l第一章极限与连续第五节两个重要极限第六节函数的连续性1函数的概念(定义、表示法)，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数。2.数列极限的概念，函数极限的概念(xxo与x时函数的极限)，函数极限与无穷小的关系，无穷小性质，极限四则运算法则，两个极限存在准则：夹逼准则和单调有界准则，两个重要极限的结果：=1，=e，无穷小量的比较。3.连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的四则运算，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(叙述)。学习重点第一章极限与连续第一节函数一、函数的概念1函数的定义定义1：设D是由数组成的集合。如果对于每个数xD，变量y按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f（x），x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。第一节函数2函数的表示法（1）表格法将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法，如三角函数表、常用对数表及经济分析中的各种统计报表等。（2）图像法用图像表示两个变量函数关系的方法。（3）解析法用一个等式表示两个变量的函数关系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等。第一节函数3函数的定义域在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定。当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体。要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方数必须为非负数；（3）对数式中的真数必须大于零；（4）幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域；（5）若函数表达式由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；（6）分段函数的定义域是各个定义区间的并集。第一节函数二、函数的几种特性1.奇偶性定义2：设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的xD，f（-x）=-f（x），那么f（x）为奇函数；如果对于任意的xD，f（-x）=f（x），那么f（x）为偶函数，否则f（x）为非奇非偶函数。第一节函数2.单调性定义3：若对于区间D内任意的两点x1、x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），那么f（x）在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；特别地，当x1x2时，恒有f（x1)f（x2)，则称f（x)为D上的严格增函数.如果恒有f（x1）f（x2），那么f（x）在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间；特别地，当x1x2时，恒有f（x1)f（x2)，则称f（x)为D上的严格减函数。第一节函数3.有界性定义4：设函数f（x）的定义域为D，数集XD.如果存在数K1，使得f（x）K1对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界（任何大于K1的数也是f（x)在X上的上界）；如果存在数K2，使得f（x）K2对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而K2称为函数f（x）在X上的一个下界（任何小于K2的数也是f（x)在X上的下界）；如果存在正数M，使得|f（x）|M对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有界；如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M，总存在x1X，使|f（x1）|M，那么函数f（x）在X上无界。第一节函数三、初等函数1.基本初等函数我们把常数函数y=c（c为常数）、幂函数y=x（为实数）、指数函数y=ax（a0，a1，a为常数）、对数函数y=logax（a0，a1，a为常数）、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。第一节函数2.复合函数定义6:若函数y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定义域中，则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系，这个对应关系称为y是x的复合函数。3.初等函数定义7:基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次的加、减、乘、除（分母不为零）的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫作初等函数。第二节极限的概念一、数列的极限定义1：如果无穷数列an的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫作数列an的极限（limit）.记作或anA（当n时）.第二节极限的概念二、函数的极限1.当x时函数f（x）的极限定义2：如果当x时，函数f（x）无限趋近于确定的常数A，那么A就叫作函数f（x）当x时的极限，记作或当x时，f（x）A.定义3：如果当x+（或x-）时，函数f（x）的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f（x）当x+（或x-）时的极限，记作，或当x+时，f（x）A.第二节极限的概念2.当xx0时函数f（x）的极限定义4：设函数y=f（x）在x0的某空心邻域邻域就是在数轴上满足x|x-x0|，其中0的点的集合.即区间（x0-，x0+）内的一切实数.x0为邻域的中心，为半径.如果这个区间不含x0点，则称x0的空心邻域.内有定义，如果当x无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数A，那么A就叫作函数f（x）当xx0时的极限，记作，或当xx0时，f（x）A.定义5：如果当xx0-时，函数f（x）的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f（x）在x0处的左极限（leftlimit），记作，f（x0-）=A或f（x）A（xx0-）第三节无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义1：如果当xx0（或x）时，函数f（x）的极限为零，那么称函数f（x）当xx0（或x）时为无穷小量，简称无穷小.二、无穷大量定义2：如果当xx0（或x）时，函数f（x）的绝对值无限增大，那么称函数f（x）当xx0（或x）时为无穷大量，简称无穷大.第三节无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系定理3：在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，那么1f（x）为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）0，那么1f（x）为无穷大.四、无穷小量的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小.性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小.性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小.第四节极限的运算法则第五节两个重要极限一、判定极限存在的两个准则准则1：如果函数f（x），g（x），h（x）在同一变化过程中满足g（x）f（x）h（x）且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。准则2：如果数列xn单调有界，则一定存在。第五节两个重要极限二、两个重要极限公式第六节函数的连续性一、函数连续的概念1.函数的增量定义1：设函数y=f（x），当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫作自变量的增量（或改变量），记作x，即x=x1-x0，2.函数的连续定义2：设函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量x趋近于零时，函数y=f（x）的相应增量y=f（x0+x）-f（x0）也趋近于零，也就是说，有或，那么称函数y=f（x）在点x0处连续，x0称为函数f（x）的连续点.第六节函数的连续性定义3：如果函数y=f（x）在点x0及其近旁有定义，存在并且,那么称函数y=f（x）在点x0处连续，x0称为函数f（x）的连续点.定义4：设函数y=f（x）在x0处及其左（或右）近旁有定义，如果或，那么称函数f（x）在x0处左连续（或右连续）.定义5：如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，那么称函数f（x）在区间（a，b）内连续，或称函数f（x）为区间（a，b）内的连续函数，区间（a，b）称为函数f（x）的连续区间.第六节函数的连续性二、初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性性质1：如果函数f（x）与g（x）在点x0处连续，那么它们的和、差、积、商（分母在x0处不等于零）也都在x0处连续，即第六节函数的连续性2.复合函数的连续性性质2：如果函数u=（x）在点x0处连续，且（x0）=u0，而函数y=f（u）在点u0处连续，那么复合函数y=f（x）在点x0处也连续.3.初等函数的连续性性质3：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.第六节函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质性质4：如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，那么函数f（x）在a，b上一定有最大值与最小值.第一章极限与连续思考题：1.下列各组函数是否相同?为什么?谢谢观看谢谢观看高等数学高等数学第一节导数的概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节函数的微分l第二章导数与微分1导数的概念(定义、几何意义、几何应用)，函数可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的导数，复合函数与反函数的导数，基本初等函数的导数公式，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数求导法,对数求导法。2微分的概念，微分运算法则，微分在近似计算中的应用。学习重点第二章导数与微分第一节导数的概念一、引例1.变速直线运动的瞬时速度物体在时间间隔t内的平均速度是：2.切线问题当x0时，割线MN将绕着点M转动到极限位置MT.直线MT就是曲线y=f（x）在点M处的切线.割线MN的斜率tan的极限就是切线MT的斜率tan（是切线MT的倾斜角）.第一节导数的概念二、导数的概念定义1：设函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量x时，相应地函数y有增量如果当x0时，的极限存在，这个极限就称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为即也可以记作如果式（2-1）的极限存在，就称函数f（x）在点x0处可导.第一节导数的概念定义2：设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，如果：存在，则称y=f（x）在点x0的左（右）导数存在，记作f-（x0）f+（x0）函数的左（右）导数，又称函数的单侧导数.第一节导数的概念三、导数的几何意义由切线斜率问题的讨论及导数定义可知：函数y=f（x）在点x0处的导数f（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线斜率，即f（x0）=tan.其中是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得，曲线y=f（x）在给定点M（x0，y0）处的切线方程是:y-y0=f（x0）（x-x0）.过切点M（x0，y0）且与切线垂直的直线叫作曲线y=f（x）在点M（x0，y0）的法线.如果f（x0）0，则法线方程为:第一节导数的概念四、函数可导性与连续性关系如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数在该点处必连续.如果函数y=f（x）在某一点处连续，却不一定在该点处可导.第二节函数的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则1：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，则函数u（x）v（x）也在x处可导，且u（x）v（x）=u（x）v（x）.法则2：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，则函数u（x）v（x）在点x处也可导，且u（x）v（x）=u（x）v（x）+u（x）v（x）.特别地，令v（x）=C（常数），则由于C=0，所以有Cu（x）=Cu（x）.法则3：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，且v（x）0，则函数u（x）v（x）在点x处也可导，且第二节函数的求导法则二、复合函数的求导法则4：如果函数u=（x）在点x处可导，且y=f（u）在对应点u=（x）处可导，那么复合函数f（x）在点x处也可导，并且或f（x）=f（u）（x）.第二节函数的求导法则三、隐函数的求导（1）将方程F（x，y）=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，把y的函数看成x的复合函数；（2）求导后，解出y即可（式子中允许有y出现）。第二节函数的求导法则四、反函数的求导法则5：设函数x=（y）在区间D内单调.在y处可导，且（y）0，则其反函数y=f（x）在x=（y）处也可导，且第二节函数的求导法则五、参数方程所确定的函数的求导由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有第三节高阶导数一、高阶导数的概念一般来说，函数y=f（x）的导数y=f（x）仍是x的函数.如果函数y=f（x）仍是可导的，则把y=f（x）的导数叫作函数y=f（x）的二阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二、二阶导数的物理意义物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数，即第四节函数的微分一、微分的概念定义:如果函数y=f（x）在点x0处存在导数f（x0），那么f（x0）x就叫作函数y=f（x）在点x0处的微分，记作若函数y=f（x）在区间（a，b）内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫作函数的微分，记作dy或df（x），即dy=f（x）x.第四节函数的微分二、微分的几何意义函数在点x0的微分是:这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的纵坐标对应于x的改变量.这就是微分的几何意义.第四节函数的微分三、微分的运算1.微分的基本公式第四节函数的微分三、微分的运算1.微分的基本公式第四节函数的微分2.函数和、差、积、商的微分法则由函数的和、差、积、商的求导法则，可以求得函数和、差、积、商的微分法则：第四节函数的微分3.复合函数微分法则若函数y=f（u）及u=（x）都可导，则复合函数y=f（x）的微分为:dy=yxdx=f（u）（x）dx.第四节函数的微分四、微分在近似计算中的应用f（x）f（0）+f（0）x.（2-4）应用式（2-4）可推得几个工程上常用的近似公式（假定|x|是很小的数值）：（1）（2）sinxx；（3）tanxx；（4）ln（1+x）x；（5）ex1+x.第二章导数与微分思考题：设由方程确定函数求谢谢观看谢谢观看高等数学高等数学第一节中值定理第二节洛必达法则第三节函数单调性的判定法第四节函数的极值及其求法l第三章中值定理与导数的应用第五节函数的最大值和最小值第六节曲线的凹凸性与拐点第七节函数图形的描绘1中值定理(罗尔、拉格朗日、柯西定理),洛必达法则,泰勒中值定理.2导数的应用:函数单调性的判定法，函数的极值，判断函数图形的凹凸性，求拐点，最大值与最小值问题及其求法，描绘函数的图形(包括水平与垂直渐近线)。学习重点第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理第一节中值定理一、罗尔定理罗尔定理:如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少有一点（ab），使得函数f（x）在该点的导数等于零：f（）=0。第一节中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点（ab），使下式成立：f（b）-f（a）=f（）（b-a）（3-1）推论1：设函数f（x）在区间I内恒有f（x）=0，那么在区间I内函数f（x）=C，其中C为常数。推论2：设f（x），g（x）是在I内的可导函数，若f（x）=g（x），则f（x）-g（x）=C，其中C为常数。第一节中值定理三、柯西中值定理柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且F（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那么在（a，b）内至少有一点，使下式成立：第二节洛必达法则一、0/0型未定式定理1：（洛必达法则）如果函数f（x），g（x）满足条件：（2）f（x）和g（x）在点x0的某空心邻域内可导，且g（x）0；那么:第二节洛必达法则二、/型未定式定理2：如果f（x），g（x）满足条件：（2）f（x），g（x）在点x0的空心邻域内可导，且g（x）0；那么:第三节函数单调性的判定法定理：设函数y=f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f（x）0，那么函数y=f（x）在a，b上单调增加；（2）如果在（a，b）内f（x）0，那么函数y=f（x）在a，b上单调减少。第四节函数的极值及其求法一、函数极值的定义定义:设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0（a，b）.如果对于点x0近旁的任意点x（xx0），均有f（x）f（x0）成立，则称f（x0）是函数f（x）的一个极大值，点x0称为f（x）的一个极大值点；如果对于点x0近旁的任意点x（xx0），均有f（x）f（x0）成立，则称f（x0）是函数f（x）的一个极小值，点x0称为f（x）的极小值点.第四节函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.（1）极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不应混淆.（2）函数的极值概念是局部性的，它只是在与极值点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.因此，函数的极大值不一定比极小值大.例如，在图中，极大值f（c1）就比极小值f（c5）还小.（3）函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间内部，也可能是区间的端点.第四节函数的极值及其求法二、函数极值的判定和求法定理1：设函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f（x0）=0.使导数为零的点即方程f（x）=0的实根叫作函数f（x）的驻点（又称稳定点）。定理2：（第一种充分条件）设函数f（x）在点x0某空心邻域内可导：（1）如果当x取x0左侧邻域的值时，恒有f（x）0；当x取x0右侧邻域的值时，恒有f（x）0，那么函数f（x）在点x0处取得极大值f（x0）。（2）如果当x取x0左侧邻域的值时，恒有f（x）0；当x取x0右侧邻域的值时，恒有f（x）0，那么函数f（x）在点x0处取得极小值f（x0）。（3）如果在x0的两侧，函数的导数符号相同，那么函数f（x）在点x0处没有极值.第四节函数的极值及其求法当函数f（x）在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下列定理来判定f（x）在驻点处取得极大值还是极小值。定理3：（第二种充分条件）设函数f（x）在点x0处具有二阶导数且f（x0）=0，f（x0）0，那么：（1）f（x0）0时，函数f（x）在x0处取得极大值；（2）f（x0）0时，函数f（x）在x0处取得极小值。第五节函数的最大值和最小值一、函数的最大值和最小值的求法求闭区间上的连续函数的最大值和最小值时，只要把可能取得极值的点（驻点和不可导的点）与区间端点的函数值比较大小，最大的就是f（x）在a，b上的最大值，最小的就是f（x）在a，b上的最小值。如果函数f（x）在一个开区间或无穷区间（-，+）内可导，且有唯一的极值点x0，那么当f（x0）是极大值时，f（x0）就是f（x）在该区间上的最大值；当f（x0）是极小值时，f（x0）就是f（x）在该区间上的最小值.有时，函数f（x）也可能在导数不存在的点处取得最大值或最小值。第五节函数的最大值和最小值在一些特殊情况下，求函数的最大值或最小值的问题比较简单.例如：（1）如果函数f（x）在闭区间a，b上单调递增（减），则两个端点的函数值f（a），f（b）分别就是最小（大）值和最大（小）值。（2）如果函数f（x）在某区间（开或闭、有限或无限）上连续，且在区间内只有一个极值点x0，则当f（x0）是极大（小）值时，f（x0）也就是该区间上的最大（小）值。第六节曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性及其判别法定义1:若在开区间（a，b）内，曲线y=f（x）的各点处切线都位于曲线的下方，则称此曲线在（a，b）内是凹的；若曲线y=f（x）的各点处切线都位于曲线的上方，则称此曲线在（a，b）内是凸的。定理：设函数y=f（x）在开区间（a，b）内具有二阶导数，则（1）如果在区间（a，b）内f（x）0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内f（x）0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凸的。第六节曲线的凹凸性与拐点二、曲线的拐点定义2:若连续曲线y=f（x）上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，则称该点是曲线y=f（x）的拐点。判定曲线的拐点的步骤：（1）确定函数y=f（x）的定义域；（2）求出二阶导数f（x），令f（x）=0，求出定义域内的所有实根，指出f（x）不存在的点，用这些点来划分定义域；（3）列表讨论f（x）在各个区间f（x）的符号和f（x）的凹凸性；（4）确定y=f（x）的拐点。第七节函数图形的描绘一、曲线的渐近线定义：如果曲线y=f（x）的定义域是无限区间，且有或，则直线y=b为曲线y=f（x）的水平渐近线；如果曲线y=f（x）有或则直线x=x0是曲线y=f（x）的垂直渐近线。第七节函数图形的描绘二、描绘函数图形的一般步骤（1）确定函数的定义域，并讨论函数的有界性、周期性、奇偶性等；（2）求f（x），f（x），解出f（x）=0及f（x）=0在定义域内的全部实根及一阶、二阶导数不存在的点；（3）列表讨论f（x），f（x）的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性、极值和拐点；（4）计算一些必要的辅助点；（5）讨论曲线的渐近线；（6）描出函数图像。思考题：第三章中值定理与导数的应用谢谢观看谢谢观看高等数学高等数学第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法l第四章不定积分1原函数与不定积分的定义，不定积分性质、基本积分公式.2换元积分法，分部积分法,有理函数及三角函数有理式积分的举例，积分表用法。学习重点第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分定义1:设函数F（x）和f（x）在区间I上有定义，若对于I上每一点x，都有:F（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）是f（x）在区间I上的原函数。定理：若函数f（x）在区间I上连续，那么f（x）在I上的原函数F（x）存在。定义2：函数f（x）在区间I上的原函数全体称为f（x）在I上的不定积分，记作f（x）dx，其中，记号称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量。第一节不定积分的概念与性质二、不定积分的几何意义一条曲线y=F（x），这条曲线上任意点（x，F（x）处的切线的斜率F（x）恰为函数值f（x），称这条曲线为f（x）的一条积分曲线.f（x）的不定积分F（x）+C则是一个曲线簇，称为积分曲线簇.由不定积分和微分的关系可知：f（x）dx=f（x）或df（x）dx=f（x）dx，F（x）dx=F（x）+C或dF（x）=F（x）+C.第一节不定积分的概念与性质三、不定积分的基本公式常用的不定积分公式：第一节不定积分的概念与性质三、不定积分的基本公式常用的不定积分公式：第一节不定积分的概念与性质四、不定积分的性质性质1：若f（x）和g（x）的不定积分存在，则f（x）+g（x）的不定积分也存在，且f（x）+g（x）dx=f（x）dx+g（x）dx。性质2：若f（x）的不定积分存在，k为非零常数，则kf（x）的不定积分也存在，且kf（x）dx=kf（x）dx。第二节换元积分法一、第一类换元积分法定理1：设函数u=（x）具有连续导数，且f（u）du=F（u）+C，则f（x）（x）dx=F（x）+C.（4-1）运用凑微分法求不定积分，需要熟悉以下常用的微分式：第二节换元积分法二、第二类换元积分法定理2:设函数f（x）连续，x=（t）具有连续导数且导数不为零，t=-1（x）是其反函数.如果（t）是f（t）（t）的原函数，则在应用第二类换元积分法中，有些结果在求其他积分时会经常用到.为了降低计算的难度，把这些结果也作为积分公式列出如下，供以后使用.第三节分部积分法定理:设函数u=u（x），v=v（x）均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得:d（uv）=udv+vdu或udv=d（uv）-vdu，两边同时积分得:udv=d（uv）-vdu=uv-vdu，这个公式被称为分部积分公式。u，v的选择原则如下：（1）由（x）dx=dv，求v比较容易；（2）vdu比udv更容易计算。思考题：第四章不定积分如何求下列积分更简便?谢谢观看谢谢观看高等数学高等数学第一节定积分的概念第二节微积分基本定理第三节定积分的计算l第五章定积分及其应用第四节广义积分第五节定积分的应用1定积分的概念与性质，定积分中值定理.2.定积分作为变上限的函数及其求导定理，牛顿莱布尼茨公式。3定积分的换元法与分部积分法，4定积分在几何上的应用(如面积、体积和弧长等求法)。5定积分在物理上的应用(如功、水压力、引力等求法)。学习重点第五章定积分及其应用第一节定积分的概念一、引例1.曲边梯形的面积在直角坐标系中，由连续曲线y=f（x），直线x=a，x=b及x轴所围成的图形称为曲边梯形.曲边梯形的面积是一个和式的极限：2.变速直线运动的路程设一物体沿一直线运动，已知速度v=v（t）是时间区间a，b上t的连续函数，且v（t）0,路程S的精确值为：第一节定积分的概念二、定积分的概念定义:设函数y=f（x）在区间a，b上有定义.在区间a，b中任取分点a=x0 x1x2x3xi-1xixn-1xn=b，将区间a，b分成n个小区间xi-1，xi，其长度为:xi=xi-xi-1（i=1，2，n）.在每个小区间xi-1，xi上任取一点i（xi-1ixi）求乘积f（i）xi（i=1，2，n）的和式：第一节定积分的概念如果不论对区间a，b采取何种分法及i如何选取，当n个小区间中区间的长度最大值趋近于零，即xi0时，和式（5-1）的极限存在，则称函数f（x）在区间a，b上可积，并称此极限值为函数f（x）在区间a，b上的定积分，即：其中f（x）叫作被积函数，f（x）dx叫作被积表达式，x叫作积分变量，a与b分别叫作积分的下限和上限，a，b叫作积分区间。第一节定积分的概念三、定积分的几何意义在闭区间a，b上，若函数f（x）0，则abf（x）dx在几何上表示由曲线y=f（x）（0），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形的面积.在闭区间a，b上，若函数f（x）0，则abf（x）dx在几何上表示由曲线y=f（x）（0），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形（在x轴下方）的面积的相反数.在闭区间a，b上，f（x）有正有负时，如果我们约定位于x轴上方的面积为“正”，下方的面积为“负”，这时，abf（x）dx在几何上表示介于x轴及直线x=a，x=b和曲线y=f（x）之间的各部分面积的代数和，即:第一节定积分的概念四、定积分的性质性质1：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即abkf（x）dx=kabf（x）dx.性质2：两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即abf（x）g（x）dx=abf（x）dxabg（x）dx.性质2可推广到有限多个函数代数和的情况，即abf1（x）f2（x）fn（x）dx=abf1（x）dxabf2（x）dxabfn（x）dx.第一节定积分的概念性质3：如果acb，那么abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx.性质4：在a，b上，若f（x）g（x），则：abf（x）dxabg（x）dx.性质4说明：比较两个定积分的大小，只需在同一积分区间上比较两个被积函数的大小。性质5（估值定理）：如果函数f（x）在a，b上可积，对任意xa，b恒有mf（x）M，则m（b-a）abf（x）dxM（b-a）.性质5的几何意义是：曲线y=f（x）在a，b上曲边梯形的面积介于区间a，b长度为底，分别以m和M为高的两个矩形面积之间。第一节定积分的概念性质6（积分中值定理）：如果函数f（x）在a，b上连续，则至少存在一点a，b，使得abf（x）dx=f（）（b-a）.性质6的几何意义是：以区间a，b为底，以曲线y=f（x）为顶的曲边梯形面积等于同一底边而高为f（）的矩形面积（a，b）。第二节微积分基本定理对于a，b上任一给定的x，有唯一确定的积分值axf（t）dt与之对应，因而axf（t）dt是定义在区间a，b上的自变量x在积分上限的函数，称为积分上限函数，也称变上限定积分，记作（x），即（x）=axf（t）dt，xa，b.第二节微积分基本定理定理1：如果f（x）在a，b上连续，则积分上限函数（x）=axf（t）dt在a，b上对其上限x的导数存在，且定理2：（原函数存在定理）如果函数f（x）在a，b上连续，则f（x）在a，b上存在原函数，并且积分上限函数（x）=axf（t）dt是f（x）在a，b上的一个原函数。第二节微积分基本定理二、微积分基本定理定理3：设f（x）在a，b上连续，F（x）是f（x）在a，b上的一个原函数，则abf（x）dx=F（b）-F（a）.（5-2）定理3通常称为微积分基本定理，公式（5-2）称为牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式，简记为N-L公式。N-L公式把定积分的问题转化为求被积函数的原函数，揭示了定积分与不定积分的内在联系。第三节定积分的计算与不定积分类似，定积分也有相应的换元法与分部积分法。一、定积分的换元积分法定理1：如果函数f（x）在a，b上连续，函数x=（t）在，上是单调的且具有连续导数（t），又（）=a，（）=b，且当t在，上变化时，相应的x值不越出a，b的范围，那么abf（x）dx=f（t）（t）dt.这个公式称为定积分的换元公式。第三节定积分的计算二、分部积分法定理2：如果函数u（x），v（x）在区间a，b上具有连续导数，那么也可简写为：以上两个公式称为定积分的分部积分公式。第四节广义积分为f（x）在无限区间a，+）上的广义积分.如果上式右边的极限存在，称广义积分a+f（x）dx收敛，极限值为广义积分值；否则，称广义积分发散。一、无限区间上的广义积分定义1:假设函数f（x）在区间a，+）上连续，对任意ba，积分abf（x）dx存在，我们称:第四节广义积分同样地，假设函数f（x）在（-，b）上连续，对于任意ab，我们称:为f（x）在无限区间（-，b上的广义积分.如果极限存在，称广义积分-bf（x）dx收敛，极限值为广义积分值；否则称广义积分发散。如果f（x）在（-，+）上连续，则将广义积分+-f（x）dx作如下定义-+f（x）dx=-af（x）dx+a+f（x）dx，其中，a为任意确定常数.仅当等式右边的两个广义积分都收敛时，广义积分-+f（x）dx收敛。第四节广义积分我们以a+f（x）dx为例，介绍广义积分的几个性质：性质1：若a+f（x）dx收敛，则对任意常数k，a+kf（x）dx也收敛，且a+kf（x）dx=ka+f（x）dx.性质2：若a+f（x）dx，a+g（x）dx都收敛，则a+f（x）+g（x）dx也收敛，且a+f（x）+g（x）dx=a+f（x）dx+a+g（x）dx.性质3：分部积分公式成立：a+udv=uva+-a+vdu.性质4：换元法成立。第四节广义积分二、无界函数的广义积分定义2：设函数f（x）在区间（a，b上连续，对充分小的正数，称：为f（x）在区间（a，b上的广义积分.若等式右边的极限存在，则称广义积分abf（x）dx收敛，极限值为广义积分值；否则，称广义积分发散。类似地，设f（x）在区间a，b）上连续，对充分小的正数，称：为f（x）在区间a，b）上的广义积分.如果极限存在，则称广义积分abf（x）dx收敛，极限值为广义积分值；否则，称广义积分发散。第四节广义积分如果acb，f（x）在a，c）（c，b上连续，则将广义积分abf（x）dx定义为abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx.只有等式右边两个广义积分都收敛时，广义积分abf（x）dx才收敛。第五节定积分的应用一、微元法前面我们从分析解决曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个例子中引入了定积分的概念.如果用定积分来表示的量U满足以下条件：（1）U依赖于区间a，b，当将a，b分成若干子区间后，量U成为对应于各子区间上部分量U的和；（2）U依赖于区间a，b上的某函数；（3）在a，b的微小子区间x，x+dx上对应的部分量Uf（x）dx.若记量U的微元为dU，即有UdU，U与dU的差是比dx高阶的无穷小.那么以dU=f（x）dx为积分表达式，从x=a到x=b的定积分abf（x）dx就是所求量U.第五节定积分的应用综上可知，用定积分解决实际问题的方法和步骤如下：（1）根据问题的实际情况，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间a，b；（2）把区间a，b分成n个小区间，取其中一个小区间并记x，x+dx，求出该小区间上U的近似值dU，若dU=f（x）dx，就把f（x）dx称为量U的元素；（3）以元素f（x）dx为积分表达式，在区间a，b上作定积分，得U=abf（x）dx.这种方法称为定积分的微元法.第五节定积分的应用二、定积分在几何上的应用1.平面图形的面积用微元法分析：第一步：选积分变量xa，b和典型区间x，x+dxa，b；第二步：在x，x+dx上用矩形面积代替小曲边梯形面积A，f（x）为小矩形的高，则得到面积微元为：dA=f（x）dx，（5-3）所求图形的面积为：A=abf（x）dx.（5-4）第五节定积分的应用2.旋转体的体积由连续曲线y=f（x）和直线x=a，x=b（ab）及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的几何体叫作旋转体.这个几何体的体积也可以用微元法讨论.第一步：选取积分变量xa，b和典型区间x，x+dxa，b；第二步：在子区间x，x+dx上，小旋转体的体积可以用以f（x）为半径，dx为高的小圆柱体的体积近似代替，而小圆柱体的体积为：dV=f2（x）dx，在a，b上积分得旋转体的体积为：Vx=abf2（x）dx.（5-5）用类似的方法，可求得由曲线x=g（y）及直线y=c，y=d（cd）与y轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积为Vy=cdg2（y）dy.（5-6）第五节定积分的应用3.平面曲线的弧长如图所示，设光滑曲线y=f（x），axb的弧长为s，取x为积分变量，x的变化区间是a，b.显然弧长s对区间具有可加性.在a，b上取微小区间x，x+dx，对应于该区间上的小弧度MN的弧长可以用曲线y=f（x）在点（x，y）处的切线上相应直线段MT的长度近似代替，而MT的长为:得弧长微分（简称弧微分）:第五节定积分的应用上式对x从x=a到x=b积分，得所求曲线弧长:如果平面曲线由参数方程x=x（t），y=y（t），t给出，其中x（t），y（t）在，上具有连续导数，那么弧微分:取参数t为积分变量，对t从t=到t=积分，得曲线弧长:第五节定积分的应用如果平面曲线由极坐标方程:r=r（），给出，其中r（）在，上具有连续导数.若取极角为参数，那么上述极坐标曲线方程可化为参数方程:x=r（）cos，y=r（）sin，.于是，弧微分:取为积分变量，对=到=积分，得曲线弧长:思考题：第五章定积分及其应用用定积分表示下述极限:谢谢观看谢谢观看高等数学高等数学第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分及其应用l第六章多元函数微积分第四节多元复合函数和隐函数的求导法则第五节偏导数在几何上的应用第六节多元函数的极值第七节二重积分1多元函数的概念(定义、二元函数的几何意义)，二元函数的极限与连续，有界闭区域上连续函数的性质(叙述)。2偏导数的概念(定义、二元函数偏导数的几何意义、求法)，高阶偏导数，混合偏导数可交换求导次序的条件(叙述)，全微分的概念定义、全微分存在的充分条件，可导、可微与连续函数之间的关系，全微分在近似计算中的应用。多元复合函数的求导法则，全导数、隐函数求导法。3偏导数的几何应用(空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线)，多元函数的极值及其求法，最大值与最小值问题，条件极值。学习重点第六章多元函数微积分第一节多元函数的基本概念第一节多元函数的基本概念一、区域1.邻域设P0（x0，y0）是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点P0距离小于的点P（x，y）的全体称为点P0的邻域，记为U（P0，），即U（P0，）=P|PP0|在几何上，U（P0，）就是xOy平面上以点P0为中心、0为半径的圆的内部的点P（x，y）的全体。如果不需要强调邻域半径，则用U（P0）表示点P0的邻域.点P0的去心邻域记作U。（P0）。第一节多元函数的基本概念2.区域设D为一平面点集，若有点P的某邻域U（P）D，则称点P为点集D的内点。若点集D的点都是内点，则称D为开集.例如，点集D=（x，y）|1x2+y24就是开集。设D为一开集，若对D中的任意两点，都可以用完全落在D内的折线连接起来，则称D具有连通性。连通的开集称为区域或开区域.例如，点集（x，y）|x+y0及（x，y）|1x2+y24都是区域。若点P的任一邻域内既有属于D的点也有不属于D的点（点P本身可以属于D，也可以不属于D），则称P为D的边界点。D的边界点的全体称为D的边界。第一节多元函数的基本概念开区域与其边界的并集称为闭区域。例如，点集（x，y）|1x2+y24是闭区域。对于点集D，若存在一个正实数M，使得D内任意两点的距离都不大于M，则称D为有界点集，否则，称D为无界点集。若D为闭区域而且有界，则称D为有界闭区域.例如，点集（x，y）|1x2+y24是有界闭区域，而点集（x，y）|x+y0就是无界区域。第一节多元函数的基本概念二、多元函数的概念定义1：设D是xOy平面上的一个点集，若对D中的每一点P（x，y），变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z为变量x，y的二元函数（或点P的函数），记为z=f（x，y）或z=f（P）.点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量.数集M=z|z=f（x，y），（x，y）D称为该函数的值域。第一节多元函数的基本概念二、二元函数的极限定义2：设二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某邻域内有定义（点P0可以除外）.如果点P（x，y）在该邻域内以任意方式无限趋于点P0（x0，y0）时，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，则称A是二元函数f（x，y）当（x，y）（x0，y0）时的极限，记作:第一节多元函数的基本概念四、二元函数的连续性定义3：设函数f（x，y）在P0的某邻域内有定义，若有则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续。若函数f（x，y）在区域（或闭区域）D内的每一点都连续，则称f（x，y）在D内连续，或称f（x，y）是D内的连续函数。若函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处不连续，则称点P0为函数f（x，y）的间断点。第一节多元函数的基本概念与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：性质1（最值定理）：在有界闭区域上的连续函数必有最大值与最小值。性质2（介值定理）：在有界闭区域D上的连续函数，在D上必能取得介于其在D上的最大值与最小值之间的任何值。第二节偏导数一、一阶偏导数1.一阶偏导数的概念定义：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一邻域内有定义，当自变量y保持y0不变，而自变量x有改变量x时，函数相应地有关于x的改变量（偏增量）xf=f（x0+x，y0）-f（x0，y0）.第二节偏导数如果极限存在，则称极限值为函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处关于x的偏导数，记作即类似地，可以定义函数f（x，y）在点P0处关于y的偏导数：第二节偏导数2.一阶偏导数的几何意义在几何上，则是方程为z=f（x，y）的曲面与平面y=y0的交线ly，在点P0处的切线P0T与x轴正向夹角的正切.同理，偏导数fy（x0，y0）在数学上反映了z关于自变量y的变化率；在几何上，则是方程为z=f（x，y）的曲面与平面x=x0的交线lx，在点P0处的切线P0T1与y轴正向夹角的正切。函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的偏导数fx（x0，y0），在数学上反映了z关于自变量x的变化率；第二节偏导数3.一阶偏导函数如果函数z=f（x，y）在区域D内每一点P（x，y）处对x或y的偏导数都存在，那么求偏导数的结果还是x，y的函数，称为函数z=f（x，y）对自变量x或y的偏导函数，记作有了函数的偏导函数，在某点P0处的偏导数是相应偏导函数在P0处的函数值。在不会引起混淆的地方，也把偏导函数简称为偏导数。二、高阶偏导数函数z=f（x，y）的n-1阶偏导数的偏导数，就称为该函数的n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。第三节全微分及其应用一、全微分的概念若x和y同时变化且分别取增量x和y，则对应的函数增量为z=f（x+x，y+y）-f（x，y），称为函数z=f（x，y）的全增量.我们希望用自变量增量x和y的线性函数来表示全增量。第三节全微分及其应用定义：如果函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全增量z可表示为z=fx（x，y）x+fy（x，y）y+o（），其中，=（x）2+（y）21/2，则称z=f（x，y）在点（x，y）处可微，而将上式中x和y的线性项部分称为z=f（x，y）在点（x，y）处的全微分，记作dz，即dz=fx（x，y）x+fy（x，y）y，自变量的增量x，y又称为自变量的微分，分别记为dx，dy，则函数的全微分又可表示为第三节全微分及其应用定理（全微分存在的必要条件）：如果函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，则函数在该点处必定连续且偏导数fx（x，y），fy（x，y）存在。定理（全微分存在的充分条件）：若函数z=f（x，y）的偏导数fx（x，y），fy（x，y）在点（x，y）处连续，则函数在该点可微。设函数u=u（x，y），v=v（x，y）在点（x，y）处可微，则可以推出全微分有下列运算法则：（1）d（uv）=dudv；（2）d（uv）=vdu+udv，d（Cu）=Cdu（其中C为常数）；第三节全微分及其应用二、全微分的应用利用全微分的概念，可进行函数的近似计算.设函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，则全增量可表示为：z=fx（x，y）x+fy（x，y）y+o（），略去高阶无穷小o（），当|x|，|y|充分小时，全增量近似用全微分表示为：z=f（x+x，y+y）-f（x，y）fx（x，y）x+fy（x，y）y，即有近似计算公式：f（x+x，y+y）f（x，y）+fx（x，y）x+fy（x，y）y.第四节多元复合函数和隐函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则定理：如果函数u=u（x，y），v=v（x，y）在点（x，y）处的偏导数都存在，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处偏导数存在且连续，则复合函数z=fu（x，y），v（x，y）在点（x，y）处偏导数存在，并有求偏导数公式：第四节多元复合函数和隐函数的求导法则设z=f（u，v，w），而u=u（x，y），v=v（x，y），w=w（x，y），函数含3个中间变量，2个自变量，则求导公式为：若z=f（u，v，w），而u=u（t），v=v（t），w=w（t），函数含3个中间变量，1个自变量，成为关于t的一元函数，这时对自变量t的导数称为全导数，全导公式为：第四节多元复合函数和隐函数的求导法则二、隐函数的求导法则设y=f（x）是由方程F（x，y）=0所确定的一元隐函数，在恒等式Fx，f（x）=0两边对x求全导数，得:当Fy（x，y）0时，解得:第四节多元复合函数和隐函数的求导法则这样，我们用偏导数给出了一元隐函数的求导公式.同样，设方程F（x，y，z）可确定一个二元隐函数z=f（x，y），在恒等式Fx，y，f（x，y）=0两边分别对x和y求偏导数，得：当Fz0时，解得：上式可作为二元隐函数求一阶偏导数的公式。第五节偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为：x=（t），y=（t），z=（t）.假设（t），（t），（t）都可导，且其导数不全为零.当t=t0时，对应于曲线上的定点M0（x0，y0，z0），且（t0），（t0），（t0）不全为零.在t0处有增量t，当t=t0+t时，对应于曲线上另一点M（x0+x，y0+y，z0+z），则割线M0M的方程为：用t去除上式各分母，得：仍表示割线M0M的方程。第五节偏导数在几何上的应用让点M沿曲线无限趋于点M0（t0），割线开始绕点M0转动，若割线有极限位置M0T，则称M0T为曲线在点M0处的切线，这时:第五节偏导数在几何上的应用于是，切线方程为:其中，切线的方向向量记作T，则T=（t0），（t0），（t0），称T为曲线在点M0处的切向量。过点M0且与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面.这时，曲线的切向量T是曲线的法平面的法向量，则法平面方程为：（t0）（x-x0）+（t0）（y-y0）+（t0）（z-z0）=0.第五节偏导数在几何上的应用二、曲面的切平面与法线设曲面的方程为F（x，y，z）=0，点M0（x0，y0，z0）为曲面上的一点，函数F（x，y，z）在点M0处具有连续的偏导数，且不同时为零.可以证明，在曲面上作过点M0的任何曲线，如果它们在M0处有切线，则这些切线都在同一平面上，称该平面为曲面在点M0处的切平面.这时，切平面的法向量n=Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）称n为曲面在点M0处的法向量。所以，曲面在点M0（x0，y0，z0）处的切平面方程为：Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）=0第五节偏导数在几何上的应用过点M0且垂直于切平面的直线，称为曲面在点M0处的法线.这时，曲面在点M0处的法向量n可作为法线的方向向量，所以法线的方程为：特别地，若曲面的方程由显函数z=f（x，y）给出，函数f（x，y）在点（x0，y0）处具有连续偏导数，这时曲面由三元方程f（x，y）-z=0所确定，其中F（x，y，z）=f（x，y）-z，曲面在点M0处的法向量为n=fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1，所以，曲面在点M0处的切平面方程为：fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0）-（z-z0）=0，（6-3）法线方程为：第六节多元函数的极值一、多元函数的极值定义：设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意点（x，y），有f（x，y）f（x0，y0）或f（x，y）f（x0，y0），则称f（x0，y0）为函数f（x，y）的极大值（或极小值），而称（x0，y0）为函数的极大值点（或极小值点），函数的极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点。第六节多元函数的极值定理1（极值存在的必要条件）：设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处具有一阶偏导数且取得极值，则必有fx（x0，y0）=fy（x0，y0）=0.定理2（极值存在的充分条件）：若函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域有连续二阶偏导数，且点（x0，y0）是它的驻点，记A=fxx（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fyy（x0，y0），则（1）当B2-AC0时，f（x0，y0）是极值，且当A0时为极大值，A0时为极小值；（2）当B2-AC0时，f（x0，y0）不是极值；（3）当B2-AC=0时，f（x0，y0）可能是极值，也可能不是极值。第六节多元函数的极值二、二元函数的最值如果二元函数z=f（x，y）在有界闭区域D上连续，则f（x，y）在D上一定有最大值和最小值。但是，最大值和最小值可能在D的内部取得，也可能在D的边界上取得.因此，需要求出f（x，y）在D内部的所有驻点和使一阶偏导数不存在的点，如果这些点是有限个，将这些点的函数值与函数在D的边界上的最大值和最小值作比较，其中最大的就是二元函数f（x，y）的最大值，最小的就是f（x，y）的最小值，可见，求二元函数的最大值和最小值比一元函数复杂得多。但是，如果根据实际问题知道二元函数在D的内部存在最大值（或最小值），同时函数的偏导数存在，且有唯一的一个驻点，则函数在驻点处必取得最大值（或最小值）。第六节多元函数的极值三、条件极值1.转化为无条件极值对一些简单的条件极值问题，利用附加条件，消去函数中的某些自变量，将条件极值转化为无条件极值。例如，例2中的问题实际上是求表面积函数S=2（xy+yz+xz）在条件xyz=V限制之下的极值，这是一个条件极值问题.求解时，从条件中解出z=V/xy代入S=2（xy+yz+xz）中，就转化为求函数S=2(xy+V/x+V/y)的极值问题，这时对于自变量x，y不再有附加条件的限制，因此是一个无条件极值问题。2.拉格朗日乘数法对于一般的条件极值问题，要直接转化为无条件极值问题往往比较
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