121任意角的三角函数

在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾复习回顾OabMPcOabMP yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课引入新课引入 yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？o如果改变点在终边上的位置，这如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变三个比值会改变吗？吗？MOyxP(a,b)诱思探究诱思探究能否通过能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？取特殊值将表达式简化呢？以原点为圆心以原点为圆心,以单位以单位长度为半径的圆叫做长度为半径的圆叫做单位圆单位圆.2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1）叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ；（2）叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ；（3）叫做 的正切正切，记作 ，即 。所以，正弦，余弦，正切都是所以，正弦，余弦，正切都是以以角为自变量角为自变量，以以单位圆单位圆上点的上点的坐坐标或坐标的比值标或坐标的比值为函数值的函数为函数值的函数，我们将他们称为我们将他们称为三角函数三角函数.使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域.的终边例例1：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是，求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：Oxy点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，的终边与单位圆的交点坐标，则可则可直接利用直接利用定义求三角函数值。定义求三角函数值。实例剖析实例剖析例例2 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以 点评：若已知角点评：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与单位圆的终边与单位圆的交点交点，然后再利用定义求三角函数值。然后再利用定义求三角函数值。例例3 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦的正弦、余弦和正切值和正切值.解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、于是，于是，设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终终边上的位置无关边上的位置无关.定义推广：定义推广：点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。巩固提高巩固提高练习练习1 1：已知角：已知角的终边经过点的终边经过点 ，求角求角的的 正弦、余弦和正切值。正弦、余弦和正切值。2.利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值于是于是，练习练习3.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：由已知可得：解：由已知可得：已知角的终边经过，求的三个三角函数值练习反馈：练习反馈：三角函数定义域定义域值域值域1.三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域提问：分，两种情形讨论求的三个三角函数值呢？若将改为，如何（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）探究：探究：2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，角角 为第三象限角为第三象限角.反之也对。反之也对。证明：证明：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.1下列各式为正号的是（下列各式为正号的是（）A cos2 B cos2 sin2 C tan2 cos2 D sin2 tan2C2 若若lg(sintan)有意义，则有意义，则 是（是（）A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C3 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a3例2（1）；（2）；（3）求下列各角的三个三角函数值三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线正切线 三角函数的几何表示课件当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：(x,yx,y)xyo(x,yx,y)xyoM MM M请你用几何中的方法表示三角函数请你用几何中的方法表示三角函数.(x,yx,y)xyoxA A怎样表示正切函数怎样表示正切函数?T T(x,yx,y)yoA AT T三 角 函 数 线的终边的终边OyxA(1,0)PMT的终边的终边yxA(1,0)POMT的终边的终边yxA(1,0)OPMT的终边的终边yxA(1,0)OPMT例4 求证：当为锐角时，例题例题5练习练习23cos)(1a1.内容总结：内容总结：任意角三角函数的概念任意角三角函数的概念.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号的符号.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.化归的思想，数形结合的思想化归的思想，数形结合的思想.2.方法总结：方法总结：3.体现的数学思想：体现的数学思想：归纳总结归纳总结