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授课人：王 斌性质：1.平行四边形的对角相等。（邻角互补）平行四边形的对角相等。（邻角互补）2.平行四边形的对边相等。（且对边平行）平行四边形的对边相等。（且对边平行）3.平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分。zxxk判定:1.1.定义判定法。定义判定法。2.两组对角相等的四边形是平行四边形。两组对角相等的四边形是平行四边形。3.两组对边相等的四边形是平行四边形。两组对边相等的四边形是平行四边形。4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。定义：两组对边都平行的四边形叫平行四边形。两组对边都平行的四边形叫平行四边形。全等三角形（四对）。全等三角形（四对）。ABO、BCO、CDO、DAO等面积。等面积。平平行行四四边边形形ABCDO定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质。2.矩形的四个角都是直角。3.矩形的对角线相等。（互相平分）判定：1.定义判定法：90+平行四边形=矩形 2.有三个角是直角的四边形是矩形。3.对角线相等的平行四边形是矩形。矩 形ABCDO知识联系：1.等腰三角形 2.直角三角形定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。性质：1.菱形具有平行四边形的一切性质。2.菱形的四条边都相等。3.菱形的对角线互相垂直（平分）且一条对角线平分一组对角。判定：1.定义判定法：一组邻边相等+平行四边形=菱形 2.四条边都相等的四边形是菱形。3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。菱 形ABCDO知识联系：等腰三角形，直角三角形zxxk定义：一个角为直角+一组邻边相等+平行四边形=正方形（又叫正四边形）。性质：1.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。2.正方形四个角都是直角，四条边都相等。3.正方形的两条对角线相等，并且互相垂 直平分,每一条对角线平分一组对角。判定：1.定义判定法：一个角为直角+一组邻边相等+平行四边形=正方形 2.一组邻边相等 +矩形=正方形 3.一角为90+菱形 =正方形正 方 形ABCDO知识联系：等腰直角三角形1.1.对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形2.2.对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 对角线对角线与特殊四边形的关系与特殊四边形的关系3.3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.4.对角线互相垂直且相等的平行四边形对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是正方形5.5.对角线相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形几种常见的梯形的辅助线画法：几种常见的梯形的辅助线画法：1.1.构建平行四边形构建平行四边形A AB BC CD DF FA AB BC CD DF F2.2.平移一条对角线平移一条对角线A AB BC CD DE EA AB BC CD DE E3.3.构建全等三角形构建全等三角形A AB BC CD DE E.F FA AB BC CD DF F4.4.构建矩形构建矩形A AB BC CD DF FA AB BC CD DE EF FE EE E.7.7.作梯形的中位线作梯形的中位线A AB BC CD DE EF F6.6.构建大平行四边形构建大平行四边形5.5.构建三角形构建三角形A AB BC CD DE EE EF FC CA AB BD DO O求求证证：顺顺次次连连结结四四边边形形四四条条边边的的中中点点，所所得的四边形是平行四边形得的四边形是平行四边形.ABCDEFGH已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形。证明：连结证明：连结ACACAE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理三角形中位线定理)EF AC，EF=AC四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形同理：同理：HG AC，HG=ACEF HG，且EF=HG思考：（1）顺顺次次连连结结平平行行四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边边形形是是_？（2）顺次连结）顺次连结矩形矩形各边中点各边中点所得的四边形是所得的四边形是_？（3）顺次连结）顺次连结菱形菱形各边中点各边中点所得的四边形是所得的四边形是_？平行四边形平行四边形菱形矩形矩形变式练习变式练习（4）顺顺次次连连结结正正方方形形各各边边中中点点所所得得的的四四边边形形是是_？（5）顺次连结）顺次连结梯形梯形各边各边中点所得的四边形是中点所得的四边形是_？（6）顺次连结）顺次连结等腰梯形等腰梯形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是是_？正方形正方形平行四边形平行四边形菱形菱形 （7）顺顺次次连连结结对对角角线线相相等等的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边形是什么？边形是什么？（9）顺次连结）顺次连结对角线相等且对角线相等且垂直垂直的四边形各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形是什么？的四边形是什么？（8）顺顺次次连连结结对对角角线线垂垂直直的的四四边边形形各各边边中中点点所所得得的的四四边形是什么？边形是什么？菱形矩形正方形练 习 题一、根据图形所具有的性质，在下列表中打上“”或者“”。图形 性质平行四边形矩形菱形 正方形等腰梯形对边平行且相等对角相等对角线相互平分四条边相等四个角相等对角线相互垂直对角线相等对角线平分一组对角轴对称图形中心对称图形二、选择题 “的四边形是正方形”中下列不正确的是（）A.对角线互相垂直平分且相等；B.四边相等且一角为直角；C.三角为直角且邻边相等；D.一组邻边相等，一角为直角。三、填空题1.对角线 的四边形是平行四边形。2.的平行四边形是矩形。3.对角线 的四边形是菱形。4.正方形的对角线为4cm，它的面积为 。5.菱形的对角线长为6和8，则其周长为 ，面积为 。反例（答案:D）2、填空题两条对角线相等且相互平分的四边形是 。在平面上一个菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么，旋转的角度至少是 。菱形的对角线长为8和10，则它的面积为 。ABCD中，A和C是对角，如果A+C=200，则B=。如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在 BC边上的F点处，如果BAF=60，则DAE=。B BA AF FD DE EC C矩形矩形180804015 303、选择题 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B.平行四边形 C.菱形 D.等腰梯形 正方形具有而矩形不一定具有的特征是 （）A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.四个角都相等 D.对角线互相垂直.如图所示一种可活动的菱形菱形衣帽架。若墙上钉子的距离AB=BC=12，且AMB=BNC=60，那么做这样的衣帽架至少需要 长的材料。（不计制作过程中的损耗）MMN NC CB BA A144CD 下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.ABCD，AB=BC B.AB=CD，AD=BC C.A=B，C=D D.AB=AD，CB=CD梯形ABCD中，对角线AC与BD交于O，则其中面积相等的三角形有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对ODCBAB C1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作 DPOC，且 DP=OC，连结CP，试说明：四边形CODP是的形状。ABDCOP如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？zxxk如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？图一A AO OD DP PB BC CP PC CD DO OB BA A图二2、以ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形。（1）当BAC满足 时，四边形ADFE是矩形；（2）当BAC满足 时，平行四边形ADFE不存在；（3）当ABC分别满足什么条件时，平行四边形时菱形、正方形。BCAEFD解:（3)AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。AB=AC且BAC=150时，平行四边形ADFE是正方形。1506060603、如图，在梯形、如图，在梯形ABCD中，中，AB CD，中位线，中位线EF=7cm，对角线，对角线AC BD，BDC=30，求梯求梯形的高线形的高线AHABCHFEMDO过过A作作AM BD，交，交CD的延长线的延长线于于M又又AB CD四边形四边形ABDM是平行四边形，是平行四边形，DM=AB，AMC=BDC=30又又中位线中位线EF=7cm，CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又又AC BD，AC AM，AH CD，ACD=60AC=CM=7cm12AH=ACsin60=3(cm)724、已知：E、F为边AB、BC的中点，在AC上取G、H两点，使AG=GH=HC，连结EG、FH，并延长交于D点。求证：四边形ABCD是平行四边形。O注：注：解解“翻折图形翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。称轴，会形成轴对称图形。本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的法，是数学中常用的“方程思想方程思想”。5、已知，如图，矩形纸片长为、已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为，宽为6cm,把纸对折使相对两顶点把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。重合，求折痕的长。ABCDFEOD解：设折痕为设折痕为EF，连结，连结AC，AE，CF，若，若A，C两点两点重合，它们必关于重合，它们必关于EF对称，则对称，则EF是是AC的中垂线的中垂线，故，故AF=FC，设，设AC与与EF交于点交于点O，AF=FC=xcm254解得解得x=AF=FC=,FD=8x=25474答：折痕的长为答：折痕的长为7.5cm则则FD=ADAF=8-x在在Rt CDF中，中，FC=FD+CD222x=（8-x）+6222H在在Rt FEH中，中，EF=FH+EH222EF=6+（-）22225474EF=7.5(负根舍去）负根舍去）作作FH BC于于H探索：探索：如图，有一块边长为4 4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是？EDBCFA1616 1、平行四边形的一条对角线与一边垂直，一个内角是60，周长是24cm，那么它的一对邻边长分别是。2、梯形的下底长为6cm，中位线长5cm，则上底长是。3、下列四边形各边中点连线为菱形的是：A平行四边形 B菱形C矩形 D直角梯形4cm和和8cm4cmC4、下列命题中，不正确的是：A平行四边形的对角线互相平分B对角线互相平分的四边形是平行四边形C菱形的对角线互相垂直D对角线互相垂直的四边形是菱形5、直角梯形的一腰为12cm，该腰与下底的夹角为60，且下底为上底长的2倍，则直角梯形的面积是_。D如如图所示，所示，设P P为ABCDABCD内的一点，内的一点，PABPAB、PBCPBC、PDCPDC、PDAPDA的面的面积分分别记为S S1 1、S S2 2、S S3 3、S S4 4，则有有()()(A)S(A)S1 1=S=S4 4(B)S(B)S1 1+S+S2 2=S=S3 3+S+S4 4(C)S(C)S1 1+S+S3 3=S=S2 2+S+S4 4(D)(D)以上都以上都不不对zxxk【解析解析】选选C.PABC.PAB中中ABAB上的高与上的高与PDCPDC中中CDCD上的高之和就是上的高之和就是平行四边形平行四边形ABAB上的高，所以上的高，所以PABPAB与与PDCPDC的面积之和等于平的面积之和等于平行四边形面积的一半，那么行四边形面积的一半，那么PDAPDA与与PBCPBC的面积之和也等于的面积之和也等于平行四边形面积的一半平行四边形面积的一半.例例2：如图，在四边形：如图，在四边形ABCD中，中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，求四边，求四边形形ABCD的面积。的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。如连结对角线、延长两边等。解：解：延长延长AD，BC交于点交于点E，在在Rt ABE中，中，A=60，E=30又又AB=2BE=3AB=23在在Rt CDE中，同理可得中，同理可得DE=3CD=3S四边形四边形ABCD=SRt ABE-SRt CDE=ABBE-CDDE1212=223-131212=33221
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