23两个变量的线性关系成稿

2.3 两个变量的线性关系两个变量的线性关系.情境：情境：客观事物是相互联系的，过去研究客观事物是相互联系的，过去研究的大多数是因果关系。比如说：某某同的大多数是因果关系。比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是联系的，但不能认为数学是“因因”，物，物理是理是“果果”，或者反过来说。事实上数，或者反过来说。事实上数学和物理成绩都是学和物理成绩都是“果果”,而真正的而真正的“因因”是学生的理科学习能力和努力程度。是学生的理科学习能力和努力程度。所以说，函数关系存在着一种确定性关所以说，函数关系存在着一种确定性关系。但还存在着另一种非确定性关系系。但还存在着另一种非确定性关系相关关系相关关系。探究：.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.26134.6 如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？龄之间有怎样的关系吗？从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出一起，就体现出一起，就体现出一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律。而表这一规律。而表这一规律。而表这一规律。而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我们也可以我们也可以我们也可以我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断。对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断。对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断。对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断。如图：O202530 35 4045 505560 65年龄脂肪含量510152025303540下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，称该图为散点图称该图为散点图称该图为散点图称该图为散点图 从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的正相关。但有的正相关。但有的正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：两个变量的相关，如下图所示：两个变量的相关，如下图所示：两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。少。少。作出散点图发现，它作出散点图发现，它作出散点图发现，它作出散点图发现，它们散们散们散们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗车每消耗车每消耗1 1升汽油所行使的升汽油所行使的升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成平均路程，称它们成平均路程，称它们成平均路程，称它们成负相关负相关负相关负相关.O 我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系关关系,这条直线叫做这条直线叫做回归直线回归直线，该直线方程叫，该直线方程叫回归方程回归方程。那么，我们该怎那么，我们该怎那么，我们该怎那么，我们该怎样来求出这个回归方样来求出这个回归方样来求出这个回归方样来求出这个回归方程？程？程？程？请同学们请同学们请同学们请同学们展开讨论，能得出哪展开讨论，能得出哪展开讨论，能得出哪展开讨论，能得出哪些具体的方案？些具体的方案？些具体的方案？些具体的方案？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540我们把由一个变量的变化我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法去推测另一个变量的方法称为称为回归方法。回归方法。.方案方案1、在图中选两点作直线，使直线两侧、在图中选两点作直线，使直线两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540 方案方案方案方案2 2、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。得回归方程。得回归方程。得回归方程。如图如图如图如图我们还可以找到我们还可以找到更多的方法，但更多的方法，但这些方法都可行这些方法都可行吗吗?科学吗？科学吗？准确吗？怎样的准确吗？怎样的方法是最好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540.方案方案方案方案3 3、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。它的斜率和截距，得回归方程。它的斜率和截距，得回归方程。它的斜率和截距，得回归方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540线性回性回归方程：方程：一般地一般地,设有有n个个观察数据如下：察数据如下：当当a,b使使取得最小取得最小值时,就称就称这n对数据的数据的线性回性回归方程方程,该方程所表方程所表示的直示的直线称称为回回归直直线.为拟合为拟合求回归直线方程的这一方法叫最小二乘法最小二乘法一、相关关系的判断一、相关关系的判断例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。解：解：数学成绩数学成绩由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1：列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计算得计算得:所求回归直线方程为所求回归直线方程为 y=x小结：求线性回归直线方程的步骤：小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表第一步：列表 ；第二步：计算第二步：计算 ；第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b,a的值；的值；第四步：写出直线方程。第四步：写出直线方程。例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54(1)画出散点图；画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；般规律；(3)求回归方程；求回归方程；(4)如果某天的气温是如果某天的气温是 C,预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。三、利用线性回归方程对总体进行估计三、利用线性回归方程对总体进行估计解解:(1)散点图散点图(2)气温与热饮杯数成负相关气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。卖出去的热饮杯数越少。温度温度热饮杯数热饮杯数(3)从散点图可以看出，这些点大致分布从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近。在一条直线附近。Y=-2.352x+147.767（4）当）当x=2时，时，y=143.063,因此，这天大约因此，这天大约可以卖出可以卖出143杯热饮。杯热饮。