222-2用样本数字特征估计总体数字特征

2.2 2.2 用样本估计总体用样本估计总体.2.2.2.2用样本的数字特征估计总体的用样本的数字特征估计总体的数字特征数字特征 第二课时第二课时 知识回顾知识回顾1.1.如何根据样本频率分布直方图，分别如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？估计总体的众数、中位数和平均数？（1 1）众数：最高矩形下端中点的横坐标）众数：最高矩形下端中点的横坐标.（2 2）中位数：直方图面积平分线与横轴）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标交点的横坐标.（3 3）平均数：每个小矩形的面积与小矩）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和形底边中点的横坐标的乘积之和.知识探究：标准差知识探究：标准差 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的数据的“中心值中心值”，其中众数和中位数容易计算，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度据的离散程度.思考思考1 1：在一次射击选拔赛中，甲、乙在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击两名运动员各射击1010次，每次命中的环次，每次命中的环数如下：数如下：甲：甲：7 7 8 8 7 7 9 9 5 5 4 4 9 9 1010 7 7 4 4乙：乙：9 9 5 5 7 7 8 8 7 7 6 6 8 8 6 6 7 7 7 7 甲、乙两人本次射击的平均成绩分甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？别为多少环？思考思考2 2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？水平差异在那里吗？环数环数频率频率0.40.40.30.30.20.20.10.14 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 O O（甲）（甲）环数环数频率频率0.40.40.30.30.20.20.10.14 4 5 65 6 7 7 8 8 9 9 1010 O O（乙）（乙）甲的成绩比较分散，极差较大，乙的甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定成绩相对集中，比较稳定.思考思考4 4：反映样本数据的分散程度的大小，最反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用常用的统计量是标准差，一般用s s表示表示.假设假设样本数据样本数据x x1 1，x x2 2，x xn n的平均数为，则标准的平均数为，则标准差的计算公式是：差的计算公式是：那么标准差的取值范围是什么？标准差为那么标准差的取值范围是什么？标准差为0 0的样本数据有何特点？的样本数据有何特点？s0s0，标准差为，标准差为0 0的样本数据都相等的样本数据都相等.思考思考5 5：对于一个容量为对于一个容量为2 2的样本：的样本：x x1 1，x x2 2(x(x1 1x x2 2)，则，则 ,在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？有何影响？标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围在平均数周围.知识迁移知识迁移 s s甲甲=2=2，s s乙乙=1.095.=1.095.计算甲、乙两名运动员的射击成绩的计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性标准差，比较其射击水平的稳定性.甲：甲：7 7 8 8 7 7 9 9 5 5 4 4 9 9 1010 7 7 4 4乙：乙：9 9 5 5 7 7 8 8 7 7 6 6 8 8 6 6 7 7 7 7知识补充知识补充1.1.标准差的平方标准差的平方s s2 2称为方差，有时用方称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散度差代替标准差测量样本数据的离散度.方差与标准差的测量效果是一致的，在方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差实际应用中一般多采用标准差.2.2.现实中的总体所包含的个体数往往很现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性有较好的代表性.3.3.对于城市居民月均用水量样本数据，其平均对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数数 ，标准差标准差s=0.868s=0.868.在这在这100100个数据中，个数据中，落在区间落在区间（-s-s，+s+s）=1.105=1.105，2.8412.841外外的有的有2828个；个；落在区间落在区间（-2s-2s，+2s+2s）=0.237=0.237，3.7093.709外的只有外的只有4 4个；个；落在区间落在区间（-3s-3s，+3s+3s）=-0.631=-0.631，4.5774.577外的有外的有0 0个个.一般地，对于一个正态总体，数据落一般地，对于一个正态总体，数据落在区间（在区间（-s-s，+s+s）、）、（-2s-2s，+2s+2s）、（）、（-3s-3s，+3s+3s）内的）内的百分比分别为百分比分别为68.3%68.3%、95.4%95.4%、99.7%99.7%，这个原理在产品质量控制中有着广泛的这个原理在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材应用（参考教材P79P79“阅读与思考阅读与思考”）.例题分析例题分析例例1 1 画出下列四组样本数据的条形图，画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点说明他们的异同点.(1)(1)，；，；(2)(2)，；，；O O频率频率1.00.80.60.40.21 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 （1）O O频率频率1.00.80.60.40.21 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 （2）(3)(3)，；，；(4)(4)，.频率频率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 O O（3 3）频率频率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 O O（4 4）例例2 2 甲、乙两人同时生产内径为甲、乙两人同时生产内径为25.40mm25.40mm的一种零的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取产的零件中各随机抽取2020件，量得其内径尺寸如件，量得其内径尺寸如下（单位：下（单位：mmmm）：）：甲甲 ：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.45 25.38 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.44 25.40 25.42 25.42 25.35 25.41 25.39 25.35 25.41 25.39乙：乙：25.40 25.43 25.44 25.48 25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.48 25.47 25.49 25.47 25.49 25.4925.49 26.36 25.34 25.33 25.43 26.36 25.34 25.33 25.43 25.4325.43 25.32 25.32 25.47 25.31 25.32 25.47 25.31 25.32 25.3225.32 25.3225.32 25.48 25.48 从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？高？甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高程度较高，故甲生产的零件质量较高.说明：说明：1.1.生产质量可以从总体的平均数与标准差生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差标准差估计总体的平均数与标准差.2.2.问题中问题中25.40mm25.40mm是内径的标准值，而不是是内径的标准值，而不是总体的平均数总体的平均数.例例3 3 以往招生统计显示，某所大学录以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在取的新生高考总分的中位数基本稳定在550550分，若某同学今年高考得了分，若某同学今年高考得了520520分，分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？他想报考这所大学还需收集哪些信息？要点：（要点：（1 1）查往年录取的新生的平均分数）查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考；线较低，可以报考；（2 2）查往年录取的新生高考总分的标准差）查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.小结作业小结作业1.1.对同一个总体，可以抽取不同的样本，对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平均数与标准差都会发生改变相应的平均数与标准差都会发生改变.如如果样本的代表性差，则对总体所作的估果样本的代表性差，则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有代表性，计就会产生偏差；如果样本没有代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常则对总体作出错误估计的可能性就非常大，由此可见抽样方法的重要性大，由此可见抽样方法的重要性.2.2.在抽样过程中，抽取的样本是具有随在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，如从一个包含机性的，如从一个包含6 6个个体的总体中个个体的总体中抽取一个容量为抽取一个容量为3 3的样本就有的样本就有2020中可能抽中可能抽样，因此样本的数字特征也有随机性样，因此样本的数字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有惟一答案是一种统计思想，没有惟一答案.3.3.在实际应用中，调查统计是一个探究在实际应用中，调查统计是一个探究性学习过程，需要做一系列工作，我们性学习过程，需要做一系列工作，我们可以把学到的知识应用到自主研究性课可以把学到的知识应用到自主研究性课题中去题中去.作业：作业：P82P82习题习题2.2 A2.2 A组：组：5 5，6.6.B B组：组：1.1.