C2不可压缩无粘性流体平面势流--课件

C2 C2 不可压缩无粘性流体平面势流不可压缩无粘性流体平面势流 1ppt课件C2.1 C2.1 引言引言粘性流体圆锥管内流动粘性流体圆锥管内流动流动参数为流动参数为x x，r r均匀流体绕流机翼均匀流体绕流机翼(展弦比大展弦比大)流动参数为流动参数为x,yx,yV V OXYXO不可压缩无粘性流体不可压缩无粘性流体:散度、散度、粘度为零粘度为零且无旋性。且无旋性。平平面面流流:流流体体在在流流动动中中,其其参参数数仅仅是是二二个个空空间间坐坐标标的的函函数。如考虑时间数。如考虑时间,有二维定常流和二维不定常流。有二维定常流和二维不定常流。2ppt课件C2.2 C2.2 无粘性流体无旋流动一般概念无粘性流体无旋流动一般概念无粘性流体无粘性流体：无剪应力，只有法线方向的压强：无剪应力，只有法线方向的压强p p：其动量方程（即欧拉运动方程）：其动量方程（即欧拉运动方程）：C2.2.1 C2.2.1 欧拉运动方程欧拉运动方程3ppt课件上式为兰姆上式为兰姆葛罗米柯方程葛罗米柯方程,无旋流动时无旋流动时,旋度旋度讨论讨论欧拉和葛罗米柯方程都是忽略了粘性，所以只欧拉和葛罗米柯方程都是忽略了粘性，所以只适用于理想流体；适用于理想流体；它们即适用于可压无粘流它们即适用于可压无粘流,也适用于不可压无粘流；也适用于不可压无粘流；对于气体，方程中体积力和压力相比很小，可略去对于气体，方程中体积力和压力相比很小，可略去,对液对液体不能略；体不能略；对无旋运动对无旋运动,用葛罗米柯方程较方便用葛罗米柯方程较方便,旋度为旋度为0,0,方程简化。方程简化。4ppt课件C2.2.2 C2.2.2 无旋流动的伯努利方程无旋流动的伯努利方程 如流动为如流动为无旋流动无旋流动，则：，则：所以，兰姆所以，兰姆葛罗米柯方程为：葛罗米柯方程为：如如体积力仅为重力，体积力仅为重力，则：则：如如流动为定常流动，流动为定常流动，则：则：上式两边同乘上式两边同乘 ，得：，得：5ppt课件上式两边积分得：上式两边积分得：说明：说明：该式称为欧拉积分，它表明无旋定常流动中，该式称为欧拉积分，它表明无旋定常流动中，总的机械能（动能总的机械能（动能+位置势能位置势能+压强势能）守恒。压强势能）守恒。对不可压缩流体，对不可压缩流体，=常数，常数，得：得：说明：说明：该式同沿流线的伯努利方程相同。该式同沿流线的伯努利方程相同。6ppt课件Vcos dl V V l zyxC2.2.3 C2.2.3 有关无旋流动的几个概念有关无旋流动的几个概念速度环量速度环量：在速度场中沿封闭周线的线积分：在速度场中沿封闭周线的线积分.=l lV Vd dl l （V V=u=ui i+v+vj j+w+wk k，d dl l=dx=dxi i+dy+dyj j+dz+dzk k）=l lVcosdlVcosdl =l l(udx+vdy+wdz)(udx+vdy+wdz)环量积分方向：环量积分方向：取逆时针方向为正，取逆时针方向为正，顺时针方向为负。顺时针方向为负。1.1.速度环量速度环量7ppt课件StokesStokes定理定理速度环量等于在封闭周线速度环量等于在封闭周线L L上任意曲面的涡上任意曲面的涡通量。曲面的法向通量。曲面的法向n n由右手法则确定。由右手法则确定。开尔文定理或汤姆逊定理开尔文定理或汤姆逊定理在体积力有势在体积力有势无粘性流体无粘性流体是正压的条件下是正压的条件下,沿任一封闭的流体线的速度环量不随时间沿任一封闭的流体线的速度环量不随时间变化。变化。2.2.斯托克斯定理斯托克斯定理3.3.环量守恒定理环量守恒定理8ppt课件C2.3 C2.3 速度势与流函数速度势与流函数C2.3.1 C2.3.1 速度势函数速度势函数1.1.速度势的引入速度势的引入yx如上图所示，如上图所示，xyxy平面上的流动为无旋平面上的流动为无旋流动：流动：速度的旋度为速度的旋度为0 0，即：，即：则一定存在一函数则一定存在一函数(x,y,t)(x,y,t)：式子自然成立式子自然成立9ppt课件速度：速度：函数函数(x,y,t)(x,y,t)称为速度势函数，简称速度势。称为速度势函数，简称速度势。结论：无旋流动一定存在速度势。结论：无旋流动一定存在速度势。在柱坐标系在柱坐标系(r,(r,z,z)中中Ozyxrziizir哈密顿算子：哈密顿算子：10ppt课件速度势速度势(x,y,t)(x,y,t)的全微分：的全微分：速度分量：速度分量：2.2.势函数等势线：势函数等势线：势函数势函数(x,y,t)(x,y,t)的等的等值线值线(d(d=0=0)称为等势线。称为等势线。结论：由上式可知，速度矢量与等势线处处垂直。结论：由上式可知，速度矢量与等势线处处垂直。绕绕z z轴的旋度轴的旋度:Ozyx等势线等势线速度矢量速度矢量11ppt课件3.3.速度势函数的应用速度势函数的应用定常不可压理想流体：定常不可压理想流体：连续方程（速度散度）为：连续方程（速度散度）为：理想流体为无旋流动，因此存在速度势函数理想流体为无旋流动，因此存在速度势函数：连续方程可写为：连续方程可写为：即定常不可压缩理想流体速度势满足即定常不可压缩理想流体速度势满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程。12ppt课件C2.3.2 C2.3.2 流函数流函数1.1.流函数的引入流函数的引入不可压缩流体的连续性方程（速度散度）为：不可压缩流体的连续性方程（速度散度）为：则则u u，-v-v一定可表示为某一函数一定可表示为某一函数(x,y)(x,y)的函数的函数：式子自然成立式子自然成立该函数该函数(x,y)(x,y)称为流函数。称为流函数。13ppt课件2.2.流函数等值线流函数等值线(=C=C):):在极坐标在极坐标r r 平面：平面：不可压缩流体连续性方程不可压缩流体连续性方程(速度散度速度散度)为为：当当d d=0=0时，得：时，得：14ppt课件321VRQPoxydydxvu流函数的物理意义流函数的物理意义流函数的等值线又代表流量流函数的等值线又代表流量。证明：如下图所示，在二维流动中，有两条流函数的等证明：如下图所示，在二维流动中，有两条流函数的等值线值线 1 1、2 2，在两等值线（流线）上任取两点，在两等值线（流线）上任取两点Q Q，P P，过，过Q Q、P P两点分别作垂直于两点分别作垂直于x,yx,y轴的直线相交于轴的直线相交于R R点，则：点，则：通过通过QRQR边流出的流量：边流出的流量：udyudy；通过通过PRPR边流入的流量：边流入的流量：vdxvdx；通过通过PQPQ边流入的流量：边流入的流量：udy-udy-vdx=d=vdx=d=2 2-1 1所以，流经所以，流经P,QP,Q两点任意连线的两点任意连线的流量等于这两点流函数值之差。流量等于这两点流函数值之差。15ppt课件说明说明流函数的流函数的等值线等值线(=C)=C)就是流线；就是流线；给出一组常数给出一组常数C C值，值，可得到流线族，可得到流线族，通常是以零流线通常是以零流线(=0=0)代表物体表面。代表物体表面。（例（例C2.4.4C2.4.4证明零流线并不过驻点，所以用零流线表示物证明零流线并不过驻点，所以用零流线表示物体表面并不正确。）体表面并不正确。）仅仅在在二维流动二维流动中存在流函数，中存在流函数，对对三维流动三维流动，不存在流函，不存在流函数，但流线仍然存在。数，但流线仍然存在。一切平面一切平面流动流动,不论是理想流体或是粘性流体不论是理想流体或是粘性流体,或是有旋或是有旋流体流体,或是无旋流体或是无旋流体,都存在流函数；但势函数只有无旋流都存在流函数；但势函数只有无旋流动才存在。故对平面流动，流函数有更普遍的性质。动才存在。故对平面流动，流函数有更普遍的性质。16ppt课件无旋流动流函数满足拉普拉斯方程无旋流动流函数满足拉普拉斯方程如流动既存在势函数，又存在流函数，则流函数的等值如流动既存在势函数，又存在流函数，则流函数的等值线与势函数的等势线正交。线与势函数的等势线正交。17ppt课件例例C2.1C2.1等势线等势线流线流线xyo【例例】有一平面流动有一平面流动,它的它的势函数为势函数为(x,y)=a(x(x,y)=a(x2-y-y2)/2)/2。求流场上的速度分布求流场上的速度分布,压强分布压强分布,并作流线和等势线的网图。并作流线和等势线的网图。解：两速度分量为：解：两速度分量为：u=u=/x=axx=ax，v=v=/y=-ayy=-ay流线方程为流线方程为：dx/u=dy/vdx/u=dy/v积分得：积分得：xy=C xy=C 流线是等边双曲线族，以流线是等边双曲线族，以x x，y y轴为其渐近线。轴为其渐近线。等势线族为：等势线族为：a(xa(x2-y-y2）=C=C等势线也是等边双曲线族，以等势线也是等边双曲线族，以x=yx=y和和x=-yx=-y两直线为其渐近线。两直线为其渐近线。流场中各点的压强可用伯努利方程求出：流场中各点的压强可用伯努利方程求出：p=pp=p0 0-(v)-(v)2/2=p/2=p0 0-a-a2(x(x2+y+y2)/2)/2 18ppt课件例例C2.2C2.2【例例】已已知知二二维维定定常常不不可可压压流流动动的的速速度度分分布布为为u=axu=ax，v=-ayv=-ay，a a为常数。流线方程及势函数为常数。流线方程及势函数。解：解：由流线的微分方程由流线的微分方程dx/u=dy/vdx/u=dy/v，得：，得：dx/x=-dy/ydx/x=-dy/y积分得流线方程积分得流线方程：xy=C xy=C 流线是等边双曲线族，以流线是等边双曲线族，以x x，y y轴为其渐近线。轴为其渐近线。由无旋由无旋:v/v/x-x-u/u/y=0-0=0y=0-0=0可知流场存在速度势函数可知流场存在速度势函数。由由u=u=/x=axx=ax，v=v=/y=-ayy=-ay分别对分别对x,yx,y进行积分进行积分,得得:=ax:=ax2/2+f/2+f1 1(y),=ay(y),=ay2/2+f/2+f2 2(x)(x)有有:f:f1 1(y)=ay(y)=ay2/2,f/2,f2 2(x)=ax(x)=ax2/2/2则速度势函数则速度势函数 为为:=1/2 a(x:=1/2 a(x2-y-y2）等势线族为：等势线族为：a(xa(x2-y-y2）=C=C等势线也是等边双曲线族等势线也是等边双曲线族,以以x=yx=y和和x=-yx=-y两直线为其渐近线。两直线为其渐近线。19ppt课件C2.4 C2.4 平面势流与基本解平面势流与基本解 势流定义：势流定义：满满足无旋条件的流动必存在速度势，所以，足无旋条件的流动必存在速度势，所以，这样的流动称为势流。这样的流动称为势流。平面势流定义：平面势流定义：本书中平面势流是指本书中平面势流是指定常定常、不可压缩不可压缩平面平面无旋无旋流动。流动。根据平面势流：根据平面势流：无旋条件和定常不可压流得：无旋条件和定常不可压流得：即存在平面速度势即存在平面速度势,也存在流函数，也存在流函数，流函数关系式：流函数关系式：20ppt课件即即平面势流平面势流的的流函数流函数满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程：同样，平面势流的势函数也满足同样，平面势流的势函数也满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程：拉普拉斯方程为线型偏微分方程，可以线型叠加拉普拉斯方程为线型偏微分方程，可以线型叠加。21ppt课件设均流速度设均流速度U U沿沿x x轴正向轴正向,速度分布：速度分布：C2.4.1 C2.4.1 基本数学模型介绍基本数学模型介绍 均直流均直流定义：定义：全流场等速分布的直线流动称为均流，均流中各全流场等速分布的直线流动称为均流，均流中各点速度大小相同，方向一致。点速度大小相同，方向一致。可以证明：均匀流场无旋，因此可以证明：均匀流场无旋，因此,存在速度势函数存在速度势函数：解得：解得：均匀流场为二维流动，存在流函数均匀流场为二维流动，存在流函数：解得：解得：22ppt课件=C=C =C=Cy yx xo解得：解得：在平在平面上做一系列的等面上做一系列的等、值的曲线，值的曲线，如右图所示。如右图所示。一般匀直流一般匀直流例例匀直流，速度为匀直流，速度为V V，与，与x x轴的轴的夹角为夹角为，则：，则：速度势函数速度势函数：23ppt课件解得：解得：在平在平面上做一系列的等面上做一系列的等、值的曲值的曲线，如右图所示。线，如右图所示。同理，流函数同理，流函数：=C=Cyxo速度势极坐标：速度势极坐标：速度势和流函数的极坐标表达式：速度势和流函数的极坐标表达式：流函数极坐标：流函数极坐标：24ppt课件点源和点汇点源和点汇定义：定义：流体从一点流出，沿径向均匀地向各个方向的流体从一点流出，沿径向均匀地向各个方向的流动，称为点源；流体沿径向均匀地从各个方向流入流动，称为点源；流体沿径向均匀地从各个方向流入一点的流动称为点汇，流量一点的流动称为点汇，流量Q Q称为点源称为点源(Q0)(Q0)或点汇或点汇(Q0)(Q0)Q(Q0)的点源与沿的点源与沿x x方向速度方向速度为为U U的均流叠加成一平面流场。的均流叠加成一平面流场。求求：(1)(1)流函数与速度势函数；流函数与速度势函数；(2)(2)速度分布式；速度分布式；(3)(3)流流线方程；线方程；(4)(4)画出代表物面的流线及部分流线图。画出代表物面的流线及部分流线图。解解：(1)(1)在极坐标系中，点在极坐标系中，点源的流函数和势函数为：源的流函数和势函数为：y yx xo oA A=C=C=Q/2=Q/2b b35ppt课件直匀流的流函数与势函数为：直匀流的流函数与势函数为：所以，兰金半体绕流的流函数与势函数为：所以，兰金半体绕流的流函数与势函数为：(2)(2)兰金半体绕流的速度分布式为：兰金半体绕流的速度分布式为：(3)(3)兰金半体绕流的流线方程为：兰金半体绕流的流线方程为：36ppt课件(4)(4)在轮廓线上点在轮廓线上点A(b,A(b,)为驻点：为驻点：所以，代表物面的流线方程：所以，代表物面的流线方程：将将A A点代入流线方程，得：点代入流线方程，得：即：即：所以：所以：37ppt课件例例C2.4.4AC2.4.4A 兰金卵体绕流：均直流兰金卵体绕流：均直流+点源点源+点汇：点汇：已知：在已知：在xyxy坐标系中分别位于坐标系中分别位于(-a,0),(a,0)(-a,0),(a,0)两点，强度两点，强度分别分别为为Q(Q0)Q(Q0)的点源和点汇与沿的点源和点汇与沿x x方向速度为方向速度为U U的均直的均直流叠加成流叠加成一平面流场一平面流场(图见书图见书P51P51页页)。求求：(1)(1)流函数与速度势函数；流函数与速度势函数；(2)(2)速度分布式；速度分布式；(3)(3)流流线方程；线方程；(4)(4)画出代表物面的流线及部分流线图。画出代表物面的流线及部分流线图。解解：(1)(1)在极坐标系中，点源、点汇的流函数和势函数在极坐标系中，点源、点汇的流函数和势函数为：为：例例 题题 2 238ppt课件直匀流的流函数与势函数为：直匀流的流函数与势函数为：所以，兰金卵体绕流的流函数与势函数为：所以，兰金卵体绕流的流函数与势函数为：(2)(2)在直角坐标系中，兰金卵体绕流的速度分布式为：在直角坐标系中，兰金卵体绕流的速度分布式为：39ppt课件(3)(3)兰金卵体绕流的流线方程为：兰金卵体绕流的流线方程为：(4)(4)在最前面的点在最前面的点(-l,(-l,0)0)处：处：代表物面的流线：代表物面的流线：所以：所以：将该点代入流线方程，求得：将该点代入流线方程，求得：40ppt课件C2.5 C2.5 绕圆柱的平面势流绕圆柱的平面势流x V y o =0=0 =0=0Vr V V a BAC2.5.1 C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流无环量的圆柱绕流可无环量的圆柱绕流可采用采用“直匀流直匀流+偶极偶极子子”模拟：模拟：直匀流的方向与直匀流的方向与x x轴相同轴相同,偶极流与偶极流与x x轴方向相反。轴方向相反。复合流动的流函数为：复合流动的流函数为：r=ar=a时，时，=0=0，所以，所以：41ppt课件C2.5 C2.5 绕圆柱的平面势流绕圆柱的平面势流x V y o =0=0 =0=0Vr V V a BAC2.5.1 C2.5.1 无环量圆柱绕流无环量圆柱绕流无环量的圆柱绕流可无环量的圆柱绕流可采用采用“直匀流直匀流+偶极偶极子子”模拟：模拟：直匀流的方向与直匀流的方向与x x轴相同轴相同,偶极流与偶极流与x x轴方向相反。轴方向相反。复合流动的流函数为：复合流动的流函数为：42ppt课件所以，无环量绕圆柱流动所以，无环量绕圆柱流动流函数流函数：类似可得类似可得势函数为势函数为：对应速度分布为：对应速度分布为：在驻点在驻点A(a,A(a,)处，速度处，速度V=0V=0，所以，所以：43ppt课件在圆柱表面在圆柱表面(r=a)(r=a)的速度为：的速度为：在圆柱表面的压强：在圆柱表面的压强：ACDBCp讨论讨论直匀流绕不带环流的圆柱流动时，圆柱体直匀流绕不带环流的圆柱流动时，圆柱体所受到流体的作用力的合力为所受到流体的作用力的合力为0 0。推广推广直匀流绕任意物体流动时直匀流绕任意物体流动时,当忽略粘性当忽略粘性,流流动即未分离也未产生旋涡动即未分离也未产生旋涡,该物体所受到阻力为该物体所受到阻力为0 0。44ppt课件C2.5.2 C2.5.2 有环量圆柱绕流有环量圆柱绕流有环量的圆柱绕流可有环量的圆柱绕流可采用采用“直匀流直匀流+偶极偶极子子+点涡点涡”模拟：模拟：直匀流的方向与直匀流的方向与x x轴相同，偶极流与轴相同，偶极流与x x轴方向相反，点涡轴方向相反，点涡环量为顺时针方向，得有环量圆柱绕流流函数和势函数环量为顺时针方向，得有环量圆柱绕流流函数和势函数为：为：1.1.速度分布速度分布45ppt课件在圆柱表面在圆柱表面(r=a)(r=a)的速度为：的速度为：在圆柱表面驻点在圆柱表面驻点A A处：处：A B cr在圆柱表面的压强：在圆柱表面的压强：46ppt课件A B 驻点位置驻点位置随环量的增大，驻点位置临界角随环量的增大，驻点位置临界角 crcr=3=3/2/2时：时：在圆柱表面的压强：在圆柱表面的压强：圆柱表面所受压强合力：圆柱表面所受压强合力：有环量圆柱绕流，不存在有环量圆柱绕流，不存在x x向的作用力向的作用力(阻力阻力),),但却产但却产生生y y向的作用力向的作用力(升力升力)。47ppt课件C2.6 C2.6 绕机翼的平面势流绕机翼的平面势流C2.6.1 C2.6.1 儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理库塔库塔-儒可夫斯基定理儒可夫斯基定理：当理想流体绕有：当理想流体绕有环流的圆柱体环流的圆柱体或旋转的圆柱体流动时，作用在单位长度柱体上的力或旋转的圆柱体流动时，作用在单位长度柱体上的力等于来流速度与环量及密度三者的乘积，方向为来流等于来流速度与环量及密度三者的乘积，方向为来流方向沿与环量相反方向旋转方向沿与环量相反方向旋转9090 角。表达式为：角。表达式为：C2.6.2 C2.6.2 绕翼型流动的绕翼型流动的库塔条件库塔条件机翼机翼展长展长机翼两端面的距离；机翼两端面的距离；翼型翼型机翼的剖面形状称为翼型。机翼的剖面形状称为翼型。48ppt课件翼型翼型后缘：翼型上的后尖点。后缘：翼型上的后尖点。前缘：翼型上最前点，即距后缘最远的点。前缘：翼型上最前点，即距后缘最远的点。翼弦翼弦C C：连接前后缘的直线段，其长度为弦长。：连接前后缘的直线段，其长度为弦长。中弧线（中线）：翼型内部做一系列与上下翼面相切中弧线（中线）：翼型内部做一系列与上下翼面相切的内切圆，其圆心的连线。的内切圆，其圆心的连线。翼型厚度：上下翼面到弦线距离差，常用相对厚度。翼型厚度：上下翼面到弦线距离差，常用相对厚度。最大弯度最大弯度(简称弯度简称弯度)：翼型中线与翼弦之间的最大垂：翼型中线与翼弦之间的最大垂直距离。直距离。迎角迎角(或攻角或攻角):):翼弦与来流翼弦与来流方向之间的夹角方向之间的夹角。cABb49ppt课件库塔条件库塔条件：运动翼型上的后驻点与后缘重合：运动翼型上的后驻点与后缘重合,沿上下翼沿上下翼面的流动速度在后缘平滑衔接，即流体光滑流过后缘。面的流动速度在后缘平滑衔接，即流体光滑流过后缘。气动力气动力:空气作用在翼型上的合力；气动力在垂直于来空气作用在翼型上的合力；气动力在垂直于来流方向的分量为流方向的分量为升力升力；气动力在平行于来流方向的分量；气动力在平行于来流方向的分量为为阻力阻力；气动力矩气动力矩:空气作用在翼型上的合力矩空气作用在翼型上的合力矩M,M,抬头为正抬头为正;Mz U UD D F F L Ly yx x50ppt课件薄翼理论薄翼理论分析和计算翼型气动力时，分析和计算翼型气动力时，只考虑中弧线只考虑中弧线影响的理论为影响的理论为薄翼理论。根据库塔薄翼理论。根据库塔儒可夫斯基条件可得绕翼型的升儒可夫斯基条件可得绕翼型的升力系数为：力系数为：厚翼理论厚翼理论分分析析和和计计算算翼翼型型气气动动力力时时，考考虑虑翼翼型型的的厚厚度度和和弯弯度度影影响响的的理理论论为为厚厚翼翼理理论论。对对考考虑虑厚厚度度和和弯弯度度的的翼翼型型，根根据库塔据库塔儒可夫斯基条件可得绕翼型的环量为：儒可夫斯基条件可得绕翼型的环量为：51ppt课件-16-161616C Clmaxlmax2.02.01.01.00 0-1.0-1.0C Cl l气动特性曲线气动特性曲线升力曲线：升力系数升力曲线：升力系数ClCl对迎角对迎角 的的曲线。曲线。最大升力系数：升力系数最大的值；最大升力系数：升力系数最大的值；失速迎角：最大升力系数对应的迎角。失速迎角：最大升力系数对应的迎角。有限翼展机翼有限翼展机翼在翼稍由于上下翼面存在压强差，下部流体绕过翼端在翼稍由于上下翼面存在压强差，下部流体绕过翼端面流入上翼面，形成了较强的涡旋，这现象称为有限面流入上翼面，形成了较强的涡旋，这现象称为有限翼展的端部翼展的端部效应；效应；沿展向升力有变化。沿展向升力有变化。52ppt课件C2.7 C2.7 叶栅中的升力定理叶栅中的升力定理yo 由伯努利方程由伯努利方程(忽略质量力忽略质量力)利用利用连续方程连续方程:动量方程动量方程:得得:Fy p p t C D B A V1 V2Fx F V1y V1x V1 V2y V2x V2 53ppt课件yo 叶栅中的升力定理叶栅中的升力定理:引入出入口速度平均分量引入出入口速度平均分量:得得:Fy p p t C D B A V1 V2Fx F V1y V1x V1 V2y V2x V2 54ppt课件例例c2.2.2 P37c2.2.2 P37页页例例c2.2.3 P38c2.2.3 P38页页55ppt课件