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曲线积分与曲面积分习题课曲线积分与曲面积分习题课 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定二代一定 (与方向有关)（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向 (与侧有关)定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分计算上的联系其中其中理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式习题习题:计算其中L为圆周提示提示:利用极坐标,原式=说明说明:若用参数方程计算,则P246 3(1)P246 3(3).计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:P246 3(6).计算其中由平面 y=z 截球面提示提示:因在 上有故原式=从 z 轴正向看沿逆时针方向.例例.计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)则添加辅助线段计算其中L为上半圆周提示提示:沿逆时针方向.练习题练习题:P246 题 3(5);P246 题6;103(5).P246 6.设在右半平面 x 0 内,力构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为P246 11.求力沿有向闭曲线 所作的功,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三提示提示:方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,设三角形区域为,方向向上,则方法方法2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式解解BAOls1s2练习练习:P246 题题4(3)其中 为半球面的上侧.且取下侧,提示提示:以半球底面原式=记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面,利用例例.证明证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设 为简单闭曲面,a 为任意固定向量,n 为的 例例.计算曲面积分其中,解解:例例.设 是曲面解解:取足够小的正数,作曲面取下侧 使其包在 内,为 xoy 平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是备用题备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为H=0.25 R,卫星绕地球一周的时间为 T,试求(2)在解解:如图建立坐标系.的时间内,卫星监视的地球表面积是多少?多少?(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为(2)在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为(2)在其中盲区面积时间内监视的地球表面积为谢谢你的阅读v知识就是财富v丰富你的人生
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