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第二讲数列求和及综合应用【知知识回回顾】1.1.常用的拆常用的拆项公式公式(其中其中nNnN*)2.2.常常见的求和方法的求和方法(1)(1)公式法求和公式法求和:适合求等差数列或等比数列的前适合求等差数列或等比数列的前n n项和和.对等比数列利用公式法求和等比数列利用公式法求和时,一定注意公比一定注意公比q q是否取是否取1.1.(2)(2)错位相减法位相减法主要用于求数列主要用于求数列 a an nb bn n 的前的前n n项和和,其中其中 a an n,b,bn n 分分别是是等差数列和等比数列等差数列和等比数列.(3)(3)裂裂项相消法相消法把数列和式中的各把数列和式中的各项分分别裂开后裂开后,消去一部分从而消去一部分从而计算和的方法算和的方法,适用于求通适用于求通项为 的数列的前的数列的前n n项和和.(4)(4)分分组求和法求和法一个数列既不是等差数列一个数列既不是等差数列,也不是等比数列也不是等比数列,若将若将这个数个数列适当拆开列适当拆开,重新重新组合合,就会就会变成几个可以求和的部分成几个可以求和的部分,分分别求和求和,然后再合并然后再合并.【易易错提醒提醒】1.1.裂裂项求和的系数出求和的系数出错:裂裂项时,把系数写成它的倒数或把系数写成它的倒数或忘忘记系数系数导致致错误.2.2.求通求通项公式忽略公式忽略验证第一第一项致致误:利用利用a an n=忽略忽略n2n2的限定的限定,忘忘记第一第一项单独求独求解与解与检验.3.3.求求项数致数致误:错位相减法求和位相减法求和时,易漏掉减数式的最后易漏掉减数式的最后一一项.【考考题回回访】1.(20161.(2016浙江高考浙江高考)如如图,点列点列 A An n,B,Bn n 分分别在某在某锐角的两角的两边上上,且且|A|An nA An+1n+1|=|A|=|An+1n+1A An+2n+2|,A|,An nAAn+2n+2,nN,nN*,|B|Bn nB Bn+1n+1|=|B|=|Bn+1n+1B Bn+2n+2|,B|,Bn nBBn+2n+2,nN,nN*(PQ(PQ表示点表示点P P与与Q Q不不重合重合).).若若d dn n=|=|A An nB Bn n|,S|,Sn n为A An nB Bn nB Bn+1n+1的面的面积,则()A.SA.Sn n 是等差数列是等差数列B.B.是等差数列是等差数列C.dC.dn n 是等差数列是等差数列D.D.是等差数列是等差数列【解析解析】选选A.A.先求出三角形的面积先求出三角形的面积,再利用等差数列的再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列定义判断数列是否为等差数列.作作A A1 1C C1 1,A,A2 2C C2 2,A,A3 3C C3 3,A An nC Cn n,垂直于直线垂直于直线B B1 1B Bn n,垂足分别垂足分别为为C C1 1,C,C2 2,C,C3 3,C Cn n,则则A A1 1C C1 1AA2 2C C2 2A An nC Cn n,因为因为|A|An nA An+1n+1|=|A|=|An+1n+1A An+2n+2|,|,所以所以|C|Cn nC Cn+1n+1|=|C|=|Cn+1n+1C Cn+2n+2|,|,设设|A|A1 1C C1 1|=a,|A|=a,|A2 2C C2 2|=b,|B|=b,|B1 1B B2 2|=c,|=c,则则|A|A3 3C C3 3|=2b-a,|=2b-a,|,|A An nC Cn n|=(n-1)b-(n-2)a(n3),|=(n-1)b-(n-2)a(n3),所以所以S Sn n=c(n-1)b-(n-2)a=c(b-a)n+(2a-b),=c(n-1)b-(n-2)a=c(b-a)n+(2a-b),所以所以S Sn+1n+1-S-Sn n=c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)=c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)=c(b-a),=c(b-a),又又S S1 1=ac,S=ac,S2 2=bc,S=bc,S3 3=c(2b-a),S=c(2b-a),S2 2-S-S1 1=c(b-a),S c(b-a),S3 3-S-S2 2=c(b-a),=c(b-a),所以数列所以数列SSn n 是等差数列是等差数列.2.(20162.(2016浙江高考浙江高考)设数列数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n.若若S S2 2=4,a=4,an+1n+1=2S=2Sn n+1,nN+1,nN*,则a a1 1=_,S=_,S5 5=_.=_.【解析解析】由题意得由题意得,a,a1 1+a+a2 2=4,a=4,a2 2=2a=2a1 1+1,+1,解得解得a a1 1=1,a=1,a2 2=3,=3,再由再由a an+1n+1=2S=2Sn n+1,a+1,an n=2S=2Sn-1n-1+1(n2),+1(n2),所以所以a an+1n+1-a-an n=2a=2an n,a,an+1n+1=3a=3an n,又又a a2 2=3a=3a1 1,所以所以a an+1n+1=3a=3an n(n1),(n1),S S5 5=121.=121.答案答案:1 1121121热点考向一点考向一求数列的通求数列的通项公式公式命命题解解读:主要考主要考查等差数列与等比数列的定等差数列与等比数列的定义、有关、有关性性质以及以及逻辑推理和各种推理和各种变形能力形能力,一直是高考的重点一直是高考的重点和和热点点.以以选择题、填空、填空题、解答、解答题为主主.【典例典例1 1】(1)(2016(1)(2016武武汉一模一模)已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=3,=3,满足足 ,则数列数列aan n 的通的通项公式公式为_._.(2)(2016(2)(2016全国卷全国卷)已知各已知各项都都为正数的数列正数的数列aan n 满足足a a1 1=1,-(2a=1,-(2an+1n+1-1)a-1)an n-2a-2an+1n+1=0.=0.求求a a2 2,a,a3 3.求求aan n 的通的通项公式公式.【解题导引解题导引】(1)(1)将将 变形变形,构造等差数列求构造等差数列求解解.(2)(2)将将a a1 1=1=1代入递推关系式求得代入递推关系式求得a a2 2,将将a a2 2的值代入递推的值代入递推关系式可求得关系式可求得a a3 3;将已知的递推关系式进行因式分解将已知的递推关系式进行因式分解,由题设条件可判断数列由题设条件可判断数列aan n 为等比数列为等比数列,由此可求得数由此可求得数列列aan n 的通项公式的通项公式.【规范解答规范解答】(1)(1)由由 ,得得 =2,=2,所以数列所以数列 是首项为是首项为 ,公差为公差为2 2的等差数列的等差数列.所以所以 =+(n-1)=+(n-1)2=2n-,2=2n-,所以所以a an n=.=.答案答案:a an n=(2)(2)由题意可得由题意可得a a2 2=,a=,a3 3=.=.由由 -(2a-(2an+1n+1-1)a-1)an n-2a-2an+1n+1=0,=0,得得2a2an+1n+1(a(an n+1)=a+1)=an n(a(an n+1).+1).因为因为aan n 的各项都为正数的各项都为正数,所以所以 故故aan n 是首项为是首项为1,1,公比为公比为 的等比数列的等比数列,因此因此a an n=【母母题变式式】1.1.本例本例(1)(1)改改为:若数列若数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,且且a a1 1=1,a=1,an+1n+1=3S=3Sn n(n1),(n1),求求a a6 6的的值.【解析解析】因为因为a an+1n+1=3S=3Sn n,所以所以a an n=3S=3Sn-1n-1(n(n2),2),两式相减得两式相减得,a,an+1n+1-a-an n=3a=3an n,即即 =4(n2),=4(n2),所以数列所以数列a a2 2,a,a3 3,a,a4 4,构成以构成以a a2 2=3S=3S1 1=3a=3a1 1=3=3为首项为首项,以以4 4为为公比的等比数列公比的等比数列,所以所以a a6 6=a=a2 24 44 4=3=34 44 4=768.=768.2.2.本例本例(1)(1)改改为:已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=2a=2an-1n-1+1+1(n2),(n2),求数列求数列aan n 的通的通项公式公式.【解析解析】由由a an n=2a=2an-1n-1+1(n+1(n2)2)得得a an n+1=2(a+1=2(an-1n-1+1),+1),即即 =2,=2,所以数列所以数列aan n+1+1是首项为是首项为2,2,公比为公比为2 2的等比的等比数列数列,所以所以a an n+1=2+1=2n n,所以所以a an n=2=2n n-1.-1.【规律方法律方法】求通求通项的常用方法的常用方法(1)(1)归纳猜想法猜想法:已知数列的前几已知数列的前几项,求数列的通求数列的通项公式公式,可采用可采用归纳猜想法猜想法.(2)(2)已知已知S Sn n与与a an n的关系的关系,利用利用a an n=求求a an n.(3)(3)累加法累加法:数列数列递推关系形如推关系形如a an+1n+1=a an n+f(n+f(n),),其中数列其中数列 f(nf(n)前前n n项和可求和可求,这种种类型的数列求通型的数列求通项公式公式时,常用常用累加法累加法(叠加法叠加法).).(4)(4)累乘法累乘法:数列数列递推关系形如推关系形如a an+1n+1=g(n)ag(n)an n,其中数列其中数列 g(ng(n)前前n n项积可求可求,此数列求通此数列求通项公式一般采用累乘法公式一般采用累乘法(叠乘法叠乘法).).(5)(5)构造法构造法:递推关系形如推关系形如a an+1n+1=papan n+q(p,q+q(p,q为常数常数)可化可化为a an+1n+1+(p1)+(p1)的形式的形式,利用利用 是以是以p p为公比的等比数列求解公比的等比数列求解.递推关系形如推关系形如a an+1n+1=(p=(p为非零常数非零常数)可化可化为 的形式的形式.【题组过关关】1.(20161.(2016合肥一模合肥一模)已知正已知正项数列数列aan n 满足足a a1 1=1,=1,(n+2)-(n+1)+a(n+2)-(n+1)+an na an+1n+1=0,=0,则它的通它的通项a an n=(=()【解析解析】选选B.B.由由(n+2)-(n+1)+a(n+2)-(n+1)+an na an+1n+1=0,=0,可得可得(n+2)=n+1,(n+2)=n+1,又因为又因为a an n0,0,所以所以 又又a a1 1=1,=1,则则a an n=a a1 12.(20162.(2016银川一模川一模)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,且且S Sn n=4a=4an n-3(nN-3(nN*).).(1)(1)证明明:数列数列aan n 是等比数列是等比数列.(2)(2)若数列若数列 b bn n 满足足b bn+1n+1=a an n+b+bn n(nN(nN*),),且且b b1 1=2,=2,求数列求数列 b bn n 的通的通项公式公式.【解析解析】(1)(1)依题意依题意S Sn n=4a=4an n-3(n-3(nN N*),),当当n=1n=1时时,a,a1 1=4a=4a1 1-3,-3,解得解得a a1 1=1.=1.因为因为S Sn n=4a=4an n-3,-3,则则S Sn-1n-1=4a=4an-1n-1-3(n2),-3(n2),所以当所以当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=4a=4an n-4a-4an-1n-1,整理得整理得a an n=a=an-1n-1.又又a a1 1=1,=1,所以所以aan n 是首项为是首项为1,1,公比为公比为 的等比数列的等比数列.(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=由由b bn+1n+1=a an n+b+bn n(nN(nN*),),得得b bn+1n+1-b-bn n=可得可得b bn n=b=b1 1+(b+(b2 2-b-b1 1)+(b)+(b3 3-b-b2 2)+)+(b+(bn n-b-bn-1n-1)=2+=3=2+=3 -1(n2).-1(n2).当当n=1n=1时也满足时也满足,所以数列所以数列 b bn n 的通项公式为的通项公式为b bn n=3=3 -1(nN -1(nN*).).【加固加固训练】1.(20161.(2016三三亚二模二模)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,且且a a1 1=a=a2 2=1,=1,若若nSnSn n+(n+2)a+(n+2)an n 为等差数列等差数列,则a an n=()【解析解析】选选A.A.设设b bn n=nS=nSn n+(n+2)a+(n+2)an n,则数列则数列 b bn n 为等差数为等差数列列.由由b b1 1=4,b=4,b2 2=8,=8,可得可得b bn n=4n,=4n,则则b bn n=nS=nSn n+(n+2)a+(n+2)an n=4n,=4n,即即S Sn n+a+an n=4.=4.当当n n2 2时时,S,Sn n-S-Sn-1n-1+a+an n-a-an-1n-1=0,=0,所以所以 a an n=a=an-1n-1,即即2 2 ,所以数列所以数列 是以是以 为公比为公比,1,1为首项的等比数列为首项的等比数列,则则即即a an n=2.(20162.(2016三三亚一模一模)设S Sn n为等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和和.若若a a1 1=1,=1,且且3S3S1 1,2S,2S2 2,S,S3 3成等差数列成等差数列,则a an n=_.=_.【解析解析】设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q(qq(q0),0),依题意得依题意得a a2 2=a=a1 1q=q,aq=q,a3 3=a=a1 1q q2 2=q=q2 2,S,S1 1=a=a1 1=1,S=1,S2 2=1+q,S=1+q,S3 3=1+q+q=1+q+q2 2.又又3S3S1 1,2S,2S2 2,S,S3 3成等差数列成等差数列,所以所以4S4S2 2=3S=3S1 1+S+S3 3,即即4(1+q)=3+1+q+q4(1+q)=3+1+q+q2 2,所以所以q=3(q=0q=3(q=0舍去舍去),),所以所以a an n=a=a1 1q qn-1n-1=3=3n-1n-1.答案答案:3 3n-1n-13.(20163.(2016成都一模成都一模)已知数列已知数列aan n 满足足:=n =n2 2(n1,nN(n1,nN*).).(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2及及a a2 0162 016.(2)(2)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式.【解析解析】(1)(1)由由 =n =n2 2(n(n1,n1,nN N*),),得得a a1 1=1,a=1,a2 2=,=,=2 015 =2 0152 2,=2 016 =2 0162 2,由由-,-,得得 =2 016=2 0162 2-2 015-2 0152 2=4 031,=4 031,所以所以a a2 0162 016=(2)(2)由由 =n =n2 2(n1,nN(n1,nN*),),得得 =(n-1)=(n-1)2 2(n2,nN(n2,nN*),),两式相减得两式相减得 =n=n2 2-(n-1)-(n-1)2 2=2n-1(n2,nN=2n-1(n2,nN*),),所以所以a an n=(n2,nN=(n2,nN*).).当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1也满足上式也满足上式,所以所以a an n=(=(nNnN*).).热点考向二点考向二求数列的前求数列的前n n项和和命命题解解读:试题一般一般设置两个置两个问题,其中第一其中第一问考考查等差、等差、等比数列的基本运算等比数列的基本运算,属于保分属于保分题;第二第二问的区分度的区分度较大大,一般与数列的求和有关一般与数列的求和有关,方法方法较灵活灵活,主要是主要是错位相减、位相减、裂裂项相消等方法相消等方法.以解答以解答题的形式出的形式出现,属于中、高档属于中、高档题目目.命命题角度一裂角度一裂项相消求和相消求和【典例典例2 2】(2015(2015全国卷全国卷)S Sn n为数列数列aan n 的前的前n n项和和.已知已知a an n0,+2a0,+2an n=4S=4Sn n+3.+3.(1)(1)求求aan n 的通的通项公式公式.(2)(2)设b bn n=,=,求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和和.【解题导引解题导引】(1)(1)由由 +2a+2an n=4S=4Sn n+3+3及及a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n确定确定aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)由由(1)(1)及及b bn n=利用裂项法求和利用裂项法求和.【规范解答规范解答】(1)(1)由由 +2a+2an n=4S=4Sn n+3,+3,可知可知 +2a+2an+1n+1=4S=4Sn+1n+1+3.+3.可得可得 -+2(a-+2(an+1n+1-a-an n)=4a)=4an+1n+1,即即2(a2(an+1n+1+a+an n)=-=(a)=-=(an+1n+1+a+an n)(a)(an+1n+1-a-an n).).由于由于a an n0,0,可得可得a an+1n+1-a-an n=2.=2.又又 +2a+2a1 1=4a=4a1 1+3,+3,解得解得a a1 1=-1(=-1(舍去舍去),a),a1 1=3.=3.所以所以aan n 是首项为是首项为3,3,公差为公差为2 2的等差数列的等差数列,通项公式为通项公式为a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)由由a an n=2n+1=2n+1可知可知b bn n=设数列设数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n,则则T Tn n=b=b1 1+b+b2 2+b bn n命命题角度二角度二错位相减求和位相减求和【典例典例3 3】(2016(2016山山东高考高考)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和S Sn n=3n=3n2 2+8n,b+8n,bn n 是等差数列是等差数列,且且a an n=b=bn n+b+bn+1n+1.(1)(1)求数列求数列 b bn n 的通的通项公式公式.(2)(2)令令c cn n=求数列求数列 c cn n 的前的前n n项和和T Tn n.【解题导引解题导引】解答本题第解答本题第(2)(2)问问,可拆解成两个小题可拆解成两个小题:若若c cn n=求求c cn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n,求求T Tn n.【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知,当当n n2 2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=6n+5.=6n+5.当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=11=6n+5.=11=6n+5.所以所以a an n=6n+5.=6n+5.设数列设数列 b bn n 的公差为的公差为d,d,则则a a1 1=2b=2b1 1+d=11,a+d=11,a2 2=b=b2 2+b+b2 2+d=2b+d=2b1 1+3d=17.+3d=17.解得解得b b1 1=4,d=3,=4,d=3,所以所以b bn n=4+(n-1)=4+(n-1)3=3n+1.3=3n+1.(2)(2)由由(1)(1)知知,c,cn n=3(=3(n+1)n+1)2 2n+1n+1.所以所以T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+cn n两式相减两式相减:-T:-Tn n=3=3222 22 2+2+23 3+2+24 4+2+2n+1n+1-(-(n+1)n+1)2 2n+2n+2 =-3n=-3n2 2n+2n+2.所以所以T Tn n=3n=3n2 2n+2n+2.【规律方法律方法】1.1.分分组求和中的分求和中的分组策略策略(1)(1)根据等差、等比数列分根据等差、等比数列分组.(2)(2)根据正号、根据正号、负号分号分组.2.2.裂裂项相消的相消的规律律(1)(1)裂裂项系数取决于前后两系数取决于前后两项分母的差分母的差.(2)(2)裂裂项相消后前、后保留的相消后前、后保留的项数一数一样多多.3.3.错位相减法的关注点位相减法的关注点(1)(1)适用适用题型型:等差数列等差数列aan n 与等比数列与等比数列 b bn n 对应项相乘相乘(a an nb bn n)型数列求和型数列求和.(2)(2)步步骤:求和求和时先乘以数列先乘以数列 b bn n 的公比的公比;把两个和的形式把两个和的形式错位相减位相减;整理整理结果形式果形式.【变式式训练】(2016(2016漳州二模漳州二模)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和是和是S Sn n,且且S Sn n+a+an n=1(nN=1(nN*).).(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式.(2)(2)设b bn n=log=log4 4(1-S(1-Sn+1n+1)(nN)(nN*),),T Tn n=求使求使T Tn n 成立的最小的正整数成立的最小的正整数n n的的值.【解析解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1,由由S S1 1+a+a1 1=1=1a a1 1=,=,当当n2n2时时,S Sn n+a+an n=1,=1,S Sn-1n-1+a+an-1n-1=1,=1,-,-,得得a an n+a+an n-a-an-1n-1=0,=0,即即a an n=a=an-1n-1,所以所以aan n 是以是以 为首项为首项,为公比的等比数列为公比的等比数列.故故a an n=(2)(2)由由(1)(1)知知1-S1-Sn+1n+1=a=an+1n+1=,=,b bn n=log=log4 4(1-S(1-Sn+1n+1)=log)=log4 4 =-(n+1),=-(n+1),故使故使T Tn n 成立的最小的正整数成立的最小的正整数n n的值为的值为2014.2014.【加固加固训练】(2016(2016惠州一模惠州一模)设数列数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n，已知已知a a1 1=1=1，nNnN*.(1)(1)求求a a2 2的的值.(2)(2)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式.(3)(3)证明：明：对一切正整数一切正整数n n，有，有【解析解析】(1)(1)由题意，得由题意，得2S2S1 1=a=a2 2-1-1-，又又S S1 1=a=a1 1=1=1，所以，所以a a2 2=4.=4.(2)(2)当当n2n2时，时，2S2Sn n=na=nan+1n+1-n-n3 3-n-n2 2-n-n，2S2Sn-1n-1=(n-1)a=(n-1)an n-(n-1)-(n-1)3 3-(n-1)-(n-1)2 2-(n-1)-(n-1)，两式相减得两式相减得2a2an n=na=nan+1n+1-(n-1)a-(n-1)an n-n-n2 2-n-n，整理得整理得(n+1)a(n+1)an n=na=nan+1n+1-n(n+1)-n(n+1)，即即 =1=1，又，又 =1=1，故数列故数列 是首项为是首项为 =1=1，公差为，公差为1 1的等差数列，的等差数列，所以所以 =1+(n-1)=1+(n-1)1=n1=n，所以，所以a an n=n=n2 2，所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n=n2 2，nNnN*.(3)(3)=所以对一切正整数所以对一切正整数n n，有，有热点考向三点考向三与数列求和有关的与数列求和有关的综合合问题命命题解解读:数列的数列的综合合应用主要体用主要体现在以下两点在以下两点:(1)(1)以等差、等比数列的知以等差、等比数列的知识为纽带,在数列与函数、方在数列与函数、方程、不等式的交程、不等式的交汇处命命题,主要考主要考查利用函数利用函数观点解决点解决数列数列问题以及用不等式的方法研究数列的性以及用不等式的方法研究数列的性质.(2)(2)数列与解析几何交数列与解析几何交汇的命的命题,往往会遇到往往会遇到递推数列推数列,通通常以解析几何作常以解析几何作为试题的背景的背景,从解析几何的内容入手从解析几何的内容入手,导出相关的数列关系出相关的数列关系,再再进一步地解答相关的一步地解答相关的问题.试题难度大都在中等偏上度大都在中等偏上,有有时会以会以压轴题的形式出的形式出现.【典例典例4 4】(1)(2016(1)(2016哈哈尔尔滨一模一模)设nNnN*,a,an n是曲是曲线y=xy=x2n+22n+2+1+1在点在点(1,2)(1,2)处的切的切线与与x x轴交点的横坐交点的横坐标,设b bn n=,=,则数列数列 b bn n 前前n n项和和S Sn n=_.=_.(2)(2016(2)(2016枣庄一模庄一模)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,数数列列 b bn n 的前的前n n项和和为T Tn n,且有且有S Sn n=1-a=1-an n(nN(nN*),),点点(a an n,b,bn n)在直在直线y=y=nxnx上上.求求T Tn n;试比比较T Tn n和和2-2-的大小的大小,并并说明理由明理由.【解题导引解题导引】(1)(1)根据导数的几何意义求出曲线的切线根据导数的几何意义求出曲线的切线方程方程,从而得出数列从而得出数列 b bn n 的通项公式的通项公式,利用裂项法求数利用裂项法求数列列 b bn n 前前n n项和项和.(2)(2)【题目拆解题目拆解】本题第本题第问可拆成三个小题问可拆成三个小题:求求aan n 的通项公式的通项公式;求求 b bn n 的通项公式的通项公式;求求T Tn n.【规范解答规范解答】(1)y=(2n+2)x(1)y=(2n+2)x2n+12n+1,曲线曲线y=xy=x2n+22n+2+1+1在点在点(1,2)(1,2)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2n+2,2n+2,从而切线方程为从而切线方程为y-2y-2=(2n+2)=(2n+2)(x-1),(x-1),令令y=0,y=0,解得切线与解得切线与x x轴交点的横坐轴交点的横坐标标a an n=,=,则则b bn n=,=,所以所以S Sn n=答案答案:(2)(2)当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=1-a=1-a1 1,解得解得a a1 1=.=.当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(1-a=(1-an n)-(1-a)-(1-an-1n-1),),则有则有2a2an n=a=an-1n-1,即即 所以数列所以数列aan n 是以是以a a1 1=为首项为首项,为公比的等比数列为公比的等比数列.所以所以a an n=(=(nNnN*).).因为点因为点(a an n,b,bn n)在直线在直线y=y=nxnx上上,所以所以b bn n=nanan n=令令B Bn n=2-,=2-,则则T Tn n-B-Bn n=所以当所以当n=1n=1时时,T,T1 1-B-B1 10,0,所以所以T T1 1B0,0,所以所以T Tn n B Bn n.综上所述综上所述,当当n=1n=1时时,T Tn n2-;2-.2-.【规律方法律方法】数列与函数交数列与函数交汇问题的常的常见类型及解法型及解法(1)(1)已知函数条件已知函数条件,解决数列解决数列问题,此此类问题一般利用函数一般利用函数的性的性质、图象研究数列象研究数列问题.(2)(2)已知数列条件已知数列条件,需构造函数需构造函数,利用函数知利用函数知识解决解决问题,解决此解决此类问题一般要充分利用数列的范一般要充分利用数列的范围、分式、求、分式、求和方法和方法对式子化式子化简变形形.另外另外,解解题时要注意数列与函数要注意数列与函数的内在的内在联系系,灵活运用函数的思想方法求解灵活运用函数的思想方法求解.【题组过关关】1.(20161.(2016枣庄一模庄一模)已知函数已知函数f(xf(x)满足足f(x+1)=+f(x+1)=+f(x)(xRf(x)(xR),),且且f(1)=,f(1)=,则数列数列 f(n)(nNf(n)(nN*)前前2020项的和的和为()A.305A.305B.315B.315 C.325 C.325D.335D.335【解析解析】选选D.D.因为因为f(1)=,f(2)=+,f(1)=,f(2)=+,f(3)=+,f(3)=+,f(nf(n)=+f(n-1),)=+f(n-1),所以所以 f(nf(n)是以是以 为首项为首项,为公差的等差数列为公差的等差数列.所以所以S S2020=2.(20162.(2016烟台二模烟台二模)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n，点，点 在直在直线y=y=上上.数列数列 b bn n 满足足b bn+2n+2-2b-2bn+1n+1+b+bn n=0(nN=0(nN*)，且，且b b3 3=11=11，前，前9 9项和和为153.153.(1)(1)求数列求数列aan n，b bn n 的通的通项公式公式.(2)(2)设c cn n=，求数列，求数列 c cn n 的前的前n n项和和T Tn n.【解析解析】(1)(1)由题意，得由题意，得即即S Sn n=故当故当n2n2时，有时，有a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=6=6，且，且n+5=6n+5=6，所以所以a an n=n+5(nN=n+5(nN*).).又由题意知又由题意知b bn+2n+2-2b-2bn+1n+1+b+bn n=0=0，即即b bn+2n+2-b-bn+1n+1=b=bn+1n+1-b-bn n(nN(nN*)，所以所以 b bn n 为等差数列，为等差数列，于是于是由由b b3 3=11=11，得，得b b7 7=23=23，d=3d=3，因此因此b bn n=b=b3 3+3(n-3)=3n+2+3(n-3)=3n+2，即即b bn n=3n+2(nN=3n+2(nN*).).(2)c(2)cn n=所以所以T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c cn n【加固加固训练】1.1.设等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n,若若S S1010=0,S=0,S1515=25,=25,则当当nSnSn n取最小取最小值时,n=,n=()A.5A.5B.6B.6C.7C.7D.8D.8【解析解析】选选C.C.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,由题意得由题意得 解得解得a a1 1=-3,d=,=-3,d=,所以所以S Sn n=-3n+=-3n+即即nSnSn n=令令f(n)=f(n)=则则f(n)=nf(n)=n2 2-,-,令令f(n)=nf(n)=n2 2-0,-0,得得n ,n ,令令f(n)=nf(n)=n2 2-0,-0,得得0n ,0n0)=x+(x0)，以点，以点(n(n，f(nf(n)为切点作函数切点作函数图象的切象的切线ln n(nN(nN*)，直，直线x=n+1x=n+1与函数与函数y=y=f(xf(x)图象及切象及切线ln n分分别相交于相交于A An n，B Bn n，记a an n=|=|A An nB Bn n|.|.(1)(1)求切求切线ln n的方程及数列的方程及数列aan n 的通的通项公式公式.(2)(2)设数列数列 nanan n 的前的前n n项和和为S Sn n，求，求证：S Sn n1.0)=x+(x0)求导，得求导，得f f(x(x)=1-)=1-，则切线，则切线ln n的方程为：的方程为：即即y=.y=.易知易知由由a an n=|=|A An nB Bn n|知知a an n=(2)(2)因为因为nanan n=所以所以S Sn n=a=a1 1+2a+2a2 2+nanan n=
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