第二章复习

一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用把握住：一个未知数，最高次数是把握住：一个未知数，最高次数是2 2，整式方程，整式方程一般形式：一般形式：axax+bx+c=0+bx+c=0（a a 0 0）直接开平方法：适应于形如（直接开平方法：适应于形如（x-kx-k）=h=h（h h00）型型 配方法：配方法：适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程公式法：公式法：适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程因式分解法因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是右边是0 0的方程的方程一一.一元二次方程的有关概念：一元二次方程的有关概念：1、一元二次方程、一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程，这样的整式方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown）。）。一般形式：一般形式：ax2bxc0 (a、b、c是已知数，是已知数，a0)其中其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；和常数项；ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项。分别叫做二次项、一次项和常数项。例例1、下列各等式是否是关于的一元二次方程、下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？为什么？（1）（2）（a为常数）为常数）（3）（4）（5）（6）例例2、把下列方程化成一元二次方程的一般、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。（关于及常数项。（关于x的一元二次方程）的一元二次方程）（1）（2）（3）（4）2、利用方程解的定义：、利用方程解的定义：例例3、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程的一个根是的一个根是1，求，求p的值。的值。根据方程的解的定义将根据方程的解的定义将x=-1代入原方程，代入原方程，解之得解之得 例例4、关于的一元二次方程、关于的一元二次方程 ，若有一个根为，若有一个根为2，求另一个根和求另一个根和t的值。的值。分析：此例已知方程的一个根，利用这分析：此例已知方程的一个根，利用这个根，先确定个根，先确定t的值，再求另一个根。的值，再求另一个根。解：022222=+=tx代入方程得：把例例4、关于的一元二次方程、关于的一元二次方程 ，若有一个根为，若有一个根为2，1、已知一元二次方程、已知一元二次方程ax2+bx+c=0,a、b、c任任取取2、4、0三个数中的任一个数，分别写出三个数中的任一个数，分别写出这些一元二次方程这些一元二次方程.练习一：练习一：答案：答案：2x2-4x=0，-4x2+2x=0，2x2-4=0，-4x2+2=02、写出一个一元二次方程，使它满足以、写出一个一元二次方程，使它满足以下条件：下条件：（1）关于）关于x的一元二次方程；的一元二次方程；（2）有一个根为）有一个根为1。答案不唯一，例如：答案不唯一，例如：x 2=1x(x-1)=0 x 2+x-2=03、已已知知：方方程程x25x5=0的的一一个个根根为为m，求，求m 的值的值.解：解：m是是x2-5x+5=0的根的根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+=5未知数的个数是一个，方程是整式未知数的个数是一个，方程是整式方程；方程；未知数的最高次项的次数是二次；未知数的最高次项的次数是二次；若方程有实数根，则解的个数一定若方程有实数根，则解的个数一定是两个是两个学习一元二次方程要强调三点：学习一元二次方程要强调三点：例例5、若、若a是方程是方程 的根，的根，求求 的值。的值。分析：根据方程的解的定义分析：根据方程的解的定义,如果如果m是是方程方程 的根就的根就有有解：因为解：因为a是方程是方程 的根，的根，所以所以 所求代数式的值为所求代数式的值为1二二.一元二次方程的解法一元二次方程的解法基本解法基本解法配方法配方法直接开平方法直接开平方法 因式分解法因式分解法公式法公式法提取公提取公因式法因式法平方差平方差公式公式完全平完全平方公式方公式例例6、解下列方程、解下列方程（1）x2=0（2）解：解：（1）x1=x2=0（2）注意：注意：第（第（1）题容易解得）题容易解得x=0这一个解；这一个解；第（第（2）题若方程两边都除以）题若方程两边都除以x6，得：，得：x=2，则原方程少了一个解，原因是，则原方程少了一个解，原因是在除以在除以 。故。故此种做法不可取，应避免在方程两边都此种做法不可取，应避免在方程两边都除以一个代数式。除以一个代数式。练习二：练习二：4x2=x 甲同学是这样做的，你看对吗？甲同学是这样做的，你看对吗？方程两边同除以方程两边同除以4，得，得x2=直接开平方得直接开平方得x=所以原方程的解是所以原方程的解是x1=，x2=乙同学是这样做的，也请你乙同学是这样做的，也请你“诊断诊断”一下：一下：将方法两边同除以将方法两边同除以x,得得4x=1即得方程的解为即得方程的解为x=甲、乙两人均错误甲、乙两人均错误正确答案正确答案 x1 0，x2例例7、用指定的方法解下列方程：、用指定的方法解下列方程：（1）直接开平方直接开平方法法（2）配配方法方法（3）公公式法式法（4）因式分解因式分解法法（1）直接开平方法直接开平方法解：解：两边开平方两边开平方 （2）配方法配方法 解：解：23032=+-xx用配方法解一元二次方程要注意两点：用配方法解一元二次方程要注意两点：首先将二次项系数变为首先将二次项系数变为1；方程两边各加上一次项系数一半方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解实数时，用开平方法即可求得方程的解 （3）公式公式法法 解：解：（4）因式分解法因式分解法 解：解：运用因式分解法时，首先应将右运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边边各项移到方程的左边，使方程右边为；然后再将方程左边的式子分解为；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。式、完全平方公式等来分解因式。练习三：练习三：解下列方程解下列方程2、（x-2）(x-3)=12x1=6，x2=-1 例例8、至少用两种方法解下列方程、至少用两种方法解下列方程 解法一：（公式法）解法一：（公式法）解法二：（配方法）解法二：（配方法）即即移项得：移项得：配方得：配方得：两边开方：两边开方：解法三：（因式分解法）解法三：（因式分解法）从这个题目我们发现：适当方法的选从这个题目我们发现：适当方法的选择也不是绝对的，它没有统一的模式和特择也不是绝对的，它没有统一的模式和特征，不能死记硬背。征，不能死记硬背。例例9、选用适当方法解下列方程：、选用适当方法解下列方程：解：（解：（1）（用直接开平方法）（用直接开平方法）（2）（用直接开平方（用直接开平方法）法）解：解：（3）（用因式分解法）（用因式分解法）解：解：（4）（用配方法）（用配方法）解：解：小结：通过对本例的分析及解题过程，可以得到：小结：通过对本例的分析及解题过程，可以得到：（4）当因式分解有困难时，就用公式法。配方）当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为的二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方，一次项系数是偶数，用配方法更好）法更好）（3）解一元二次方程常用因式分解法。）解一元二次方程常用因式分解法。（2）在解方程时，应注意方程的特点，合理选）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。择简捷的方法。（1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如来解（形如 的方程）。的方程）。例例10、我们知道：对于任何实数，、我们知道：对于任何实数，x20，x2+10；0，+0模仿上述方法解答下面问题。模仿上述方法解答下面问题。（1）对于任何实数）对于任何实数x，均有：，均有：0；（2）不论）不论x为何实数，多项式为何实数，多项式 的值总大于的值总大于 的值。的值。求证：求证：解：解：（1）2x2+4x+3=2(x+1)2+1x不论为何实数，不论为何实数，(x+1)2总是非负数总是非负数2x2+4x+30 （2）(3x2-5x-1)(2x2-4x-7)=3x2-5x-1 2x2+4x+7=x2-x+6=x不论为何实数，不论为何实数，总是非负数总是非负数 0一元二次方程训练题一元二次方程训练题 1、把方程（、把方程（2x+1）（）（x-2）=5-3x整理成一般形式整理成一般形式后，得后，得 ，其中一次项系数为，其中一次项系数为 。2、若、若(m+1)xm-3+5x-3=0是关于是关于x的一元二次方程，的一元二次方程，则则m 。3、ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的求根公式x=。4、方程、方程(y-3)2=2的解为的解为 ，方程，方程t(t-5)=0 的解为的解为 。22x2-7=005y=3t1=0，t2=55、配方：、配方：、x-4x2-12x+15=4()26 x2-3x+_=(x-_)2 6、若、若 （）（A）（B）（C）（D）B解关于解关于x的方程的方程 3y(y1)2-2y(1)(2)(3)(4)x2-6x-99910 x1103，x2-97解答以下各题解答以下各题若最简二次根式若最简二次根式 是被开方是被开方数相同的，则数相同的，则x的值为多少？的值为多少？答案：答案：3x2+4x=x+18x2+3x-18=0解之得解之得 x1=-6，x2=3检验：当检验：当x=-6时，时，x2+4x=12，不是最简二次根式，不是最简二次根式，x=-6 舍去舍去3、已知、已知a、b是实数，是实数，解关于，解关于x的方程的方程(a+2)x2+b2x+8=0答案：答案：x1=4，x2=-2阅读材料，解答问题阅读材料，解答问题 为了解方程（为了解方程（y-1）-3（y-1）+2=0，我们将我们将y-1视为一个整体，视为一个整体，解：设解：设 y-1=a，则（则（y-1）=a，a-3a+2=0，（1）a1=1，a2=2。当当a=1时，时，y-1=1，y=，当当a=2时，时，y-1=2，y=所以所以y1=，y2=-y 3=y4=-解答问题：解答问题：1、在由原方程得到方程（、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了）的过程中，利用了 法法达到了降次的目的，体现了达到了降次的目的，体现了 的数学思想。的数学思想。2、用上述方法解下列方程：、用上述方法解下列方程：三三.几个实际问题几个实际问题 解：设较小的数为解：设较小的数为x，则另一个为，则另一个为x2根据题意，得根据题意，得 根据题意，列出方程（不必求解）根据题意，列出方程（不必求解）引例引例 1、两个正数的差为、两个正数的差为2，它们的平，它们的平方和为方和为52，求这两个数。，求这两个数。小结：关于数的问题，要正确的把数表小结：关于数的问题，要正确的把数表示出来。一般地，若大小两个数，则设示出来。一般地，若大小两个数，则设小数为小数为x；若连续奇（偶）数，则设为；若连续奇（偶）数，则设为x，x2；若三个连续整数，则设为；若三个连续整数，则设为x1，x，x1；若是一个三位数；若是一个三位数 ，则应表示为则应表示为 。引例引例2、某商店四月份电扇的销售某商店四月份电扇的销售量为量为500台，随着天气的变化，第二台，随着天气的变化，第二季度电扇的销售量为季度电扇的销售量为1820台，问五台，问五月份、六月份平均每月电扇销售量月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？的增长率是多少？分析：第一个月（四月份）电扇销售分析：第一个月（四月份）电扇销售量为量为500台；设平均每月电扇销售量的台；设平均每月电扇销售量的增长率为增长率为x，则第二个月（五月份）电，则第二个月（五月份）电扇销售量增长了扇销售量增长了500 x，即第二个月电，即第二个月电扇销售量为（扇销售量为（500500 x）台，就是）台，就是500（1x）台；第三个月（六月份）电）台；第三个月（六月份）电扇销售量为扇销售量为500(1x)500(1x)x台，就是台，就是 ，数量关，数量关系见下表：系见下表：500500(1x)=1820解：设五月份、六月份平均每月电扇销解：设五月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率为售量的增长率为x。根据题意，得。根据题意，得变化：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推变化：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比年比2000年翻两番。本世纪的头二十年（年翻两番。本世纪的头二十年（2001年年2020年），要实现这一目标，以十年为单位，设每年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产总值的增长率都是个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么，那么x满足满足的方程为的方程为 （）A、(1+x)2=2B、(1+x)2=4C、1+2x=2D、（、（1+x）+2（1+x)=4答案：答案：B 关键是理解关键是理解“翻两番翻两番”是原来的是原来的4倍，而不是原倍，而不是原来的来的2倍。倍。小结：通过列表把各种数量关系表示出小结：通过列表把各种数量关系表示出来，看起来很费时间，实际上有了表就来，看起来很费时间，实际上有了表就可以很快地列出方程了。此外，我们还可以很快地列出方程了。此外，我们还可以推出每个月的电扇销售量：第四个可以推出每个月的电扇销售量：第四个月为月为 台，第五个月为台，第五个月为 台，台，第，第n个月为个月为 台。台。引例引例3、如图，在宽为、如图，在宽为20m，长为，长为32m的的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为小块试验田的面积为135m ，道路的宽，道路的宽应为多少？应为多少？2分析：从图中可以看出，四块小试验田的面分析：从图中可以看出，四块小试验田的面积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形田地的面积。这是本题的相等关系。关键是田地的面积。这是本题的相等关系。关键是如何把两条道路所占的面积表示出来。设道如何把两条道路所占的面积表示出来。设道路的宽为路的宽为xm，则横向道路面积为，则横向道路面积为32xm ，纵，纵向道路面积为向道路面积为20 xm ，但两条道路的，但两条道路的面积和并不等于阴影面积和并不等于阴影部分的面积，而是多部分的面积，而是多了一个宽为了一个宽为xm的小正的小正方形的面积。所以，方形的面积。所以，矩形田地面积：矩形田地面积：3220m ；四块小实；四块小实验田的面积验田的面积:1354m ；两条道路所占的面积：两条道路所占的面积：2222解：设道路的宽为解：设道路的宽为xm，根据题意，得，根据题意，得 v问题问题1.1.长方形铁片四角各截去一个边长为长方形铁片四角各截去一个边长为5cm5cm的正方的正方形形,而后折起来做一个没盖的盒子而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的铁片的长是宽的2 2倍倍,作成的盒子容积为作成的盒子容积为1.5 1.5 立方分米立方分米,则铁片的长则铁片的长等于等于_,宽等于宽等于_.v问题问题2:2:某人将某人将20002000元人民币按一年定期储蓄存入银元人民币按一年定期储蓄存入银行，到期后支取行，到期后支取10001000元用作购物，剩下的元用作购物，剩下的10001000元及元及利息又全部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款利息又全部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本利和共的利率不变，到期后得本利和共13201320元（不计利息元（不计利息税），求一年定期存款的年利率。税），求一年定期存款的年利率。Exercise: