三角形内角和定理

正定镇中正定镇中 张会君张会君实践探索实践探索归纳总结归纳总结初试身手初试身手进一步探索进一步探索深入研究深入研究谈谈收获谈谈收获展示问题展示问题退退 出出 工人师傅将凹型零件（如图工人师傅将凹型零件（如图1）加工成斜面）加工成斜面EC与槽底与槽底CD成成55的燕尾槽（如图的燕尾槽（如图2）的程序是：先将）的程序是：先将垂直的铣刀倾斜垂直的铣刀倾斜35（如图（如图3）然后将刀锋沿内壁）然后将刀锋沿内壁EK，FP来回切削加工即得符合要求的燕尾槽。来回切削加工即得符合要求的燕尾槽。为什么将铣刀偏转为什么将铣刀偏转35角，就能得到角，就能得到55的燕尾的燕尾槽底角呢？槽底角呢？EKPF展示问题：展示问题：EFCD5535EC实验：请大家动手做一个三角形纸片，然后实验：请大家动手做一个三角形纸片，然后 把这个三角形三个角拼在一起。把这个三角形三个角拼在一起。思考：通过亲手实验并观察动画演示，你思考：通过亲手实验并观察动画演示，你 能猜出三角形三个内角和等于多少吗？能猜出三角形三个内角和等于多少吗？结论结论 三角形三个内角的和三角形三个内角的和等于等于ABC已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A+B+C=180A+B+C=180180180命题的正确性还要严密的推理证明想一想：命题的正确性还要严密的推理证明想一想：如何证明呢？如何证明呢？三角形内角和定理：三角形内角和定理：证法一证法一证法二证法二证法三证法三证法四证法四已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A+B+C=180A+B+C=180ABC证法一证法一证明：作证明：作BCBC的延长线的延长线CDCD，在在A B A B C C的外部以的外部以C A C A 为一边，为一边，CECE为另一为另一边作边作1=A.1=A.则则 C EB A C EB A 内错角相等，两内错角相等，两直线平行直线平行 2=B 2=B 两直线平行，同两直线平行，同位角相等位角相等 B C A+1+2=180 B C A+1+2=180 B C A+A+B=180 B C A+A+B=180 再此证法中再此证法中,通过做角等把通过做角等把三角形的三个角移到一起，三角形的三个角移到一起，想一想还有没有与此类似的想一想还有没有与此类似的方法？方法？D2E1为了证明的需要，在原图形上为了证明的需要，在原图形上添画的线叫作辅助线。在平面添画的线叫作辅助线。在平面几何里，辅助线通常化成虚线。几何里，辅助线通常化成虚线。返回返回证法二证法二已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A+B+C=180A+B+C=180ABCDE证明：过点证明：过点A画画DEBC B，C（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）BAC（平角定义）平角定义）B BAC C返回返回证法三证法三已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A+B+C=180A+B+C=180ABCFE证明：在证明：在BC上取一点上取一点D，过点过点D画画DEBA，DF CA BDF C，EDC B,(两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）EDF=DEC=A（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）BDF EDF EDC A B C 返回返回证法四证法四已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A+B+C=180A+B+C=180ABCD证明：过点证明：过点C作作CD BA ACD A（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）BCD B（两直线平行，同内角互补）两直线平行，同内角互补）BCA ACD B 即即BCA A B 返回返回思考题：在思考题：在ABC中，中，B=48 ，C=82 那么那么 A等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A这样的三角形是这样的三角形是锐角三角形。锐角三角形。有三个角都是锐角的三角形有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。是锐角三角形。思考题：在思考题：在ABC中，中，B=48 ，C=2 那么那么 A等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A思考题：在思考题：在ABC中，中，B=4 ，C=2 那那么么A等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A这样的三角形是这样的三角形是钝角三角形。钝角三角形。有一个角是钝角的三角形是有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。钝角三角形。这样的三角形是这样的三角形是直角三角形。直角三角形。有一个角是直角的三角形是有一个角是直角的三角形是直角三角形。直角三角形。思考题：如何按角给三角形分类呢？请大家思考相互讨论。思考题：如何按角给三角形分类呢？请大家思考相互讨论。三角形三角形直角三角形直角三角形斜斜三角形三角形锐角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形直直角角边边直角边直角边斜边斜边三角形按角的大小分类三角形按角的大小分类直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号Rt 表示，直角三角形表示，直角三角形可以写可以写成成Rt ABC。思考题：在思考题：在ABC中，中，C=，A=B，那么那么 A和和B，等于多少度呢？等于多少度呢？答：答：A=B 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形思考题：在思考题：在Rt ABC中，中，C=，A与与B的的和等于多少度？和等于多少度？答：答：AB 你能用一句话概括这个命题吗？你能用一句话概括这个命题吗？三角形内角和定理：三角形三个内角和等于三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。推论：直角三角形的两个锐角互余。工人师傅将凹型零件（如图工人师傅将凹型零件（如图1 1）加工成斜面）加工成斜面ECEC与与槽底槽底CDCD成成5555的燕尾槽（如图的燕尾槽（如图2 2）的程序是：先将垂）的程序是：先将垂直的铣刀倾斜直的铣刀倾斜3535（如图（如图3 3）然后将刀锋沿内壁）然后将刀锋沿内壁EKEK，FPFP来回切削加工即得符合要求的燕尾槽。来回切削加工即得符合要求的燕尾槽。为什么将铣刀偏转为什么将铣刀偏转3535角，就能得到角，就能得到5555的燕尾槽底角呢？的燕尾槽底角呢？EKPF我们看前面的问题如何解决（实际问题一）我们看前面的问题如何解决（实际问题一）EFCD5535EC实际问题实际问题数学化数学化实际问题（二）实际问题（二）一个已损坏的三角形零件如图经检验量得，一个已损坏的三角形零件如图经检验量得，A A B B，你能推算出另一个角的你能推算出另一个角的度数吗？度数吗？AB实际问题实际问题数学化数学化数学问题源于生活实践，反过来数学又数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务为生活实践服务练习一练习一：在在ABC中，中，（1）C=90，A=30 ，则则B=；（2）A=50 ，B=C，则则B=；（3）AC=25 ，BA=10，则则 B=。已知已知:在在 ABC中，中，C=ABC=2A，BD是是AC边上的边上的高。求高。求DBC的度数。的度数。ABCD练习二练习三练习三：如图，已知如图，已知ACB=90 ，CDAB，垂足是垂足是D。（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？说出它图中有几个直角三角形？是哪几个？说出它 们的直角和斜边。们的直角和斜边。（2）1、2有什么关系？有什么关系？B、2有什么关系有什么关系？为什么？为什么？1和和B是不是相等？为什么？是不是相等？为什么？CABD12学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论三角形内角和定理：三角形三个内三角形内角和定理：三角形三个内角和等于角和等于 推论：直角三角形的两个锐角互推论：直角三角形的两个锐角互余。余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCD2E1谈谈收获谈谈收获学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论三角形内角和定理：三角形三个内三角形内角和定理：三角形三个内角和等于角和等于 推论：直角三角形的两个锐角互推论：直角三角形的两个锐角互余。余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCDE谈谈收获学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论推论：直角三角形的两个锐角互推论：直角三角形的两个锐角互余。余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCFE三角形内角和定理：三角形三个内三角形内角和定理：三角形三个内角和等于角和等于 谈谈收获学会了一个定理及一个推论学会了一个定理及一个推论推论：直角三角形的两个锐角互推论：直角三角形的两个锐角互余。余。大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理大家思路很开阔，用了很多方法证明了三角形内角和定理下面让我们共同欣赏一下：下面让我们共同欣赏一下：方法ABCD想一想还有没有其它证法？想一想还有没有其它证法？三角形内角和定理：三角形三个内三角形内角和定理：三角形三个内角和等于角和等于 作业：作业：P：，：，